Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Нв материальную точку массы т, движущуюся относительно Земли со скоростью о, действует (в связанной с Землей системе координат) сила Кариолисв Р = 2т[в,й[, где й — вектор угловой скорости Земли. Камень брошен (безначальной скорости) в шахту глубиной 10 м нв широте Ленинграда (Л = 60*). Насколько сила Кариолисв отклонит его ат вертикали? Отвкт. Камень отклонитсн нв восток нв 0.3 мм.
Злмвчлние. Задача аб отклонении камня сыграла выдающуюся роль в истории физики. Эффект отклонения камня нв восток (в не на запад, квк Рвшвнив. По условию й = л-Ь 2[к, й]. Величину угловой скорости Земли, й 7.3 10 в с ', считаем малым параметром. По теореме о дифференцируемости, к = во + йу + О(й~). кв = уз~/2. Подставляя з в уравнение.
получаем йу = 2[уй й), у(0) = у(0) = О. Значит, йу = [л, й[1~/3. Следаввтельна, [йу[ = — '[5[[й[совЛ. 21 3 120 Глава 2 это кажется на первый взгляд) был предсказан Ньютоном в письме к Гуку от 28 ноября 1679 года; Ньютон просил Гука проделать эксперимент с камнем для доказательства вращения Земли, тогда не общепризнанного. В ответном письме (от б январи 1680 года) Гук сформулировал закон всемирного тяготения. Ньютон в то время неточно представлял себе орбиту камня. Возникшая дискуссия заставила Ньютона отказаться от его намерения оставить заннтия наукой н послужила поводом написания «Математических начал натуральной философии» вЂ” знаменитых «Рппсгр1а», с которых началась современная физика.
В письме Гука правильно указан показатель — 2 в законе тяготении (в Ргшс»рга Ньютон пишет, что Врен, Гук н Галлей независимо друг от друга нашли, что третий закон Кеплера соответствует именно этому показателю). Кроме закона Кеплера, Гук ссылается на наблюдения Галлея об отставании мантниковых часов при поднятии на гору Св. Клены. В письме Гука явно сказано, что камень движет та же сила, которая заставляет планеты двигаться по кеплеровым эллипсам; критикуя нарисованную Ньютоном спираль, Гук утверждал, что орбитой камня в отсутствие сопротивления воздуха будет «эксцентрический эллнптоидж Ньютон истолковал зллиптоид как эллипс и заинтересовался, как Гук нашел орбиту.
После больших трудов ему удалось доказать, что орбита действительно эллипс (как при падении на Землю, так и внутри шахты). Доказательство было (н остается) столь трудным математически, что Ньютон пришел к заключению, что Гук «утверждал больше, нежели зналк В дальнейшем он никогда не ссылался на письмо Гука. В письме к Галлею о своей дискуссии с Гуком Ньютон дал описание разницы между подходами математика и физика к естествознанию, остающееся актуальным и сегодня: «Математики, которые все открывают и устанавлинают и проделывают всю работу, должны довольствоваться ролью сухих вычислителей и чернорабочих; другой, который всего лишь все схватывает и на все претендует, присваивает себе все изобретения как своих последователей, так и своих предшественниковм Гук бросал стальные шары с высоты 10 м и утверждал, что наблюдал систематическое отклонение на юго-восток (что практически невозможно из-за крайней малости этого отклонении по сравнению с аэродинамическими эффектами).
В отсутствие сопротивленин камень внутри шахты в однородной Земле подчиннлся бы закону Гука (сила притнжения прямо пропорциональна расстоянию до центра Земли), но сам Гук вряд ли мог об этом знать. Орбита камня в этом случае — эллипс (в невращающейся с Землей системе координат), с центром в центре Земли и малой полуосью около 400 км (почему?); орбита проходитсн за то же время, за которое облетает Землю близкий спутник, т.е.
за полтора часа (почемуу). Злдлчл 2. Из газет известно, что космонавт Леонов, выйдя в открытый космос, бросил к Земле заглушку от кинокамеры. Куда она полетела2 121 28. Применения к уравнениям выше первого порядка т — туг = — 7т . туг + 2тю = О. .г г Выберем за единицу длины радиус круговой орбиты станции ( 0400 км).
Единицу времени выберем так, чтобы углован скорость движения по орбите была равна единице. Тогда движение по орбите описывается формулами т = 1, уг = П и, значит, у = 1. Начальные условия длн станции (н космонавта): т(0) = 1. т(0) = О.ю(0) = О,ю(0) = 1. Начальные условия длн заглушки отличаются лишь тем, что т(0) = — а — скорость броска, т.е. начальная скорость заглушки относительно космонавта. Предположим, что скорость броска, скажем, 10 м/с. Тогда о 1/800 (так как наша единица скорости близка к первой космической скорости, т.е.
составляет примерно 8 км/с). Величина 1/800 мала по сравнению с 1, поэтому мы должны исследовать влияние м лого изменения начального условия на невозмущенное решение т = 1, вг = Е По теореме о дифференцируемости по начальному условию, решение, близкое к невозмущенному, ищем в виде т = 1 + тд 4- ..., 1о = 1+ юг + ..., где точки означают малые порядка о . Подставляя этн выражения в уравнении Ньютона с 7 = 1 н отбрасыван малые порядка ог, получаем уравнен я в вариациях тг с Пег + 2рм уч Р 2тг = О.
