Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Тогда ~р о 6' при любом з тоже решение. Иными словами, если х = 1п(1) — решение, то х = 1п(1+ з) — тоже решение. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Это очевидно: поле направлений автономного уравнении переходит в себя при сдвигах вдоль оси времени, следовательно, интегральные кривые переходят при таких сдвигах в интегральные кривые. Следствие. Через калсдую точку фазового пространства автономной системы проходит одна и только одна фазовал кривая.
Ь9. Фазоаие кривые автономной системы ЗАМЕЧАНИЕ. Здесь и ниже всюду идет речь о максимальнглх фазовых кривых, т. е. о фазовых кривых, являющихся образами решений, непродолжаемых на более длинный интервал (решение фм 1 — 1 Ь7 может не продолжатьсн либо потому, что интервал 1 уже вся прямая, либо потому, что 1а(1) подходит к границе области Сг.
когда 8 подходит к концу интервала). ДОВАЗАтельстВО следстВия. Предположим, что через точку проходят две фазовые кривые— образы решений ~р и 1Ь, определенных на всей прямой (случай, когда решения не продолжаются неограниченно, оставляется читателю). Тогда существуют моменты времени а и Ь, такие, что у(а) = зр(Ь) (т.к. обе кривые проходят через одну точку). Сдвигая одно из решений вдоль оси времени, мы получаем новое решение, ~роба ь. Это решение имеет с решением ф общее начальное условие при Ь = Ь.
Значит, они совпадают. Следовательно, 1Ь получаетсн из ~р сдвигом вдоль оси времени. Итак, образы отображений ~р и 1Ь совпадают, что и требовалось доказать. ЗАМЕЧАНИЕ. Фазовые кривые неавтономной системы (образы решений в фазовом пространстве) могут пересекаться, не совпадая. Поэтому за решениями неавтономных систем лучше следить по интегральным кривым. Злдлчл 1.
Пусть через каждую точку фазового пространства системы й = и(1, з) проходит одна и только одна фазовая кривая. Следует ли из этого, что система автономна7 Ответ. Нет, пример: й = 1 Ч-1~. 3. Замкнутые фазовые кривые. Мы уже знаем, что разные фазовые кривые автономной системы не пересекаются. Посмотрим, может ли пересекать себя одна фазовая кривая. Иными словами, может ли решение автономной системы первого порядка несколько раз принимать одно и то же значение. Теорема. Макс мальная фазоаая кривая автономной система либо не самапересекается, либо сводится к пднпй точке, либо является замкнутай фазпаой кривой (диффеомарфнай окружности). С примерами замкнутых фазовых кривых мы уже сталкивались (например, предельные циклы, см.
92). Доказательство теоремы основано на следующих четырех леммах. 9 Заказ №И17 120 Глава Е Лемме 1. Решение ~о автономной системы первого порядка, дважды принявшее одно, значение уз(а) = ~р)Ь), Ь ) а, молсно продолжить на всю ось времени, в виде периодического отображения Ф с периодом Т = Ь вЂ” а. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Всякое в однозначно представимо в виде в = пТ+ и, 0 ( и ( Т. Положим Ф)а+в) = ~р)а+о). Тогда Ф решение периода Т, совпадающее с зр на отрезке ~а, Ь). Действительно, Ф совпадает со сдвигом решения ~р в окрестности каждой точки и. значит, само пвляется решением (по теореме п.
2). Полученное решение может иметь, кроме Т, другие периоды. Изучим множество всех периодов отображении примой. Лемма 2. Множество всех периодов любого отображен я прямой является подгруппой группы Б'.. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Число Т является периодом отображения Г", если и только если сдвиг примой на Т переводит 1 в себя. Сдвиги, переводящие Г" в себя, образуют подгруппу группы всех сдвигов.
