Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 21
Текст из файла (страница 21)
интегральных криРис. 76. Графики двух решений вых, которые по теореме единственности либо не пеуравнеинй второ ресекаются, либо совпадают иа целом инт ервале) . го порядка Фазовым пространством уравнения маятника является плоскость с координатами (к, к): задание этих двух чисел в начальный момент определнет все движение маятника. Рассмотрим вопрос о размерности фазового пространства для общего уравнения и-го порядка (1): сколько чисел нужно задать в начальный момент, чтобы однозначно определить решение во все моменты времени? Теорема.
Уравнение и-го порядка (1) эквивалентно системе и уравнений первого порядка к1 = тз,.... т,„1 = к„, т„= с'(й ты.... к„1) (2) в том смысле, что если са — решение уравнения (1), то вектор иэ производных (р,ф,..., саа 1) — решение системы (2)„а если (ры..., са„)— решение системы (2), то ~р — решение уравнения (1). Доказательство очевидно. Итак, фазовое пространство процесса, описываемого дифференциальным уравнением порндка и, имеет размерность и: все течение процесса (~р) описывается заданием в начальный момент времени йо набора и чисел — значений производных сэ порядка меньше и в точке 1о.
ЗАМЕЧАНИЕ. Причина, по которой для однозначного определения решения уравнения и-го порядка нужно задать в начальный момент и начальных условий, становится, быть может, понятнее, если рассмотреть дифференциальное уравнение каь предел разностиых. Зафиксируем число й > О (называемое шагом).
Первой раэностыо данной функции 1с с шагом й называется функция, значение которой в точке 1 равно 1с(1+ 6) — ~р(1). Первая разность обозначается Ь~р. Вторая разность Ь~р определяется как Ь(Ьу). 88. Применен в к уравнениям выше первого порядка ЗАдАчА 1. доказать, что (гг у)(1) = д(1+ 2Ь) — 21о(1+ Ь)+ д(1).
Аналогично опрелеляетсн о-я разность г1"у = Ь(г1" "д). Злдлчл 2. Доказать, что г1"1о— ж 9, если и только если у(1 + ЬЬ) — многочлеа степени меньше о от й Е К. Например, если выписать подряд значения Ь~, строчкой ниже их разности, затем разности разностей, то в третьей строке будет всюду стоять число 2; если начать с к~, то в четвертой строке всюду б,и т.д.: 1 4 9 3 2 2 1 8 27 7 19 12 18 16 25 7 9 2 64 126 37 61 24 6 (~1)з '1, ' ' Ы/' т. е. Я+ 2Ь) — 21 (1+ Ь) + Р(1) 1' Ф+ Ь) — Р(1) Ьз -'~~;У, Зная значения 1о в два разделенных интервалом Ь момента времени, мы можем найти из этого уравнении значение ео еще через время Ь. Итак, все значения 1о(1о + ЬЬ) определяются двумя первыми из них. При Ь вЂ” > О разностное уравнение второго порядка переходит в дифференциальное.
Поэтому неудивительно, что и для дифференциальаого Раэностное уравнение первого порядка — это уравнение вида г11о Ф+ Ь) — р(г) г.'Ы ' Ь вЂ” = о(1. 1о), т. е. = о(С. ~р(С)). Из такого уравнения. знан одно число ог(йо), можно найти у(1о + Ь), по нему ео(го + 2Ь), и т.д. При Ь -+ О разностное уравнение переходит в дифференциальное. Поэтому неудивительно, что и длн дифференциального уравнения первого порядка решение определяется значением в начальный момент одного числа. Разностное уравнение второго порядка имеет вид Глава 2 уравнения второго порядка решение определяется заданием в начальный момент двух чисел (и чисел длн уравнении и-го порядка). Теорема на стр. 114 как раз и обосновывает возможность перехода к пределу при Ь -+ О. Злдлчл 3.
Доказать, что уравнению д"з/дг" = О удовлетворяют все многочлены степени меньше п и только они. ЗАдАчА 4. Найти размерность многообразия решений уравнении Гельм- д'и д'и гольца г + — + и = О в области в + у > О, зависящих только от рассто- дз' ду' янин до начала координат. Рвшинив. Искоман функция от г должна удовлетворить уравнению второго порядка. следовательно, решения определнютсн двумя числами. 2. Теоремы существования и единственности. Из теоремы п. 1 и теорем существования и единственности для системы уравнений первого порндка Я 7) вытекает Следствие.
Пусть и. = (ио, иг,..., и„) — точка области гг определения правой части уравнения (1). Решение Чг уравнения (1) с нач лысым условием гр(ио) = иг гр(ио) = из, ..., гра г(гго) = и„ (3) существует и единственно (в том смысле, что всякие два решения с общим начальным условием совпадагот на пересечении интервалов определения). При записи начального условия уравнения (1) обычно вместо уг пишут ш. Пгимвг. Решения соа1 и гбп1 уравнения маятника т = — т удовлетворяют при б = к/4 начальнылг условиям ш(к/4) = з/з, т(гг/4)= — чз/з и ш(к/4) = г' /з, гс(к/4) = члл/з соответственно (рис. 7б).
