Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Примкр. Ни одно решение уравнения х. = хг + 1 не продолжается неограниченно нн вперед, ни назад. Компактные подмножества евклидова пространства — это его замкнутые и ограниченные множества. Определение. Множество называется компактом. если из любого его покрытин открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие.
109 з 7. Теоремы о выпрямлении Рраницей множества называется множество точек, в любой окрестности которых есть как точки, принадлежащие множеству, так и не принадлежащие ему точки. Из основной теоремы о выпрнмлении очевидно вытекает Следствие 7. Решение с начальным условием из компакта в расширенном фазовом пространстве ложно продолжить вперед и назад до границы этого компакта. Иными словами. через любую внутреннюю точку компакта проходит интегральная кривая, пересекающ я границу компакта как с одной, так и с другой стороны от начальной точки (рис. 72).
П одолжение единственно в том смысле что Рис. 72. Продолжевсякие два решения с общим начальным условиел совпадают всюду, где оба определены. ЗАДАЧА 1. Верно ли, что интегральную кривую любого гладкого полн направлений в области евклидова пространства, проходящую через точку компакта К, можно продолжить до его границы? ОтВет. Нет, пример — поле направлений фазовых кривых маятника в области х~« -Ьхз з> О, Л кольцо 1 ( к«„ -Ь хз ~( 2.
Таким образом, дпя справедливости теоремы существенно, что поле направлений в расширенном фазовом пространстве «невертикапьноь. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СЛЕДСТВИЯ 7. Вначале докажем единственность. Рассмотрим точную верхнюю грань значений времени, при которых два решения с общим начальным условием совпадают. Левее этой точки решении совпадают. Если в этой точке оба определены, то они совпадают и в ней, так как они непрерывны. Но тогда они совпадают и правее (по локальной теореме единственности). Значит, указанная точка конец одного из интервалов определения. Это доказывает единственность продолжения вперед (для продолжения назад рассуждения аналогичны).
Теперь построим продолжение. По локальной теореме существования у каждой точки расширенного фазового пространства есть такан окрестность, что решение с начальным условием в любой из точек втой окрестности продолжается вперед и назад на общий для всех точек этой окрестности интервал Глава 2 времени.
Из покрытия компакта такими окрестностями выбираем конечное подпокрытие. Из конечного набора интервалов времени, соответствующих выбранным окрестностям, выбираем самый короткий. Обозначим его через г. Решение с начальным условием в исходной точке продолжается вперед на г (так как зта точка принадлежит компакту и, значит, покрыта одной из наших окрестностей).
Возьмем значение зтого решения через время г/2 после исходного момента. Если соответствующая ему точка интегральной кривой еще лежит в компакте, то решение с начальным условием в ней продолжается вперед еще на г (итого на Зг/2 от исходного момента). Опять сдвигаем время на с/2 (т.е. рассматриваем значение продолженного решения в момент через г после исходного) и опять продолжаем решение на г, и т.д.
Через конечное число шагов интегральнан кривая покинет компакт (так как его проекция на ось» не может быть неограниченной, а» на каждом шагу увеличивается на г/2). Следовательно, наступит момент, когда интегральная криван пересечет границу компакта, что и требовалось. ЗАдАчА 2. Докажите,что любое решение уравнения й = о(».,а), заданного полем направлений в кх Б'., продолжается неограниченно, если о растет на бесконечности не быстрее, чем перван степень е, т.е.
если (о(», е)( ( Це~ прн всех» и (з( ) г, где г и Й вЂ” постоянные. Указание. Сравнивая с движением в поле л = йз, построить компакты, до границ которых придетсн добираться сколь угодно долго. Предположим теперь, что область определения правой части уравнения тц = о(», ш) содержит цилиндр И х К, где К компакт в фазовом пространстве. Определение.
Решение ~р с начальным условием ~р(»о) = ве продолжается вперед (назад) до границы компакта К, если существует решение с тем же начальным условием, принимающее значения из границы компакта К при некотором» >»е (» (»е). Из следствия 7 очевидно вытекает Следствие 8. Решение с начальным значением из данного компакта К в фазовом пространстве продолжается вперед (назад) либо неограниченно, либо до границы компакта К. 6 7. Теоремы о выпрямлении Пгимег.
Решение УРавнениЯ мантника ээ = гэ, йз = — л» с начальным условием ээ = 1, гэ = 0 не продолжается до границы компакта гэг + гз з( 2. ДОЕАВАтельстВО следстВия 8. Рассмотрим отрезок й = [а, 6[ оси 1, содержащий 1о. Цилиндр й хК в расширенном фазовом пространстве (рис. 73) компактен. По предыдущей теореме решение продолжается до его границы. Эта гравица состоит из двух «горлов» (а х К и 6 х К) и «боковой поверхности» Ь х (дК) (по формуле Лейбница. В(й х К) = (ВЬ) х К+ Ь х (ВК)). Испи при любом 6 ) 1е интегральная криван пересечет торец 6 х К, то решение продолжается вперед неограниченно: если же при каком-либо 6 пересечет боковую поверхность то до границы компакта.
