Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Рассмотрим некоторые свойства этого отображении: 1. Ь„(1+ я) = л,„1+1„ц; 2. Г„(ЯИ) = ~й„д+~В„~; г г +Г . 4 Г лгг . б Г Г Г (Г и а гладкие функции, и и о гладкие векторные поля). Злдлчл 1. Докажите свойства 1 †,кроме того из них,которое неверно. ТЕРМИНОЛОГИЧЕСКОЕ ЗАМЕЧАНИЕ. Алгебраисты называют отображение (коммутативного) кольца в себя дифференцированием. если оно обладает свойствами 1 и 2 отображения Г,„. Все дифференцирования кольца образуют модуль над этим кольцом (модуль над кольцом-- обобщение линейного пространства над П: элементы модуля можно складывать мелинду собой и умножать на элементы кольца).
510. Првиэввдквл пв направлению ввктврквгв поля и первые интегралы 135 Векторные поля в Г образуют модуль над К-алгеброй Р функций в Йс. Свойства 3 и 4 означают, что операция Й, переводящая поле п в дифференцирование Й„, гомоморфизм Е-модуля полей в Р-модуль всех дифференцирований алгебры Р.
Свойство 5, если оно имеет место, означает, что дифференцировании Й„и Й„коммутируют. Злдлчл ~2. Является ли гомоморфизм Й изоморфизмом7 Аналитики называют отображение Йс линейным однородным дифференци льным оператором первого порядка.
Это название объясннется тем, что, согласно 1 и 2, оператор Й„: Е -з Р К-линеек. В координатах этот оператор записывается так: Й„= огд/дзг+ ° +о„д/дт„. Выше мы и само векторное поле о обозначили таким же символом [стр. 77): поле часто отождествлнют с оператором дифференцирования вдоль него. Аналогичный Й„оператор производной Ли вдоль векторного поля в можно определить не только для функций, но для произвольных дифференциально-геометрических объектов, переносимых диффеоморфизмами [векторных полей, форм, тензоров) — производная каждого объекта будет объектом той же природы.
Французы называют оператор Й„производной рыбака: рыбак сидит на месте и дифференцирует объекты, проносимые мимо него фазовым потоком. 4. Алгебра Ли векторных полей. Свойство 5 для векторных полей и и о выполнено не всегда. Например, для полей п = д/дт и е = тд/дт на оси з имеем д/д + дз/д г Й Й дг/В з Злдлчл 1. Докажите, что дифференциальный оператор Й„Йв — ЙвЙ,— не второго порядка, как это кажется на первый взгляд, а первого; Й Йв — Йвй = Й„ где с — некоторое векторное поле, зависящее от полей а и Ь. Определение. Поле с называется квммутвтврвм или скобкой Пуассона полей а и Ь и обозначается [а, Ь]. Злдлчл 2. Докажите три свойства коммутатора: 1.[а. Ь Ч- Лс] = [а, Ь] Ч- Л[а, с], Л Е И [линейность). 2. [а, Ь] -с [Ь, а] = 0 (кососимметрнчность).
3. [[а, а], с]+ [[Ь, с], а] с [[с, а], 6] = 0 (тождество Якоби). Определение. Линейное пространство с бинарной операцией, обладающей свойствами 1, 2 и 3, называется алгеброй Ли. Глава з Итак, векторные поля с операцией поммут1щовапия образуют алгебру Ли. Эта операция столь же фундаментальна для асей математики, как сложение и умножение. Злдпчл 3. Докажите, что трехмерное ориентированное евклидова пространство становится алгеброй Ли, если определить операцию как векторное произведение.
ЗАДАЧА 4. Докажите,что пространство квадратных матриц порзщка и становится алгеброй Ли, если определить операцию как А — ВА. ЗАДАЧА б. Образуют ли алгебру Ли симметричные матрицы с такой же операцией? Кососимметрические? ЗАДАЧА 6. Зная компоненты полей а и 6 в некоторой системе координат, найти компоненты их коммутатора. Отввт. [а, 6), = 2 а дЬ;/дх, — Ь дш/дх = Е„Ь, — й»ае. ЗАдАчА 7. Пусть (уз) — фазовый поток поля а, (6') — полн Ь.
Докажите, что потоки коммутируют [6»6" = /»'уз) тогда и только тогда, когда коммутатор полей равен нулю. ЗАДАЧА 8. Пусть а„, —. иоле скоростей точек тела, вращающегося с углавой скоростью оз вокруг точки 0 в Из. Найти коммутатор полей а, ав. Отввт. [а, ао] = а, где ч — векторное произведение ««и /3. 5. Первые интегралы. Пусть и — векторное поле в области Г, /: С' -+ 2 — дифференцируемая функции. Определение. Функция / называется первым интегр лом уравнения х = а[х), если ее производная по направлению поля и равна нулю: В„/ = О. Странное наименование «первый интеграл» осталось от тех времен, когда пытались решить все дифференциальные уравнения путем интегрирования. В те времена интегралом [или частным интегралом) называли также то, что мы теперь называем решением.
Следующие два свойства первого интеграла очевидно зквивалентны соотношению 6„ / = О и могли бы быть приннты за его определение. 1. Функция / постоянна вдоль каждого решения ум 1 -+ сГ, т. е. каждая функция / о у постоянна. 2. Кажд я фазовая кривая поля а принадлежит одному и только одному множеству уровня функции / [рис. 85).
310. Проиэаоднап па направлению векторного полл и первые иятегр лы 137 Рнс. 80. Система без первых интегралов Рнс. 83. Фазовая кривая целиком лежит на одной поверхности уровня интеграла Пгимнг. Рассмотрим систему, фазовым пространством которой нвляетсн вен плоскость. хт = хм хз = хз. Фазовые кривые (лучи) изображены на рис. 86. Покажем, что эта система не имеет нн одного первого интеграла, отличного от постоянной. Действительно, первый интеграл — непрерывная на всей плоскости функция, постоянная на каждом луче, выходящем из начала координат, следовательно, — постоянная.
