Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 33
Текст из файла (страница 33)
ЗАДАЧА 2. Докажите, что при и -+ оо 182 Глава Я Тем самым доказана Теореме. Пусть г = и+ 1п — комплексное число, А: К -+ В 2 3 оператор умножения на г. Тогда сл еся~ь операгаор умножения на комплексное число е" (соэ и + г', вше). Определение. Комплексное число е (сове-ьг'в1пи) = 1пп 1+ — 1 Пг называется экспонентой комплексного числа г = и+ 1и и обозначаетсн (7) е~ = с" (соэ п + г зш и). ЗАмечАние. Если не отличать комплексное число от оператора умножении на это число, то определение превращается в теорему, поскольку экспонента оператора уже определена.
ЗАДАЧА 3. Найти с „с', с', е ', с Злдлчл 4. Докажите, что е" э" = е" е" (т Н С, гг Е С). ЗАМЕЧАНИЕ. Поскольку экспонента определнется также рядом, имеем 2 е'=1+э+ — +..., гйС 21 (ряд сходится абсолютно и равномерно в каждом круге ~г~ < а). ЗАДАЧА 5. Сравнивая этот ряд с формулой Эйлера (7), вывести ряды Тейлора для в1пе, сове. Злмечлние.
Обратно, зная ряды Тейлора вши, сов и, е'", можно было бы доказать формулу (7), приняв формулу (8) за определение е'. 6. Ломеные Эйлера. Соединяя формулы (4) и (5), мы получаем метод приближенного решения дифференциального уравнения (3), называемый методом ломаных Эйлера. Рассмотрим дифференциальное уравнение с линейным фазовым пространством К", заданное векторным полем и. Чтобы найти решение 1р уравнения х = и(х), х Е В", с начальным условием хэ, поступим следующим образом (рис. 111).
Скорость в точке хо нам известна: это п(хв). Будем двигаться с постоннной скоростью п(хе) из хо в течение времени Ьй = г/Х. Попадем в точку хг = хо + е(хв)глй В течение 183 з 15. Свойстпва экспонектпы следующего отрезка времени Аг будем двигатьси со скоростью и(хг), и т.дл хь» д — — хь + и(хь) Ы, Й = О, 1„..., % — 1. Обозначим через Хту(1) последнюю точку, хтт. Заметим, что график, изображающий движение с кусочно-постоянной скоростью, это ломаная линия из Ж звеньев в расширенном фазовом пространстве Кх К". Эта ломаная и называется ломаной Эйлера. Естественно ожидать, что при тт' — > оо последовательность ломиных Эйлера сходится к интегральной кривой, так что последнян точка Хы будет при больших тт' близка к значению решении тр с начальным условием тр(0) = хо в точке й Теорема.
Для линейного уравнения (3) 1пп Хд (1) = цт(1). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По определению ломаной Эйлера при в(гг) = Ах имеем Хтч = (Е+ — ) хо. А11 1У) Поэтому Нпт Хтч = етлхо (см. (5)). Итак, ту — т со ХО й и и и 1пп Хту = ттэ(1) те — тсо (см. (4)). Рис. 111. Ломаная Эйлера Здддчд 1. Докажите, что не только конец ломаной Эйлера стремится к ю(1)т но и вся последовательность кусочно- линейных функций Оо т 1 -+ й", графиками которых служат ломаные Эйлера.
равномерно сходится к решению тр на отрезке [О, 1]. Практически приближенно решать уравнение с помощью ломаных Эйлера неудобно, так как приходитсн брать очень малый шаг ты, чтобы получить заданную точность. Чаще пользуются различными усовершенствованиями этого метода, Здмвчднив.
Ломаная Эйлера в общем случае (когда векторное поле о зависит от х нелинейно) также может быть записана в виде Хтч = (Е'+ — ~ хо, где А -- нелинейный оператор, переводящий точ1А1 ку х в точку и(х). В дальнейшем мы увидим, что и в этом случае последовательность ломаных Эйлера сходится к решению, по крайней мере при достаточно малых ф Я 31,9). Таким образом, выражение (4), в котором экспонента определена формулой (5), даст решение вообще всех дифференциальных уравнений . 184 Глава Я Эйлерова теория экспоненты, единообразная во всех своих вариантах от определения числа е, формулы Эйлера для е', формулы Тейлора, формулы (4) для решения линейных уравнений и до метода ломаных Эйлера, имеет много других применений, выходящих за рамки нашего курса.
Э 16. Определитель экспоненты Если оператор А задан своей матрицей, вычисление матрицы оператора ел может требовать длинных выкладок. Однако определитель матрицы ел можно, как мы сейчас увидим, вычислить очень легко. 1. Определитель оператора. Пусть А: К" — > К вЂ” линейный оператор. Определение. Определителем оператора А называется определитель матрицы оператора А в каком-нибудь базисе еы ..., е„; обозначение: г1еь А.
