Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Она называется контактной плоскостью. Контактнан плоскость вертикальна (содержит направление оси р). Все контактные плоскости образуют поле контактных плоскостей в пространстве струй, оно и называется контактной структурой. Предположим, что поверхность Е, задающая уравнение, гладкая (зто условие выполнено для уравнений Е = О с Е общего положения). Рассмотрим проектирование поверхности Е на плоскость с координатами (1,х) параллельно р-направлению.
Точка на поверхности называется регулярной, если а ней касательная плос- кость поверхности не вертикальна (т.е. не содержит прямую р-направления). В окрестности регулнрной точки проектирование-- Рнс. 81. Поверхность Е н следы кон- диффеоморфизм (по теореме о нетактных плоскостей на ней явной функции), а поверхность график гладкой функции р = о(1,х).
Эта функция задает дифференциальное уравнение х = о(1, х) (в окрестности проекции рассматриваемой регулярной точки). В ту же точку плоскости могут проектироваться другие точки поверхности, регулярные или нет. Каждой регулярной точке соответствует свое поле направлений на плоскости и свое дифференциальное уравнение; в уравнении Е = 0 объединены все эти различные днфференциальные уравнения. Рассмотрим в регулярной точке поверхности Е контактную плоскость. Она пересекает касательную плоскость по примой. Таким образом, в окрестности регулнрной точки на Е возникает гладкое поле направлений поле следов контактных плоскостей. Очевидна Теорема.
При проектировании поверхности Е, заданной уравнениак р = о(1, х), на плоскость (1, х) вдоль оси р поле следов кон- 125 З 8. Применен я к уравнениям еыиэг первого порядка тактных плоскостей на. Е переходит в поле направлений уравнения дх/<И = о(2, х) на плоскости. Следствие. Укаэанное проекнтроаание переводит интегральные кривые поля следов на Е в интегральные кривые уравнения на плоскости.
Касательная плоскость поверхности Е в нерегулнрных точках вертикальна. Но она все равно может пересекаться с контактной плоскостью по прямой (для поверхности Е общего положения полное совпадение касательной плоскости с контактной будет лишь в отдельных исключительных точках). В окрестности неисключительной нерегулярной точки на поверхности Е следы контактных плоскостей задают гладкое поле направлений.
Таким образом, поле следов контактных плоскостей на поверхности Е продолжается в неисключительные нерегулярные точки. Продолженное поле называется полем направлений уравнения Е = 0 на Е, его интегральные кривые называются интегр льными криаыми уравнения Е = 0 на Е. Проекции кусков этих кривых между нерегулярными точками на плоскость (г, х) локально нвляютсн интегральными кривыми соответствующих уравнений дх/дб = п(й х) (в целом это неверно, даже если нерегулнрных точек нет!). Переход от плоскости к поверхности Е часто бывает полезен как для исследования, так и длн решения уравнения.
Злдлчл 2. Найти интегральные кривые уравнения хг = г на поверхности рг = г н их проекции на плоскость (г,х). Рвшвнив. За координаты на Е примем р н х. В этих координатах уравнение следов контактных плоскостей (дх = рдг) принимает внд дх = 2р др. г р Интегральные кривые: х + С = 2рз/3. Их проекции полукубнческне параболы (х + С): 4г~/9 р 8 П Рис.
82. Проекции пи(рис. 82). Нерегулнрные точки образуют линию тегральных кривых р = О. Все онн неисключительные. Проекцин линии нерегулнрных точек на плоскость (г, х) называется дискриминантной кривой. В данном случае дискрнминантная кривая — ось х. Точка возврата делит полукубнческую параболу на две части.
Каждан нз ннх — интегральная кривая одного нз двух уравнений х = чй (нли — з/г) 126 Глава Е в полуплоскости г ) О. Можно показать, что проекции на плоскость интегральных кривых на Е для уравнении общего положения имеют в общей точке дискриминантной кривой тачку возврата (более того, в окрестности такой точки уравнение приводится к виду х = г диффеоморфизмом плоскости (й х)). Однако это верно не для всех уравнений.
ЗАДАЧА О. Найти интегральные кривые уравнения Клеро х = Ьх — 1(х) на поверхности х = рг — Р(р), их проекции на плоскость (К х) и дискриминантную кривую. РЕШЕНИЕ. За координаты на Е принимаем р и й Уравнение следов контвктнглх плоскостей (дх = рдг) принимает вид 1 бр + рдг — 1'йр = рйг или (г — 1')др = О. Нерегулнрные точки: г = Г. Все они исключительные. Интегральные кривые на Е: р = сопэг (в области, где Ь ф 1').
