Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 36
Текст из файла (страница 36)
125). Выберем в С координату: г = х. +»у. Исследуем изменение веШественной и мнимой частей х(1), у(1) при движении фазовой точки. Из (4) находим х(1) = ге~~ соз()р+ со1), у(1) = гео«з1п(~р+ и)с), где постоянные г и )р определнются начальным условием (рис. 126). Таким образом, при а > 0 координаты х(1) и у(1) испытывают «гармонические колебании с частотой ы и с зкспоненциально нарастаюшей амплитудой гс с», а при а < 0 — затухающие колебания. Изменение х. или у со временем можно записать также в виде Аеол созш1+ Вео«гйп)Л, где постоянные А и В определяются начальными условиями. Злмкчлнив 1.
Исследован таким образом уравнение (3), мы одновременно исследовали все однопараметрические группы С-линейных преобразований комплексной прямой. Злмкчлннв 2. В то же время мы изучили систему линейных уравнений на вещественной плоскости < х' = с»х — и)у) у =ых+ау, в которую переходит уравнение (3) после овешествления. Из теорем пп. 2, 3 и вычислений п. 4 непосредственно вытекает явная формула для решений уравнения (1). 5. Следствие.
Пусть п корней Лы ..., Л„характеристического уравнения (2) попарно различны. Тогда всякое решение )р уравнения (1) имеет вид )р(с) = ~ сье ' 5») »=1 (5) где ~ь — не зависящие от начальных условий постоянные вектора, сь зависящие от начальных условий комплексные постоянные. При 202 Глава Я любом выборе этих постоянных формула ~5) дает решение уравнения (1). Если хы ..., з„линейная система координат в С", то вещественная (или мнимая) часть каждой координаты з~ = х1 + гу~ будет меняться со временем, как линейная комбинация функций е ььсозыь1. е'""ьа1пшьа х~ =~~ гь ьеоь соь~1эь ь+ьэь1) = ь=ч Аь,~е~ь~ соьшь1+ Вьдео" шпшьг, ь=1 гДе Ль = аь +1ыь, а г, ьо, А,  — веЩественные постоЯнные, зависЯЩие от начальных условий.
Для доказательства достаточно разложить начальное условие по собственному базису: ~р(0) = сьр1 + ... + СДн. В 20. Комплексификация вещественного линейного уравнения Воспользуемся результатами исследования комплексного уравнения для изучения вещественного случая. 1. Комплексифицироваиное уравнение.
Пусть А: Кн -+ К" —— линейный оператор, задающий линейное уравнение к=Ах, хЕВ Комплексификация уравнении (1) — — зто урввнение с комплексным фазовым пространством 2 = Ах, х ЕС =~К". (2) Лемма 1. Решения уравнения (2) с комплексно сопряженными начальными условиями комплексно сопряжены.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть ~р — решение с начальным условием ~р(1о) = хо (рис. 127). Тогда ~р(се) = хо. Покажем, что уэ решение. Тогда лемма будет доказана (ввиду единственности). З 20. Квмалексификацвл вещественного линейнвгв уравнен л 203 При любом значении 1 имеем что и требовалось доказать. Злмвчлник. Вместо уравнения (2) мы могли бы взять более общее уравнение х = х'(х, 1), х Е ))1", Рис. 127. Комплексно сооряженные решения правая часть которого принимает комплексно сопрнженные значения в комплексно сопряженных точках: х'(Х.
1) = х (х. г). Например, этому условию удовлетворнет любой многочлен от координат гъ вектора х в вещественном базисе, коэффициенты которого вещественные функции от й Следствие. Решение уравнения (2) с вещественным начальным условием вещественно и удовлетворяет уравнении (1).
Ибо если бы ш ф уг (рис. 128), то нарушалась бы теорема единственности. В следующей лемме линейность уравнения существенна. Лемма 2. Функция х = ~р(1) тогда и только тогда является решением комилексифицированяого уравнен я (2), когда ее вещественное и мнимая части удовлетворяют исходному уравнению (1). Действительно, сА(х + 1у) = Ах + 1Ау, поэтому овеществление уравнения (2) распадается в прямое произведение: < к=Ах, хбн", у=Ау, уЕВ".
Из лемм 1 и 2 видно, как, зная комплексные решения уравнения (2), можно находить вещественные решения уравнения (1), и обратно. В честности, формулы (6) и. б 2 1У дают явный вид решения в случае некратных корней характеристического уравнения. 2. Инварнантные надпространства вещественного оператора.
Пусть А: В" — ъ В" — вещественный линейный оператор. Пусть Л вЂ” один из корней характеристического уравнении деъ)А — ЛЕ~, вообще говоря, комплексный. Очевидна 204 Глава Я Лемма 3. Если г. Е С" = сй" собственный вектор оператора СА с собственным значением Л, то (' собственный вектор с собственным значением Л. Кратности собственных чисел Л и Л совпадают. Действительно, поскольку сА = сА, уравнение сА~ = Л~, эквивалентно сА~ = Л ~ и характеристическое уравнение имеет вещественные коэффициенты. Рис.