Ибо если два сдвига переводит 1 в себя, то и их произведение, и обратные им сдвиги переводит Г' в себя. ЭАМЕЧАННГ. Это рассуждение показывает также, что если какап угодно группа действует на каком угодно множестве, то все преобразования группы, оставляющие на месте фиксированный злемент множества, образуют подгруппу исходной группы. Эта подгруппа называетсп стационарной группой фиксированного злемента. Лемма 3. Множество всех периодов непрерывного отображения прямой з лзкнуто. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть последовательность периодов Тз отображения Г' сходится к числу Т, тогда Г)ь+ Т) = ВшЯ + Тз) = ПшД~) = ГЯ при любом й Итак, множество всех периодов непрерьзвного отображения пр мой является замкнутой подгруппой прямой. Лемме 4. Всякая замкнутая подгруппа г группы вещественных чисел К еспзь либо И, либо ари)зметическая прогрессия, образованная целыми кратными некоторого числа, либо )О). 39. Фиговые кривые автономной системм 131 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если С ф (О), то в С есть положительные элементы (вместе с 1 в С входит -3).
Возможные два случаи: 1) в С есть сколь угодно близкие к О положительные элементы; 2) расстояния от О до всех положительных элементов группы больше некоторого положительного числа. В первом случае С содержит арифметические прогрессии со сколь угодно малыми разностнми, следовательно, элементы С есть в любой окрестности любой точки прямой. Поскольку С замкнута, С = В. Во втором случае рассмотрим ближайший к О положительный элемент Т группы (он существует, так как группа замк- х, нута).
Арифметическан прогрессия целых кратных элемента Т принадлежит группе. Докажем, что никаких других элементов в гРуппе нет. подгруппа плоскости Действительно, любое другое число 1 представимо в виде пТ+ т, где О < г < Т. Если 1 Е С, то 1 — пТ = т < Т положительный элемент группы, вопреки минимальности элемента Т. ЗАДАЧА 1. Найти все замкнутые подгруппы: 1) плоскости н . 2) пространства Н". 3) окружности Я = (е б О: ф = Ц. Отвкт. 1) и 2) — — прямые суммы замкнутых подгрупп прямой (рис.
83); 3) правильные п-угольники, образованные корнями степени п из 1, и Я'. Объединяя леммы 2, 3 и 4, мы заключаем, что множество всех периодов непрерывного периодического отображения прямой либо состоит из всех целых кратных одного наименьшего периода. либо соспеав яет всю прямую (тогда отображение константа). В частности, решение Ф леммы 1 либо постоянно (и тогда соответствующая фазовая кривая — положение равновесия), либо имеет наименьший период д. Определим отображение А окружности на фазовую кривую формулой А: (сова, з1п а) ь-ь Ф(ад/2к). Это отображение А определено, так как Ф имеет период д.
А дифференцируемо, так как Ф решение. Отображение А взаимно однозначно отображает окружность на фазовую кривую, так как Ф не может дважды принять одно значение внутри наименьшего периода (по лемме 1). 132 Глава 2 Производная А по о всюду отлична от нуля, иначе решение принимало бы значение, нвляющееся положением равновесия, и тогда по теореме единственности было бы константой. По теореме о неявной функции, А локально диффеоморфно отображает ось о нв образ Ф в фвзовом пространстве, т.
е. нв фвзовую кривую. Значит, отображение. обратное А, дифференцируемо. т.е. А — диффеоморфизм. Теорема доказана. Незамкнутые фвзовые кривые, хотя и не могут свмопересеквться, могут сложным образом нввиввтьсн сами нв себя. Злдлчл 2. Найти замыкания фазовых кривых двойного маятника, хг = — хи хг = — 2хг. Отввт. Точка. окружности и торы. См. 2 24 и 225. и.
6. В 10. Производная по направлению векторного поля и первые интегралы Многие геометрические понятия можно описывать двумя способами: нв нзыке точек пространства или же с помощью функций, заданных на нем. Такая дувлизвцин часто оказывается полезной в самых разных отделах математики. В частности, векторные поля можно описывать не только с помощью скоростей движений, но и квк дифференцирования функций, в основные теоремы теории дифференциальных уравнений можно сформулировлть в терминах первых интегралов. 1. Производная по направлению векто- ра. Пусть о — приложенный в точке х области 11 1( ) вектор, и пусть 1: 11 — > К дифференцируемвя о 1 х функция.
