Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 30
Текст из файла (страница 30)
107). Рис. 107. Цилиндрическое фазовое пространство маятника Рис. 108. Угол отклонения ма- ятника и скорость его изменении при амплитуде. близкой к з Наворачивая на цилиндр нарисованную уже на плоскости картину,получим фазовые кривые маятника на поверхности цилиндра. Все они — замкнутые гладкие кривые, исключая две стационарные точки А, В [нижнее и верхнее положения равновесия) и две сепаратрисы С, 17. ЗАдАчА 1.
Нарисонать графики функции кг(г) и вх(1) для решения с энергией, близкой к критической энергии в верхнем положении, но немного меньшей. 212. Коясереативяая система с одной степенью свободы 163 Отнят. См. рис. 108. Функции х1(1', 212(1) выражаются через эллиптический синус еп и эллиптический косинус сп. Когда Е стремится к меньшему критическому значению, колебания ментникв приближвютсн к гермоническим, в эп и сп переходят в яп и соэ. Злдлчл 2. С какой скоростью стремитсн к бесконечности период Т колебаний мвнтникв, когда энергия Е стремится к верхнему критическому значению Е1? Отнят.
С логерифмической ( С1п(Е1 — Е)) указание. См. формулу (4) ° ЗАДАЧА 3. Нарисовать фвзовые кривые систем с потенциальной энергией 11(х) = ххешт,, х ш, ', хешх . ЗАдАчА 4. Нарисовать фазовые кривые уравнении Ньютона с силовым полем Р(х) = ххшпх, х ш, ", х ель х . 10. Малые возмущения консервативной системы. Исследован движении консервативной системы, мы можем изучать близкие системы общего вида при помощи теоремы о дифференцируемости по параметру (ср. 2 7, 5).
При этом мы встретим качественно новые и весьма важные в приложениях явления — так называемые автонолебанин. ЗАдАчА 1. Исследовать фвзовые кривые системы, близкой к системе уравнений малых колебаний маятника: < х1 = Х2 + е?1(Х1~ х2)ь 2 2 2 с « 1, т1 + тг ~ <11 ° тг = — Х1 + с,6(: 1, тг), Рвшвнив. Прн с = 0 получаем урвннения малых колебании маятника. По теореме о дифференцируемости по параметру при малых г решение (ня конечном интервале времени) отличветсн поправкой порядка Е от гармонических колебаний: хг = А соэ(1 — со), хг = — А э1п(1 — со). Следовательно.
при достаточно мелом с < се(Т) фвзонвн точка остеетсн вблизи окружности радиусе А в течение интервала времени Т. В отличие от консервативного случая (е = 0), при е Т 0 фвзовая крнвзя не обязательно замкнута: онв может иметь вид спирали (рис. 109), у которой расстояние между соседними витками мало (порядка с), Чтобы узнать, приблнжеетсн ли фезоввн кривен к началу координат или уходит 164 Глава 2 Рис. 109. Фазовые кривые уравнения Ван-дер-Поля и приращение энергии за один оборот ,2, 3 от него рассмотрим приращение энергии Е = — + — за один оборот во- 2 2 круг начала координат. Нас будет особенво интересовать знак этого приращении: на раскручивающейсн спирали приращение положительно. на сжимающейсн — отрипательно, а на цикле равно О.
Выведем приближенную формулу (5) длн приращении энергии. Производную энергии по направлению нашего векторного поля легко вычислитзо она пропорциональна Е и равна Е(аз, тз) = е(а~|~ + азиз). Длн вычислении приращения энергии за оборот следовало бы проинтегрировать эту функцию вдоль витка фазовой траектории, ноторан, к сожалению. нам неизвестна.
Но мы уже выяснили, что этот виток близок к окружности. Поэтому интеграл можно с точностью до О(ез) брать по окружности Я радиуса А: ЬЕ = е / Е(А сов П вЂ” Азш1) Ю ч-0(е ). Подстанляя вычисленное значение Е, находим' ЬЕ = еЕ(А) + 0(ез). где Е(А) = ~ ~~ Иве — Гг Иа~ (интеграл беретсн по окружности радиуса А «против часовой стрелки»). Вычислив функцию Е, мы сможем исследовать поведение фазовых кривых.
Если функция Е положительна, то приращение энергии ЬЕ за оборот также положительно (при малых положительных е). В этом случае фазовая кривая — раскручивающаясн спираль; система совершает нарастающие колебания. Если Е < О, то ЬЕ < О и фазовая спираль закручивается. В этом случае колебания затухают. Мы пользуемся тем, что дзз = зз 41 н дзз = — з~ дс вдоль Я. 112. Консервативная светел«в с одной степенью свободы 165 Может случиться, что функция г' меняет знак (рис.
109). Пусть Ав— простой корень функции г. Тогда прн малых в уравнению ЬЕ(хг, хз) = 0 удовлетворнет замкнутая кривая Г нз фззовой плоскости, близкая к окружности радиуса Ав (это следует из теоремы о ненвной функции). Очевидно, кривая Г являетсн звмкнутой фвзовой кривой — предельным циклом нашей системы. Будут ли близкие фазовые кривые наматываться нв цикл нли смвдг тываться с него, определнется знаком производной е' = — . ЕсдА ли вг ~ > О, то цикл неустойчив, а если ег«< 0 -- устойчив. Действительно, в первом случае приращение энергии зв оборот больше нуля, если фвзоввя крнввн находнтсн вне цикла, и меньше нулн, если внутри; поэтому фазоввн кривая всегда удаляется от цикла.
