Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Следствие 5 с очевидностью вытекает из предыдущих следствий. Можно также воспользоваться выпрямлением, не меняющим времени. Длн выпрямленного уравнения (у = О) все преобразовенин за время от Со до С тождественны, поэтому свойства 1) — 4) выполнены. Рассмотрим, в частности, случай автономного уравнении х = с(х).
В этом случае имеет место очевиднан Теорема. Отображение за вре я от Со до С для автономного уравнен я зависит только от интервала времени С вЂ” Со и не зависит от начального момента Со. 105 з 7. Теоремы о выпрямлении ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сдвиг расширенного фазового пространства автономного уравнения вдоль оси 1 переводит в себя поле направлений, а значит, переводит друг в друга интегральные кривые.
При сдвиге на з решение р с начальным Условием уз(1о) = хо пеРеходит в Решение ф с начальным условием ф(1о + з) = хо. При любом 1 имеем ф(1+ з) = р(1). Следовательно, д~, = К,„+„что и утверждалось. г М "~-г Обозначим отображение уь„'+ короче: ук. Отображении у' 1) определены при достаточно малых ~т~ в окрестности избранной точки фазового пространства; 2) являются диффеоморфизмами втой окрестности в фазовое пространство и гладко зависят от т; 3) при всех достаточно малых (з! и ф и при всех х из некоторой окрестности избранной точки выполняется групповое свойство у узх = и-~-Ь 4) при фиксированном С функции ьз(1) = дзС есть решение уравнения х = о(х) с начальным условием д(0) = С.
Семейство (уз) называется локальным фазооым потоком векторного поля о. ЗАЛАчА 1. Предположим, что уравнение х = о(й х) имеет Т-периодические коэффициенты (е(г+ Т, х) = е(й х)) и что все отображения за время от ьэ до г дпя него определены всюду. Докажите. что преобразования за времена, кратные Т, образуют группу: уь — — А при любом целом Ь. Какое из ьт двУх следУющих соотношений веРно: Уэь +' = А"Аю Уьь +' = УгьА"? Отввт. Второе. 5. Теоремы о непрерывной н днфференцнруемой зависимости от параметра. Предположим, что правая часть данного уравнения х = о(1, х; а) гладко зависит от параметра сх, пробегающего некоторую область А пространства И". Из основной теоремы 1 о выпрнмлении вытекает Следствие 6.
Значение в момент 1 решения с начальным услооием ~р(1е) = хо гладко зависит от начального условия. времени и параметра О. Обозначим зто значение через Ф(1о, хо., Оц 1). Следствие утверждает, что функция Ф (со значениями в фазовом простракстое) определена, 1Об Глава 2 непРеРывна и гладка в окдестности каждой точки (1о, жо~ Оо, 1о) пРоизведения расширенного Езазоеого пространства ка ось времени и на область изменения параметра (класса С", если правая часть класса Сс).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Здесь полезна маленькая хитрость. Рассмотрим «расширенное уравнение» т = о(1, ад а), о = 0 с фазовым пространством размерности т + а (где т = «((ш ~з!). Решение этого уравнения с начальным Условием (1о. ко, с«) есть паРа (к = 1»(1). а = ««е), пеРвав компонента которой ьз — решение исходного уравнения при «« = с«о, удовлетворнющее начальному условию ьз(1о) = жо.
По следствию 4 эта пара гладко зависит от (1о,хо, 1; с«о). Следовательно, и первая компонента гладко зависит от этих аргументов, что и требовалось. ЗАМЕЧАНИЕ. Трюк с расширением сводит теорему о гладкой зависимости от параметра к гладкой зависимости от начальных условий. Обратно, из гладкой зависимости от параметра (при фиксированном начальном условии) легко вывести гладкую зависимость от начального условия. Достаточно сдвинуть уравнение, чтобы начальное условие превратить в параметр: е„(1,з) = о(1,к — о).
Теорема о дифференцируемой зависимости от параметра доставляет весьма эффективный метод приближенного решения уравнений, близких к «невозмущенным», для которых решение известно. Достаточно представить решение возмущенного уравнения в виде ряда Тейлора по степеням возмущения, подставить этот ряд в возмущенное уравнение и приравнять члены при одинаковых степенях возмущении.