Решение уравнений в вариациях с начальными условиями заглушки (тг(0) = ггг(0) = вгд(0) = О, тг(0) = — о) легко найти, заметив, что вгд+ 2тг = 0 и, значит, тг — тю Это решение имеет вид тг = — ожвй угг = 2о(1 — сов1). По теореме о дифференцнруемости, истинное решение уравнений Ньютона отличается от найденного малыми порядка ог (при не слишком больших г). Следовательно, заглушка описывает относительно космонавта эллипс (рис. 78) с полуосями а н 2о. Наша единица длины — радиус орбиты, а о 1/800. Значит, длины полуосей эллипса составляют около 8 н вв 101 Рис. 78.
Движение заглушки относительно станции 16 км. Рвшвнив. Это задача о влиянии малого возмущения начального условия на решение. Уравнение движении по закону всемирного тяготения можно записать в виде т = — 7т/т . Движение и космонавта, и заглушки происз ходит в плоскости круговой орбиты, поэтому можно считать, что т С Й . Запишем уравнение движения в полнрных координатах. Для этого введем орты е, = т/т и перпендикулярный ему е, направленный вперед вдоль круговой орбиты. Ясно, что е, = воет, ет = — ше,. Дифференцируя вели- чинУ т = те„мы находим т = те„+ твгет, т = Уе, + 2тУгет + твгет — ефиме„.
Следовательно, уравнение Ньютона в полярных координатах принимает вид системы двух уравнений второго порядка 122 Глава 2 Вначале заглушка движется вниз 1к Земле), но затем начинает обгонять космонавта и уходит на 32 км вперед по орбите: наконец, она возвращаетсн сверху, описав примерно стокилометровый эллипс как раз за время одного оборота станции по орбите. Разумеетсн, в этом расчете мы пренебрегли величинами порядка о~, и на самом деле движение заглушки относительно космонавта не будет периодическим (виток не замкнется, причем погрешность будет порндка 1/800 от размера эллипса, т.е. заглушка пролетит яа расстоянии порядка 10 м от станции).
Мы пренебрегли также многими эффектами (световым давлением, отличием направления броска от вертикали, отличием орбиты станции от круговой и т.д.), дающими большие погрешности. В.В. Белецкий, из увлекательной книги которого «Очерки о движении космических небесных тел» 1М.: Наука, 1972) заимствована задача о заглушке, замечает, что заглушка вряд ли была видна на расстоннии больше километра, а первый километр эллипса очень близок к прямой, поэтому Леонов увидел, как брошенная им заглушка полегпелп прямо и Земле.
5. Хер»лииологические замечания. Рассмотренные выше уравнения и системы иногда называют нормальными или разрешеяныл«и относиглельпо старших производных. В этом курсе никакие другие уравнения и системы не рассматриваются, так что термин уравнение или система всегда означает нормальную систему или систему, эквивалентную нормальной (как, например, система уравнений Ньютона 10)). Функции, входящие в правую часть системы, могут задаваться разными способами: явно, неявно, параметрически и т.п.
Примни. Запись хз = т есть сокращенное обозначение двух разных дифференциальных уравнений, х = »Гх и х = — ~/х, фазовым пространством каждого из которых служит полупрямая х > О. Эти уравнении задаются двуми разными векторными полями, гладкими при х > О 1рис. 79). Рис. 79. Интегральные кривые двух уравнений, объединенных записьюх =х 2 З 8. Применения к ираенениям выше первого порядка При неявном задании правой части следует внимательно относиться к вынсненииз ее области определении и остерегаться двусмысленных обозначений. Рис. 80.
Интегральные кривые двух уравнений, записанных вместе в виде уравнения Клеро Пример. Ураанением Клеро называется уравнение и = л1 — /(х). Уравнение Клеро к = т1 — тз/2 (6) есть краткан запись двух разных дифференциальных уравнений, заданных при и < гз/2. Каждое из них удовлетворяет теореме существования и единственности в области под параболойс и < с~/2 (рис.
80). Через каждую точку этой области проходят две касательные к параболе. Каждан касательная состоит из двух полукасательных. Каждан полукасательная — — интегральная кривая одного из двух уравнений. объединенных формулой (6). ЗАДАЧА 1. Исследовать уравнение Клеро и = кг — й ЗАМЕЧАНИЕ. При исследовании уравнений, правая часть которых задана неявно, т.е. уравнений вида Е(1, л, лг) = О, часто бывает полезно рассматривать заданное этим уравнением поле направлений не на плоскости с координатами (1, гг), а на поверхности Е в трехмерном пространстве с координатами (г, х, р), заданной уравнением Е(г, х, р) = О (рис.
81). Это трехмерное пространство называется пространством 1-струй функций. Его точки это всевозможные невертикальные (т.е. непа- Ь-струей функции называется ее мнегечлен Тейлере степени й. 124 Глава 3 раллельные оси х) направления во всех точках плоскости (1, х). Точка (1, х, р) зто направление примой г1х = РФ в точке (К т). 1-форма о = дх — р Ф задает описанную ниже контактную структуру в многообразии 1-струй. Векторы, приложенные в точке трехмерного пространства струй, на которых эта форма обращается в нуль, составляют плоскость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