Определитель матрицы оператора А не зависит от базиса. Действительно, если (А) матрипа оператора А в базисе еы .... ео, то матрицей оператора А в другом базисе будет (В)(А)(В '), и г1е1(В)(А)(В ') = г1е1(А). Определитель матрицы — это ориентированный обвем параллелепипедах, ребра которого задаются столбцами матрицы. гсг хг Например, при п = 2 (рис. 112) определитель ' есть плоУх Ух щадь параллелограмма, натянутого на векторы цы цг с компонентеми (хы Уг) и (хз, Уз), взнтан со знаком плюс, если УпоРЯдоченнаЯ паРа векторов (цх, цг) задает ту же ориентацию й , что и базисная пара г векторов (еы ез) и со знаком минус в противном случае.
в которых интегральная ьриван аппроксимируется не отрезком прямой, а отрезком параболы той или иной степени. Наиболее часто используются методы Адамса, Штермера и Рунге. С ними можно познакомиться по учебникам приближенных вычислений. гПараллелепипед с ребрами бг, ..., бо б Ж" есть подмножество Ж", состоящее из всех точек вида хгбг +... + кобо, 0 < х, < ь при и = 2 параллелепипед называется параллелограммом.
Если вы знакомы с каким-либо определением объема, то легко докажете выделеное утверждение. Если же нет, то можете принять его за определение объема параллелепипеда. 185 х 16. Определитель энснонентьс Столбец с номером с в матрице оператора А в базисе ес, ..., е„ составлен из координат образа базисного вектора Ае;. Поэтому определитель оператора А это ориентированный объем образа единичного куба (пар ллелепипеда с ребрами ем..., ен) при отображении А.
х, е, Зядлця 1. Пусть П вЂ” параллелепипед с линейно независимыми ребрами. Докажите, что отношение (ориентированного) объема образа параллелепипеда АП к (ориентированному) объему П не зависит от П и равно с(ес А. Рис. 112. Определитель матрицы равен ориентированной площади параллелограмма,натянутого на ее столбцы Итак, определитель оператора А это коэффициент изменения ориентированного объема: при применении А ориентированный объем любой фигуры меняется е «1еСА раз. Геометрически вовсе не очевидно, что растяжение объема для всех фигур одинаково (даже в случае плоскости), ведь форма фигуры при линейном преобразовании сильно меннется.
2. След оператора. Следом матрицы А называется сумма ее диагональных элемевтов. След обозначается Сг (от английского «Стасе») или Ярпг (от немецкого «Врпг»): сгА = ~ а«п След матрицы оператора А: 11" --» К" не зависит от базиса, но лишь от самого оператора А. ЗАдАчА 1. Докажите, что след матрицы равен сумме всех и ее собственных чисел, а определитель — их произвелепию. Указание. Примените формулу Виета к многочлену с1ес(А — ЛЕ) = ( — Л)" + ( — Л)" ~оп -~- .. Злмкчлник.
Читатель, знакомый с теорией измерения объемов в П", может заменить П любой фигурой, имеющей объем. 186 Глава у Собственные числа уже не зависят от базиса. Это позволяет дать следующее Определение. Следом оператора А называется след его матрицы в каком-нибудь (и тогда в любом) базисе.
3. Связь определителя и следа. Пусть А: Н" — > Рэ — линейный оператор, с Е Й. Легко доказывается Теорема. При л — ~ 0 г(е1(Е+вА) = 1+ всгА+ 0(сз). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Определитель оператора Е + вА равен произведению собственных чисел. Собственные числа оператора Е+сА (с учетом кратностей) равны 1 + лЛг, где Л; — собственные числа А. Поэтому г(е1(Е+вА) = Ц(1+вЛг) = 1+ а~Л;+ 0(с~), о=1 о=1 что и требовалось доказать. Втогое доклзлтельство. Ясна, что у(в) = де1(Е-~-вА) многочлен относительно в, причем у(0) = 1. Нужно доказать, что 1о'(О) = Гг А.
Определитель матрицы бхяб обозначим через 11((хп)). По правилу дифференцирования сложной функции Лоо ~,~ да ЛХО где хи(в) — элементы матрицы Е+ вА. Частыая производная ~ равна дг1 дхп по определению — йео(Е+ йео), где в;. — матрица, единственный ненумйо левой элемент которой это 1 в г-й строке, гсм столбце. Но г1сс(Е-~-бее) = 1 пригфли1Ч-й.еслиг=гС Итак, ~ =О.еслигфлйи1.еслиг=Г.
дл дхп Поэтому Ф о1хи — '* = ~ аа = гг А. дв, дв =о *=1 что и требовалось доказать. Между прочим, мы заново доказали независимость следа от базиса. 187 116. Определитель экспоненты Следствие. Влияет лишь изменение каждого ребра в егв собственном направлении; изменение же в направлении других ребер дает в изменение объема лишь вклад второго порядка малости. Например, площадь параллелограмма, близкого к кведрату !рис. 113), малыми второго порядка малости отличаетсн отличается от площади заштрихованного прнмоугольника. Можно было бы доказать это следствие из элементарно-геометрических соображений; это привело бы к геометрическому доказательству предыдущей теоремы.
4. Определитель оператора ел. Рнс. 113. Приближенное определение площади параллелограмма, близкого к квадрату Теорема. Для любого линейного оператора А: Жп — ь !кп !ет ел гол ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно второму определению экспоненты е!О1 е = г!е1 !пп Е + — = !пп е!е1 Е + — „, е!ет Е+ — = Йе1 Е+ — „ 1+ —,„тгА+ 0 — .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
