Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 28
Текст из файла (страница 28)
ЗАДАЧА 2. Докажите, что 1-график каждого решения уравнения Е = О содержит вместе с каждой своей точкой интервал характперистикц проходящей через эту точку. Обратно, если 1-график функции состоит из целых характеристик, то фуикция — - решение. Ркшкник.
Вдоль 1-графика решения ду = рдх и Нр = (д и/дх )дх. Для характеристического вектора первое условие очевидно выполнено, а второе вытекает нэ равенства нулю сужения дЕ на 1-графни: сужение Г,дх+ барду+ -~-Ерду на 1-графнк имеет вид (Х', + ррр)дх+ Ррд и/дх дх. Доказательстно обратного (а также геометрическую мотнвнронку странного определении характеристик) можно найти в книге В.И.Арнольла «Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений» 13О Глава 8 М., 1978, 28, или в книге В.И. Арнольда «Математические методы классической механикиь, М., 1974, стр. 333 — 334: они основаны на геометрии поля контактных плоскостей в пространстве струй.
Результат задачи 2 сводит интегрирование нелинейного уравнения первого порядка (например, отыскание решения задачи Коши) к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений — уравнений характеристик. По начальному условию строится подмногообразие пространства 1-струй, проходящие через него характеристики образуют 1-график искомого решения. Злдлчл 3. Докажите, что характеристики нелинейного уравнения, явлнющегасн квазилинейным, проектируются в хараитеристики этого квазилинейнаго уравнения при отображении (х, р, 1г) ь«(х, у). Злдлчл «4. Доказать, что характеристики нелинейного уравнения Р = О инвариантно свнзаны с уравнением: при диффеоморфизмах х-пространства или даже произведения х-пространства на ось значений функции производные преобразуются так, что характеристики старого уравнения переходят в характеристики нового; при умножении Р на не обращающуюся в нуль функцию характеристики не меняютсн.
Определение. Ураннением Гамильтона — Якаби называется урнвнение с частными производными первого порндка,в которое явно не входит значение неизвестнОЙ функции, т.е. уравнение вида Я(х. ди/дх) = О. и(х) Рис. 91. Решение уравнении Гамильтона — Якоби Злдлчл 5. Доказать, что расстояние от точки плоскости до гладкой кривой на плоскости (рис.
91) удовлетворяет уравнению Гамильтона †Яко 2 (ди/дх«) = 1 в окрестности этой кривой (исключан саму кривую). Злдлчл 6. Доказать, что расстояние от точки евклидона пространства до гладкого подмнагообразин (любой размерности) в этом пространстве удовлетворнет уравнению Гамильтона — Якоби 2 (ди/дт,) = 1 в окрестности подмногоабразин (исключая сама подмногообразие). ЗАмечАние. В дейстнительнасти свнзь между гиперповерхностью Е и характеристиками на ней инвариантна относительно еще более широкой группы диффеоморфизмов пространстна струй, перепутывающей аргументы не толька са значенинми, но и с производными: важно лишь, чтобы диффеомарфизм пространства струй сохранял поле контактных плоскОстей (заданных ураннением «(у = р«(х).
Такие диффеоморфизмы называются контакгпяыл«и и образуют контактную группу, фундаментальную длн теории уравнений с частными произнодными перного порядка и длн геометрической оптики. 212. Консервативная систезьа с одной степенью свободы 151 Зядлчл 7. Доказать, что всякое решение уравненин Гамильтона — Якоби (до/дзь) = 1в достаточно малой окрестности любой точки евклидова пространства явлнется суммой расстояния до некоторой гладкой гиперповерхности и константы. Злдлчл 8. Доказать, что характеристики уравнения Гамильтона — Якоби Н = 0 проектируются на пространство (з, р) в виде фазовых кривых уравнений Гамильтона з = Нр, и = — Н„лежащих на поверхности нулевого уровня функции Гамильтона.
В 12. Консервативная система с одной степенью свободы В качестве примера применения первого интеграла к исследованию дифференциального уравнения мы рассмотрим здесь механическую систему с одной степенью свободы, без трения. 1. Определения. Консервативной системой с одной степенью свободы называется система, описываеман дифференциальным уравнением т. = г'(т), где Р дифференцируемая на некотором интервале 1 вещественной оси т.
функция. Уравнение (1) эквивалентно системе та = Ш2, т2 = с (Ш1)~ (ШЫ 22) Е 1 Х хь. (2) В механике принята следующая терминология: 1 — конфигурационное пространство; шз = т — координата; хз — ш скорость' т, ускорение; 1 х В фазовое пространство; (1) уравнение Ньютона; р' — силовое поле; р (и) — сила. Рассмотрим еще следующие функции на фазовом пространстве: Т = — = — кинетическая энергия. 2 2 152 Глава 2 потенциальная энергия: Е = Т+ 1Г полная механическая энергия. Очевидно, Е(х) = — — „, так что потенциальная энергия определяет Н1г систему. Пгимьв 1.
Для маятника 2 1 (рис. 92) и = — з1пх, х — угол отклонения, Е(х) = — з1вт,, ГГ(х) = — совт,. Для уравнения малых колебаний маятника х= — х х ГГ(х) = — ' 2 г(х) = — х, „2 г (х) = х, СГ(х) = — — ' 2 Рис. 93. Потенциальнан энергия маятника вблизи нижнего и верхнего поло- жений равновесия 2. Закон сохранения энергии. Теорема. Полная энерг я Е является переылг интегр л~ом системы (2). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Имеем П хз(1)з Ф 2 — + ~7(хг(2)) = хзхз+ гГ хт = хгЕ(х1) — У(хг)хг = 9, ~ з ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ г Г что и требовалось доказать. Рис. 92.