ЗАДАЧА 1. Докажите, что в окрестности предельного цикла всякий первый интеграл постоянен. Злдлчл 2. Прн каких к система уравнений хэ = хю хг = йхэ на всей плоскости имеет непостоянный первый интеграл? Отнят. Прн й < 0 (см. рнс. 30 на стр. 42). ЗАдлчл 3. Докажите, что множество всех первых интегралов данного паля образует алгебру: сумма и произведение первых интегралов — первый интеграл. Непостоянные первые интегралы встречаются редко.
Зато в тех случаях, когда они есть и когда их удается найти. награда бывает весьма значительной. Пгимвж Пусть Н дифференцируеман (т ) 2 раз) функция 2п переменных (ры..., оа). Система 2н уравнений рэ = — дН/ддо оз = дН(дрз называется системой канонических уравнений Г мильтона. (Гамильтон показал, что дифференциальные уравнения большого числа задач механики, оптики, вариационного исчислении и других областей естествознания можно записать в таком виде). Функция Н называется функцией Гамильтона (в механике это обычно полная энергия системы). 138 Глава 2 Теорема (закон сохранения энергии). Функция Гамильтона является первым интегралом системы канонических уравнений Гамильтона. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
(дгь~ дд,) ~ (дв ( дг) дН дН~ д=г д=1 что и требовалось. 6. Локальные первые интегралы. Отсутствие непостоянных первых интегралов связано с топологическим устройством фазовых кривых. В общем случае фазовые кривые не укладываютсн в целом на поверхности уровня никакой функции, поэтому непостоннного первого интеграла и нет. Однако локально, в окрестности неособой точки, фазовые кривые устроены просто и непостоннные первые интегралы существуют.
Нусть (à — область в и-мерном пространстве, о — дифференцируемое векторное поле в (7,хо — неособая точка поля (о(хо) ф О). Теорема. Существует такая окрестность $' точки хо, что уравнение х = е(х) в 1г имеет и — 1 функционально иезависимглй первый интегр л, ~ы.... )„ы причем любой первый ингаеграл уравнения в 1д есть функция от 1м..., 1 (Набор т функций функционально независим в окрестности точки хо, если ранг производной в точке хо отображении Г": 17 -+ В™, заданного этими функцинми, равен т (см., например, Г. М.
Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Мл Наука„ 1970, т. 1. гл. 6)). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ДЛН СтаНдартНОГО ураВНЕНИя В Во уд = 1, уг = ° = у„ = О, Эта очевидно: первые интегралы — любые гладкие функции от уг,..., у„. То же верно для этого уравнения в любой выпуклой области (область называется выпуклой, если вместе с любыми точками она содержит соединяющий их отрезок).
В выпуклой области любой интеграл стандартного уравнения сводится к функции от уг,..., у„. Всякое уравнение в подходнщей окрестности неособой точки записывается в подходящих координатах у в стандартном виде. Окрестность эту можно 810. Праиэеодиол по иалраглению векториога поля и первые иитегралы 139 считать выпуклой в координатах у (если это не так, заменим меньшей выпуклой). Остается заметить, что как свойство функции быть первым интегралом, так и функциональная независимость, от системы координат не зависят. Злдлчь 1. Приведите пример области. в которой стандартное уравнение имеет первый интеграл, не сводяшийся к функции от дг,..., д . 7. Первые интегралы, завнснщне от времени.
Пусть 1 дифференцируемая функция на расширенном фазовом пространстве уравнения х = о(1, х), вообще говори, неавтономного. Составим автономную систему., фазовые кривые которой будут интегральными кривыми исходного уравнения. Для этого расширим уревнение, добавив к данному уравнению тривиальное уравнение 1 = 1: Х= У(Х), Х=(1,х), К(1,х)=(1,э).
Определение. Функция 1 называетсн заеисящил от врелени переым интегралом уравнения х = о(1, х), если она пвлнется первым интегралом расширенного автономного уравнения (рис. 87). Иными словами: каждая интегральная кривая исходного уравнения лежит е одном множестве уровни функции. Векторное поле У в нуль не обращается. По теореме п. 6 в окрестности каждой точки расширенного фазового пространства уравнение э: = о(1, т) имеет столько функционально независимых первых интегралов (зависящих Рис. 87. Интегральные от ерелени), какова размерность фазового про- кривые на поверхносстранстеа (число компонент вектора х) при тн уровня первого ничел каждый (зависящий от времени) первый времени интеграл выражается через эти специальные е укаэанной окрестности.
В частности, автономное уравнение с п-мерным фазовым пространством имеет в окрестности любой (не обнзательно неособой) точки и зависящих от времени фувкционально независимых первых интегралов. Первым интегралом дифференциального уравненил (или системы) любого порндка называется первый интеграл эквивалентной системы первого порядка.
140 Глава з' Злдлчл 1. Докажите, что система уравнений Ньютона Р = — т[тг имеет первый интеграл, который в полярных координатах записываетсн в виде т ф 2 (« Е К ). Этот интеграл, называемый секториальноа скоростью, открыл Кеплер из наблюдений за движением Марса («второй закон Кеплера«). ЗАдАчА 2. Докажите, что секториальная скорость является первым интегрелом уравнении т = та(т) при любом виде функции а. Силовое поле вида та(т) называется иекгаральимл«. Предыдушан задача показывает, почему из второго закона Кеплера нельзя извлечь закон всемирного тнготения: нужен третий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