Следствие 9. Решение автономного уравнения т = а(х) с начальным значением иэ любого компакта у7аэоеого пространства продолжается вперед (назад) либо неограниченно, либо до гранииы этого компакта. Ибо цилиндр И х К принадлежит расширенному фазовому пространству автономного до границы фазового уравнения для любого компакта К в фазовом компакта пространстве. ЗАдАчА 3. Докажите, что векторное поле е определяет фазовый поток, если все решения уравнения й = е(г) продолжаются неограниченно.
7. В«ппрнмленне векторного полн. Рассмотрим гладкое векторное поле о в области 67. Выпрямлением полн называется диффеоморфизм, превращающий его в поле параллельных векторов одинаковой длины в евклидовом пространстве (рис. 74). Из основной теоремы о выпрямлении легко вытекает Следствие 10. Всякое гладкое векторное поле локально еыпрямляемо в окрестности, каждой неособой точки (точки, где вектор поля отличен от нуля). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СЛЕДСТВИЯ 10.
Векторы поля в окрестности неособой точки отличны от нуля и, значит, определяют поле направлений в этой области фазового про- 112 Глава 2 Рис. 75. Построение выпрямляющнх координат Рис. 74. Выпрямление век- торного поля странства. Но основной теореме это поле выпрямляемо. Выполним вы- прямлнющий диффеоморфизм. Мы добьемся параллельности векторов поля, но их длины будут, вообще говори, зависеть от точки. В выпрнм- ляющих координатах уравнение, заданное нашим полем, примет вид фт = и(х), хз = ° = т.„= О, причем и(0) ф О. Введем вместо хд новую координату ~, определив Ох) как время движения от плоскости хз = 0 до точки х (рис.
75). Решая уравнение, находим ез гЬ~ это время по формуле Ньютона: ~(х) = . В координа/ и(В; хз,..., х„) е тах (с, хз,..., х.„) уравнение принимает вид б = 1, хз = ° = х„= О, т.е. поле выпрямлено. Злмечлннк. Теорема о выпрямлении векторного поля еще одна переформулировка теоремы о выпрнмлении поля направлений (чтобы вывести вторую из первой, достаточно выбрать по вектору, гладко зависящему от точки, на прямых данного поля направлений, что локально всегда легко сделать).
Вот еще две очевидные переформулировки следствия 10: Следствие 12. Всякое дифференциальное уравнение г, = о(х) мозкет быть записано в нормальной форме хч = 1, хз = ° ° = х„= 0 при подходтцем выборе координат в достаточно малой окрестности любой неособой точки поля.
Следствие 11. Любые два гладких векторных поля в областях одинакового числа измерений переводятся друг в друга диффеоморфизмами в достаточно малых окрестностях любых неособых точек. 28. Применения к уравнениям вмше первого порядка Иными словами, всякое уравнение х = п(х) локально эквивалентно простейшему уравнению х = п (е ф О яв зависит от х) в окреслтости любой неособой точки. ЗАдАчА 1.
Выпрямить векторное поле фезовой скорости маятника хгд/дхг — хгд/дхг е окрестности точки хг = 1, хг = О. Решение. Годятся полярные координаты. Пусть хг = г сое В, хг = — г гйп В (г > О, (В( < х). В зтнх координатах уравнение имеет внд г = О, В = 1, поэтому поле еыпрнмлено: оно имеет еид д/дВ. ЗАдАчА 2. Выпрямить поля 1) хгд/дхг -~-2хгд/дхг при хг > О; 2) д/дхд -~- з1пхгд/дхг; 3) х,д/дх, + (1 — х',) д/дхг при х,' < 1.
В 8. Применения к уравнениям выше первого порядка Основные теоремы о системах любого числа уравнений любого порядка выводятсн здесь из аналогичных теорем для систем уравнений первого порядка. 1. Эквивалентность уравненнн и-го порядка н системы и уравнений первого порядка. Определение. /(ифугеренииальним уравнением п-го порядка называется уравнение й"х /, йх б"-'х'1 ' гд'"' й — /' гй .l где Е дифференцируемая (класса С', г > 1) функция, заданная в области Г/ пространства размерности 1 + п (времл 1 и производные неизвестной функции порядков от О до п — 1 включительно). Решением уравнении (1) называетсн С"-отображение ум 1 -+ К интервала вещественной оси в вещественную ось, длн которого 1) точка с координатами (г., ~р(т),...
„~р" г(т)) принадлежит области Г/ при любом т из 1; 2) при любом т из 1 = г'(т; д(т),..., ~р" (т)). г=г 8 Заказ теИ17 114 Глава л Х ПГИМЕШ Решением уравнения малых колебаний мантника, й = — к, является функция ~р(1) = яп1, а также функция ьа(1) = сов| (рис. 76). Следовательно, графики решений уравнения второго порядка мок'4 гут пересекаться, (в отличие от графиков решений уравнения первого порядка, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