Эти начальные условия различны, поэтому неудивительно, что графики решении пересекаются, не совпадая. Теорема единственности для уравнения второго порядка запрещает несовпадающим графикам лишь иметь в точке пересечении общую касательную. Графики решении одного уравнения третьего порядка могут касаться, но тогда обязаны иметь в точке касанин разные кривизны н т.д. 117 28. Применения и уравнениям выше первого порядка Злдлчл 1. Пусть известно, что уравнение (1) имеет решениями функции Г и шпй Найти порядок уравнения о. РЕШВНИЕ. У функции 1 и в(п1 в нуле совпадают значения производных порядков О, 1 и 2. Если бы они удовлетворяли общему уравнению третьего порядка, они совпадали бы по теореме единственности. Уравнение порндка и ) 4, которому удовлетворяют обе функции, придумать несложно, например, хбо -(-хм Н = О.
Рис. 77. Невозмож- ное расположение графиков Ответ. и, ) 4. Решение. Нет, так как решения свгг и хг имеют общее начальное условие и не совпадают. Злдлчл 3. Рассмотрим уравнение 2х = Ьзх. Решения х, = 0 и х = гг оба удовлетворяют начальному условию х = х = 0 при 1 = О.
Почему они не совпадают? РЕШЕНИЕ. Теорема единственности относитсн к уравнениям вида (1), т.е. Уравнениям, разрешенным относительно старшей производной, а рассматриваемое уравнение нельзя записать в таком виде (в окрестности нуля). Злдлчл 4. Решить разностное уравнение Ь~Р = 0 с начальным условием 1в(0) = О, (гад)(0) = О, (Л~1а)(0) = 2 при Ц кратных шагу Ь = 1. Рвшвнив. х = а+ Ы+ си~, гагар = 6+ 2с1+ с, 21~у = 2с. Нз начальных условий с = 1, Ь = — 1, а = О. Ответ. 1в = гз — й 3.
Теоремы дифференцируемости и продолжения. Поскольку уже установлена эквивалентность уравнения и-го порядка системе уравнений первого порядка, мы заключаем, что решение уравнения п-го порядка гладко зависит от начальных условий и параметров (если правая часть гладко зависит от параметров); читатель легко сформулирует и теорему о продолжении. ЗАДАЧА 1. Найти в первом приближении по в влияние малого сопротивления среды вГ(х, х) на движение падающего с высоты Ь, тела.
Решение. Речь идет об уравнении х = — 8-ЬгР(х, х) и начальных условинх т(О) = Ь, х(0) = О. ЗАДАЧА 2. Могут ли графики двух решений уравнения х -Ь р(г)х -Ь д(Ф)х=О иметь изображенный на рис. 77 вид? 118 Глава и По теореме о дифференцируемости по параметру, решение имеет аид )з = ро аэс)з1 -'с..., где )за(г) = Ь вЂ” лт~/2. Подставлян х = р()) в уравнение и приравнивая члены рида по с, находим ф1 = Г(ро, фо), откуда р1(г) = Х Х р(ро(т), фо(т))дтдз.
Например, если Е = — т., то рь = от~/6. Знаа о чит, отставание ао времени падения а первом приближении пропорционально высоте: — срь/фо = с)~/6 = сб/ЗИ. ЗАдАчА 2. Докажите, что все решения уравнения маятника, о = — ашй продолжаются неограниченно. Злдлчл 3. При каких натуральных й неограниченно продолжаются все решения уравнении х = х ? ь Отввт. Только при й = 1.
4. Системы уравнений. Под системой дифференциальных уравнений мы будем понимать систему уравнений относительно п неизвестных функций с("* х; = г)(1; х,...), 1=1,..., и, (4) где среди аргументов каждой из функций Е; находятся независимое переменное го зависимые переменные х.
и их производные порндков меньше и. (з = 1,..., и) соответственно. Решение системы определнетсн, как в п. 1. Следует подчеркнуть, что решением системы нвляется векторная функция, заданная на интервале. Таким образом,(~ры ...,д„) — это не в решений, а одно решение системы и уравнений замечание, равно относящееся к системам алгебраических и дифференциальных уравнений.
Прежде всего выясним, какое фазовое пространство соответствует системе (4). Теореме. Система (4) эквивалентна системе )т' = 2,'п; уравнений первого порядка. Иными словами: размерность фазового пространства системы (4) равна Х Длн доказательства надо ввести в качестве координат в фазовом пространстве производные хз порядка меньше и.. Например, пусть п = п1 = пз = 2. Тогда система имеет вид хг = Гт(И хм хм хз, хг), хз = сз(1; хм хм хм хг) 38. Применения к уравнениям выше первого порядка и эквивалентна системе из четырех уравнений хз = Р м жз = Р~(1; з), з?л = Рг(1; ш), йз =ха, где ш = (шы кз, шз шв).
ПРИМЕР. Система п дифференциальных уравнений второго порядка механики Ньютона тгог = — —,, г = 1,...,и, дН Нч (5) где Н вЂ” потенциальнан энергии,т; > 0 — массы, эквивалентна систе- ме 2п уравнений Гамильтона дН дН щ = . . рв = — . , 1 = 1,..., в, др; двг где р; = тщ, а Н = Т + Н полная энергия (Т = 2 т;дз,~2 = = 2 р~/(2тв) — кинетическая энергии). Таким образом. размерность фазового пространства системы (5) равна 2п. Теоремы о существовании, единственности, дифференцируемости по начальным условиям и параметрам, а также теоремы о продолжении переносятсн на системы вида (4) автоматически: для однозначного определения решения достаточно в начальный момент задать произ- ВОДНЫЕ Шг ПОрядКа МЕНЬШЕ Пио НаПрИМЕр, дЛя СИСТЕМЫ ураВНЕНИИ НЬЮ- тона (5) достаточно задать и координат и и скоростей в начальный момент. ЗАдАчА 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