Зто прямые. Их проекции на плоскость (й х) — также прямые: х = ЬС вЂ” Г(С). Уравнение Клеро это просто уравнение семейства прямых, гапараметриэованных тангенсом угла наклона к оси абсцисс. Дискриминантная кривая параметрически задается уравненинми 1 = г"(С), х = йС вЂ” Г(С). В окрестности точки, где 1~~ ~ О, эти формулы задают гладкую кривую, являющуюся графиком функции х = К(г). Действительно, вблизи точки, где Го р- О, можно выразить С через 1 и затем х через й Прямая х = ЬС вЂ” г(С) касаетсн дискриминантной кривой в такой точке (почему?). Итак, дискриминонтн я кривая уравнения Клера являетсн огибающей семейства прямых, описываемого этим уравнением. Переход от функции 1 к функции К называется преобразованием Лежандра.
Преобразованием Лежандра функции К будет снова Г (докажите). Поэтому функции 1 и К называютсн двойственными друг другу. Злдлчл 4. Вычислить преобразование Лежандра функции ф~/а (а > 1). Ответ. Я")6, где а ~ + И ~ = 1. Геометрический смысл преобразования Лежандра состоит в следующем. Рассмотрим множество всех невертикальных (не параллельных оси х) прямых на плоскости (К х).
Прямая задаетсн своим уравнением х = аг — Ь. Таким образом, невертикальные прямые можно рассматривать как точки на плоскости с координатамн (а, Ь). Эта плоскость называетсн двойственной к исходной плоскости. Координаты а н Ь называются тангенциальными координатами прямой. Плоскостгч двойственная к плоскости (а, Ь), есть исходная плоскость (К х), ввиду полной симметрии уравнения х + Ь = а1 относительно замены (К х)~-~ (а, Ь): пряман на плоскости прямых есть точка исходной плоскости. 127 ЗО. Фа»оные кривие автономной систели Рассмотрим на плоскости (Ц х) гладкую кривую, х = к(Г).
Касательная к этой кривой меняется при движении вдоль кривой. Саатветствузащая касательной точка двойственной плоскости описывает при этом некоторую кривую. Эта кривая называется двойственной к исходной кривой. Кривая, даайствениая к построенной, — исходная кривая. Если для исхаднай кривая Л" ф О, та двойственная кривая является графиком функции Ь = р(а). Функции Р и к — преабразавания Лежандра друг друга. Доказательство этих фактов (нмеющих многочисленные обобщения и прилаження ва всех областях математики) аставляется любознательному читателю а виде задачи. З 9. Фазовые кривые автономной системы Здесь рассматриваются простейшие геометрические свойства фазовых кривых автономных систем, т.
е. систем, правые части которых не зависят ат времени. 1. Автономные системы. Определение. Система дифференциальных уравнений называется автономной, если ана переходит в себя при произвольных сдвигах вдоль оси времени. Иными словами, система называется автономной, если ее правая часть не зависит ат времени. Например, автономное уравнение п-га порядка -- эта уравнение )н) хг. (х х(а — »)) ЗАмечАннв. При описании эволюционных процессов дифференциальными уравнениями обычно возникают именно автономные системы: независимость правой части ат 1 отражает независимость ат времени законов природы (без чего невозможно научное ее изучение).
Термин «автономный» означает «самостоятельный» и отражает независимость эволюции состояния рассматриваемой системы от всех других. Неавтономные системы возникают при описании природы чаще всего следующим образом. Предположим, чта мы рассматриваем часть 1 физической системы 1+П. Тогда, хоти закон эволюции всей системы со временем и не меняется, нлиянне части П на часть 1 может привести к тому, чта закон эволюции части 1 будет меняться со временем. 128 Глава Е Например, влияние Луны на Землю вызывает приливы.
Математически это влинние выражается тем, что величина ускорении силы тнжести, входящая в уравнение движения земных объектов, становитсн переменной. В таких случаях говорят, что выделенная часть 1 неавтономна. Поэтому и все системы, праваа часть которых явно зависит от времени, называются неавтономными. Разумеетсн, неавтономные системы могут получиться и в других случаях, например, в процессе преобразовании при решении автономных систем. Пример: переход к неавтономному уравнению с разделяющимися переменными при интегрировании системы Лотка — Вольтерра )п. 7 З 2).
Зьдьчь 1. Автономно ли уравнение в вариацинх для малого возмущении решения автономной системы при малом изменении начальных условийу Ответ. Если нееозмущенное решение состояние равновесия, то автономно, в общем случае — нет. 2. Сдвиг по времени. Начнем с примера. Рассмотрим автономное уравнение н-го порядка ( и ) К ( х х х ( и г ) ) 'Теорема. Предположим. что х. = аша решение уравнен я (1), тпгда функция т = соа1 — тпже решение. Это сразу следует из следующего предложения. Теорема. Пусть ~р: Н -+ 11 — решение автономного уравнения х = е(х), заданного векторным пплем е в фазовом пространстве 11, и пусть 6': Н вЂ” ) И вЂ” сдвиг пси времени, 6" (1) = з + 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