Во втором же случае фазовые кривые приближаются к циклу и изнутри, и снаружи, квк нв рис. 109. Ввимьв 1. Рассмотрим уравнение т = — х+вх(1 — хз) (назыввемое уравненввл«Пан-дер-Поля). Вычисляя интеграл (5) при уз = О, уз = А = хз(1 — хз), получаем г'(А) = я Аз —— 4). Эта функции имеет простой корень Ае = 2 (рис. 109), причем при меньших А она положительна, а при больших отрицательна. Поэтому уравнение Ван-дер-Поля имеет при малых в устойчивый предельный цикл.
близкий к окружности хз + хз = 4 на фазовой плоскости. Сравним движения исходной консервативной системы (в = 0) с тем, что происходит при в у: О. В консервативной системе возможны колебании с любой амплитудой (все фвзовые кривые замкнуты). Амплитуда определяется здесь начальными условиями. В неконсервативной системе возможны качественно иные явления, например устойчивый предельный цикл. В этом случае при весьма разных начальных условиях устанавливаетсн периодическое колебание одной и той же, вполне определенной амплитуды. Этот установившийся режим называется режимом автоколебаний. Злдлчл *2.
Исследовать ввтоколебвтельные режимы движения мвнтника с малым трением под действием постоянного врвщвюшего момента М: т, -~- вше -~- ех = М. Указание. Этв задача подробно разобрана для любых в и М в книге А. А. Андронова, А. А. Витта, С. Э. Хайкина «Теория колебанийэ (Мл Физматгиз, 1959, гл. 7). ГЛАВА 3 Линейные системы Линейные уравнения едва ли не единственный большой класс дифференциальных уравнений, для которых имеется достаточно полная теория. Эта теория, нвляющаяся, в сущности, ветвью линейной алгебры, позволяет полностью решить все линейные автономные уравнения.
Теория линейных уравнений полезна в качестве первого приближенин и при исследовании нелинейных задач. Например, она позволяет исследовать устойчивость положений равновесии и топологический тип особых точек векторных полей в случаях общего положения. 3 13. Линейные задачи Рассмотрим вначале два примера ситуаций.
где возникают линейные уравнения. 1. Примерг лииеаризация. Рассмотрим дифференциальное уравнение, заданное векторным полем а в фазовом пространстве. Мы уже знаем, что в окрестности неособой точки (в ф О) поле устроено просто: оно выпрямляется диффеоморфизмом. Рассмотрим теперь устройство поля в окрестности особой точки, т.е.
точки, где вектор поля обращаетсн в О. Такая точка ло являетсн стационарным решением нашего уравнения. Если уравнение описывает какой-либо физический процесс, то ло — стационарное состояние процесса, его «положение равновесинм Поэтому исследование окрестности особой точки это изучение того, как будет развиватьсн процесс при малом отклонении начальных условии от равновесных (пример: верхнее и нижнее положения равновесия маятника). При исследовании векторного поля в окрестности точки ло, где вектор поля равен О, естественно разложить поле в окрестности этой точки в ряд по формуле Тейлора. Первый член ряда Тейлора — линейный. Отбрасывание остальных членов называется линеаризацией.
Линеаризованное векторное поле можно рассматривать как пример векторного 167 з 13. Линейные задачи поля с особой точкой х„. С другой стороны, можно надеяться, что поведение решений исходного и линеаризованного уравнений близко (так как при линеаризации отбрасываются малые высшего порядка).
Конечно, вопрос о связи решений исходного и линеаризованного уравнений требует специального исследования. Это исследование основывается на подробном анализе линейного уравнения, которым мы и будем вначале заниматься. ЗАДАЧА 1. Покажите, что лннеарнзацнн — ннварнантная, т.е. не завнснщан от системы координат, операция. Точнее пусть поле о в области Г задаетсн в системе координат хг компонентами ег(х). Пусть псовая точка имеет координаты х, = 0 (так чтп ог(О) = О, г = 1, ..., и).
Тогда исходное уравнение записывается в виде системы хг = пг(х), г = 1, ..., н. Определение. Линеаризованкмм уравнением называется уравнение аг,зезч з=г дт ~ г=1,...,п, аьз= — * дхз ( Рассмотрим касательный вектор б Е Торс компонентамн сг (г = 1, ..., гг).
Линеаризованное уравнение можно записать в виде где А линейное отображение А: Те г1 — г То11, заданное матрицей ап. Утаерждветса, что отображение А не зависит от системы координат хг, участвовавшей е его определении. ЗАДАЧА 2. Лннеарнзовать уравнение мантннка х = — гйих вблизи положении равновесин хе = йкг хче = О. Напомнкм, что мы включаем в опреаеленне оянопараметрнческой группы Лз Лкфференцнруемость Лзх по х к А 2. Пример: однопараметрические группы линейных преобразований к~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