Свободный член ряда для решения будет изнестным решением невозмущенного уравнении. Для определения следующих членов получатсн рекуррентно разрешаемые уравнении. Наиболее важное из них, уравнение для членов первой степени по возмущению — это неоднородное уравнение в вариацинх (ср. ~ 3). Описанный метод постоянно используетсн во всех приложениях теории дифференциальных уравнений под названием теории возмущений или метод малого параметра.
Он является одной из разновидностей метода рядов Ньютона. Злдлчл 1. Найти производную решения логистического уравнения й = з(а — з) с начальным условием з(0) = 1 по параметру а прн а = 1. 107 З 7. Теоремы о выпрямлении Решкнив. Пусть а = 1+ е, возмущенное решение х = грв + егрг + 0(ез). При подстановке э возмущенное уравнение получаем уравнение фо + еф. -~- " = (1ов + е Р г + . " ) (1 -,'- е — «гв — его» вЂ” " ). Невозмущенное уравнение х = х(1 — х) имеет решением вгв = 1. Приравнивая коэффициенты при е, получаем уравнение в вариациях грг = 1 — грг с начальным условием грг(0) = 0 (почему?).
Ответ. 1 — е '. Злмечлние. Физик приведенные вычисления оформил бы так. Ясно, что при а = 1-Ье решение х = 1-1-у мало отличается от 1. Пренебрежем отличием х перед скобкой в уравнении от 1. Получаем приближенное уравнение х а — х, у е — у, откуда у — е(1 — е '). Традиционная математическая «строгость» запрещает пренебрегать отличием от единицы первого х в уравнении, но не второго.
На самом деле «физическое» рассуждение правильно оно просто является удобной стенограммой приведенных выше вычислений. ЗАДАЧА 2. Найти производную решения уравнения маятника с постоянным крутящим моментом, В = а — вшу по моменту а при а = О. В начальный момент маятник покоится (О = д = 0). Решкник. 0 = ау+.... ау = а — ау, у = 1 — у, у — 1 = з. з' = — з, е(0) = — 1, ЦО) = О, з = — соей у = 1 — соек Отввт. В первом приближении эффект малого крутящего момента состоит в сдвиге положения равновесия в точку а, причем маятник совершает малые колебания с частотой 1 вокруг этой точки: поэтому производная решенин по а равна 1 — соз К ПРЕДОСТЕРЕЖЕНИЕ.
Строго говоря, все наши приближенные решения обоснованы теоремой о дифференцируемости только при малых ф. В действительности нетрудно обосновать их для любого конечного интервала времени ф < Т, если только величина возмущения е не превосходит некоторой, зависящей от Т, величины. На этом интервале времени погрешность первого приближения теории возмущений оценивается сверху величиной 0(ез), но константа в 0 растет с ростом Т. Крайне рискованно распространять полученные таким образом выводы на бесконечный интервал времени: переставлять предельные переходы 1 — » оо и е — ~ 0 нельзн.
Глава 2 ПРимеР. Рассмотрим ведро с водой, в дне которого имеется маленькан дырка радиуса в (рис. 71). Для любого Т существует столь малое в, что в течение большого времени (1 ( Т) ведро почти полно. Но 1 со при любом фиксированном в ) 0 ведро становится в 0 Рис. 71. Асимпто- пустым, когда время стремится к бесконечности. тическое поведение решений возмущенного уравненин Решение. точное решение дается формулой о = соя хп Следовательно, производная равна — тшпп Если бы мы знали точное решение только при х = 1 и стали бы искать решение для х = 1 -ь г методом малого параметра, то мы получили бы В сов1 — в1шп1.
Мы могли бы подумать, что истинное решение не ограничено, если бы забыли, что приближением можно пользоваться только при малых вп 6. Теоремы о продолжении. Рассмотрим дифференциальное уравнение х = о(1, х), заданное гладким полем направлений в области Г1 расширенного фазового пространства. Пусть Г подмножество области Г1. Определение. Решение д с начальным условием у(1о) = хо продолжается вперед (яазад) до Г, если существует решение с тем же печальным условием, график которого пересекается с Г в точке, где 1 ~) 1о (( 1о). Решение продолжается вперед (назад) неограниченно, если существует решение с тем же начальным условием, определенное при всех 1 > то (при всех 1 ( 1о).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