Пусть р: 1 -+ 11 какая-либо пара- У /1. метризованнвя кривая, выходящвн из х со ско- ростью о, твк что гг(0) = х, ф(0) = о. В~~~~- ,,у' р кает сквозное отображение интервала 1 вещестРис. 34. производная венной оси в вещественную ось, 1 о иг; 1 + Б',, функции 1 ао напрев- (У о ~р)(г) = Др(8)), т.е. вещественная функция пению вектора в вещественного переменного 1 (рис. 84). Определение. Производной функции 1 яо направлению вектора о называется производнан построенной функции в нуле. з10.
Производная по направлению векторного поля и аервые интегралы 133 Это число обозначаетсн через 1,„/ (А — в честь Софуса Ли). Чтобы оправдать это определение, надо проверить, что полученное число зависит только от вектора е, а не от специального выбора кривой ~р. Это видно, например, из выражения производной по направлению через координаты: по правилу дифференцирования сложной функции А„ / = — / о сз = р —,эг, д/' с11 с=в где производные берутся в точке приложения вектора: здесь х; координаты в окрестности этой точки, гч — компоненты вектора скорости в этой системе координат.
То же самое можно выразить иначе, сказав, что А„ / есть значение 1-формы с(/ на векторе и. ЗАдАчА 1. Вычислить производную функции Е1 по направлению вектора ОтВет. О. 2. Производная по направлению векторного поля. Пусть теперь и — векторное поле в области Г. Определение. Производной функции /: сà — з К по направлению поля я называется новая функция Ае /: Г -+ К, значение которой в каждой точке х равно производной функции / по направлению приложенного в точке х вектора полн: (А„/)(х) = 1 „1 1/.
Функция А„ / называется также производной Ли функции /. Пгимкг. Пусть п = д/дхз — базисное векторное поле, компоненты которого в системе координат (хы..., х„) равны (1,0.....0). Тогда Лез = д//дхз частная производная функции /. Пгкдосткркжкник. При работе с частными производными нужно твердо понимать, что в самом их обозначении кроется опасность: частная производная функции / по хз зависит не только от того, какан функция в рассматриваемой области принята за координату хы но в еп1е большей мере от того, как выбраны прочие координаты. Например, на плоскости с координатами (х, у) частная производная д//дх функции у равна нулю, но частная производная д //дх той же функции точки плоскости по той же переменной х в системе координат (х, г), где г = х+у, равна — 1. Следовало бы писать д,//дх(о=секес дз /д4е=совеы 134 Глава Е Производная функции по направлению векторного поля лишена указанного недостатка частной производной: зто геометрический объект, по самому своему определению не зависнщий ни от какой системы координат.
Если гладкие функция 1 и поле о заданы, то л „Г" — — вполне определенная функция (класса С' ~, если г и о класса С'). Иными словами, если диффеоморфизм переводит на новое место векторное поле и функцию, то производная перенесенной функции по направлению перенесенного поля совпадает с перенесением производной исходной функции по направлению исходного поля.
Это свойство операции дифференцирования по направлению называется есглесгпаеиностью. Другие примеры естественных операций сложение и умножение функций, сложение полей и умножение функций на поле. 3. Свойства производной по направлению.
Здесь мы опять займемся формализацией очевидных фактов. Обозначим через г множество всех бесконечно дифференцируемых функций 1: 11 -+ Й. Это множество имеет естественную структуру вещественного линейного пространства (так как сложение функций сохраннет дифференцируемость), и даже кольца (так как произведение бесконечно дифференцируемых функций дифференцируемо), или, лучше сказать, й-алгебры (кольца, для элементов которого определено умножение на числа, удовлетворяющее обычным требованинм). Пусть о — бесконечно дифференцируемое векторное поле в 11. Производная функции из г' по направлению поля о снова принадлежит Р' (здесь существенна бесконечная дифференцируемость). Итак, дифференцирование по направлению поля о есть отображение Г,а: à — ~ г алгебры бесконечно дифференцируемых функций в себя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