Потенциальнан энергии маятника Для уравнения малых колебаний перевернутого мантника х = х (рис. 93) 212. Консервативная система с одной степенью свободы 153 Доказанная теорема позволяет исследовать и явно «в квадратурах» решать уравнения вида (1), например, уравнение маятника. 3. Линии уровня энергии. Изучим фазовые кривые системы (2). Каждая из них целиком лежит на одном множестве уровня энергии. Исследуем зти множества уровня. Теорема. Множество уровня энергии < ,г (ж1, кг): — + Г(ю1) = Е 2 является гладкой кривой в окрестности каждой своей точки, исключая лишь положения равновесия, т.е. точки (т1, тг), где Е(тз) = О, юг = О.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Воспользуемся теоремой о ненвной функции. Имеем дЕ дЕ Е(х1)ь = тг ° дюз ' ' дг:г Если одна из производных отлична от О, то в окрестности рассматриваемой точки множество уровни Е нвляетсн графиком дифференцируемой функции вида ю1 = ю1(юг) или тг = лг(ю1). Теорема доказана. Заметим, что исключенные выше точки (юз, юг), где Г(к1) = О и юг = О, — это в точности стационарные точки (положения равновесия) системы (2) и особые точки векторного поля фазовой скорости. Далее, эти же точки являются критическими точками' полной энергии Е(х1, тг).
Наконец, точки тт, где Р(к1) = О, — зто критические точки потенциальной энергии Г. Чтобы нарисовать линии уровня энергии, полезно представлять себе шарик, катающийся в «потенциальной нме» Г (рис. 94). Зафиксируем значение полной энергии Е. Критической точкой функции называется точка, в которой полный дифференциал функции равен нулю. Значение функции а такой точке называется лрнтнчесин к зиачелаем. 154 Глава 2 У Заметим, что кинетическая энергия не- Е, отрицательна. Поэтому потенциальная энергии не превосходит полной.
Значит, линия уровня энергии Е проектируется на конфигу- 2 рационное пространство (на ось х1) в множес- 1 тво не превосходящих Е значений потенци- альной энергии (т1 Е 1: 11(х1) ( Е) (шарнк Хр не может подннться выше уровня Е в потен- циальной яме). х, Далее, скорость тем больше (по абсолют- ной величине), чем меньше потенциальная р„я ш „„„д: ) . ) = 2)л — а)г,)) ) циальной яме н фазовая е яму, шарик набирает скорость, а подникривая маясь, тернет ее). В «точках поворотам где 11(х1) = Е, скорость равна О. Из четности энергии по отношению к хз следует, что линия уровня энергии симметрична относительно оси х1 (шарик проходит каждую точку туда и обратно с одинаковой скоростью). Этих простых соображений достаточно, чтобы рисовать линии уровня энергии систем с разнообразными потенциалами Г). Рассмотрим сначала простейший случай (бесконечно глубокая потенциальнан яма с одним притягнваюгцим центром ~), когда Е(х) монотонно убывает, Е(~) = О, 1 = К (рис.
94). Если значение полной энергии Е, меньше минимума потенциальной Ез, то множество уровня Е = Е1 пусто (движение шарика физически невозможно). Множество уровни Е = Ез состоит из одной точки (г, 0) (шарик покоится на дне нмы). Коли значение Ез полной энергии больше критического значения Ез = Г)((), то множество уровня Е = Ез гладкая замкнутая симметричнан кривая, окружающая положение равновесия ((, 0) на фазовой плоскости (шарик катается в нме взад и вперед; он поднимается до высоты Ез, в этот момент его скорость обращается в О, н он скатываетсн обратно в нму, проходит ~'. в этот момент его скорость максимальна, поднимается с другой стороны и т. д.).
При исследовании более сложных случаев следует поступать подобным же образом, последовательно увеличивая значения полной энергии Е и останавливансь на значениях Е, равных критическим значениям потенциальной энергии 11(~) (где 11'(~) = 0), следя каж- 512. Консервативная система с одной степенью свободы 155 Пример 2. Пусть потенциальная энергия Г имеет три критические точки: 91 (минимум), ~г (локальный максимум), Сз (локальный минимум).
На рис. 95 показаны линии уровни Еэ — — Г(6), Г(6) < Ег < Г(~з), Ез = П(сьз), ьгГ(ьз) < Е4 < 5Г(ьг), Еь = Г(ьг), Ее > П(сг). ЗАдАчА 1. Нарисовать линии уровня энергии длн уравнения мантннка 9 = — эта и для уравнений маятника вблизи нижнего н верхнего положении равновесия (э = — э и 9 = э). ЗАдАчА 2. Нарисовать линни уровни энергии для задачи Кеплера сГ = — — 4- — и длн пас х э тенциалов, представленных на рис. 96.
Рнс. 95. Линии уровни энергии Рис. 96. Нарисуйте линии уровня энергии 4. Линии уровня энергии вблизи особой точки. При исследовании поведения линий уровня вблизи критического значения энергии полезно помнить о следующих обстонтельствах. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если потенциальная энергия — квадратичная дэорлэа Г = 9тг(2, то линии уровня энергии — кривые второго порядка 2Е = тг + Йю~. В случае притяженин й > О (т.е.
критическан точка Π— минимум потенциальной энергии Г (рис. 97)). В этом случае линии уровня энергии — гомотетичные эллипсы с центром в О. Уравнением Ньютона с таким потенциалом опксыэается пзмепепке расстояния планет н комет пт Солнца. дый раз за кривыми со значенинми Е, немного меньшими и немного боль- шими критических. Глава Е А>О " й<О х х В случае отталкивания к ( 0 (т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