128. Решение с еещест- Рис. 129. Собственные числа вещественного оператора ееиным начальным условием не может принимать комплексных значений Предпололсим теперь, что собственные числа Лы ..., Л„Е С оператора А: В" — ь В" попарно различны (рис. 129). Среди них имеется некоторое число и вещественных собственных чисел и некоторое число р, комплексно сопряженных пар (причем и+2р, = и, так что четность числа вещественных собственных чисел равна четности п). Легко доказывается Теорема. Пространство К" распадается в прямую сумму и инвариантных относительно А одномерных и р, инвариантных относительно А двул1ерных подпространств.
Действительно, вещественному собственному числу отвечает вещественный собственный вектор и, значит. одномерное инвариантное надпространство в В". Пусть Л, Л одна из пар комплексно сопряженных собственных чисел. Собственному числу Л отвечает собственный вектор ~ б С" = сВ" ьомплексифицированного оператора сА. Сопряженный вектор ф по лемме 3 также является собственным, с собственным значением Л. Комплексная плоскость Сз, натянутая на собственные векторы ~, ~ инвариантна относительно оператора сА.
Вещественное надпространство Й С сй" также инвариантно. Поэтому их пересечение также ин- Ь 20. Комнлекснфнкацня вещественного линейного уравнен я 205 вариантно относительно сА. Покажем, что это пересечение является двумерной вещественной плоскостью Кг (рис. 130). Действительно, рассмотрим вещественную и мнимую части собственного вектора ~: ш = — (4+ 4) с Кп, У = —.(ч — ч) с К". 2 2г Будучи С-линейными комбинациями векторов й и г, векторы ш и у принадлежат пересечению С й К". Векторы ш и у С-линейно независимы, так как через них линейно выражаются С-независимые векторы й, (: Рис.
130. Вещественная часть комплексного соб- ственного вектора принадлежит инвариантной вещественной плоскости й = х+ду, й = ш — гу. Итак, каждый вектор плоскости С однозначно записываетсн в виде комплексной линейной комбинации вещественных векторов ш и у: г1 = ого+ Ьу, а Е С, Ь Е С. Такой вектор вещественнен (г1 = г1), если и только если аж + Ьу = = аж+ Ьу, т.е. а и Ь вещественны. Итак, пересечение С й Кп -- это двумерная вещественнан плоскость Кз, натянут я на векторы ш и у вещественной и мнимой частей собственного вектора ~.
Собственные числа сужении оператора А на плоскость К вЂ” это Л 2 и Л. Действительно. комплексификация не меняет собственных чисел. После комплексификации сужения А на Кз получится сужение сА на сА. Но плоскость С натннута на собственные векторы оператог ра сА с собственными числами Л, Л. Итак, собственные числа А ~ Кз суть Л и Л. Остается показать, что построенные одномерные и двумерные инвариантные надпространства пространства К" К-линейно независимы.
Это сразу следует из того, что п собственных векторов оператора оА С-линейно независимы и линейно выражаются через наши векторы йь (к = 1, ..., и) и шь, уг (к = 1, .... р). Теорема доказана. Таким образом, в случае, когда все собственные числа оператора А: К" + К" простые, линейное дифференциальное уравнение 206 Глава Я х = Ах, х Е Кп, распадается в прямое произведение уравнений с одномерными и двумерными фазовыми пространствами.
Заметим, что многочлен общего вида кратных корней не имеет. Итак, для исследования линейных дифференциальных уравнений необходимо прежде всего рассмотреть линейные уравнении на примой (что мы уже и сделали) и на плоскости. 3. Линейное уравнение на плоскости. Теорема. Пусть А: жп -+ Кп — линейный оператор с невещественными собственными числ ми Л, Л. Тогда А представляет собой овеществление оператора Л: С вЂ” ь С~ умножения на комплексное число Л. Точнее, плоскость К можно снабдить структурой комплексной прямой С . так что К~ = иС и А = иЛ. ДОКЛЗАтВЛКСтВΠ— несколько таинственная выкладка~.
Пусть х+ ау Е сй" комплексный собственный вектор оператора сА с собственным значением Л = о + хсп. Векторы х и у образуют базис в К~. Имеем, с одной стороны. ОА(х+ ау) = (о+ты)(х+ ту) = нх — азу+2(азх+оу) и, с другой, сА(х + ту) = Ах + 2Ау, откуда Ау = спх + оу Ах = нх — азу, т.е. оператор А: К~ — > К~ в базисе х. у имеет ту же матрицу что оператор иЛ умножении на Л = ст+тсп в базисе 1, — 2. Итак, искоман комплексная структура на Й получится, если приннть х за 1 и у за — 2.
2 Выкладку можно заменить следующим рассуждением. Пусть Л = а + иж Определим оператор 1: йт — ь Жх условием А = оЕ + л б Такой опервтор 1 существует, так как ы рС О по условию. Тогда 12 = — Ж,так квк оператор А удовлетворяет сваему характеристическому уравнению. Принимая 1 аа умножение на С получаем в йт нужную комплексную структуру. 3 20. Комплеясифияац я вещественного линейного уравнения 207 Следствие 1. Пусть А: Кз — > Кз линейное преобразование евклидовой плоскости с невещественными собственнылщ числами Л, Л. Тогда преобразование А аффинно эквивалентно растяжению в ~Л~ раз с поворотом на угол ага Л.
Следствие 2. Фазовый поток линейного уравнения (1) на евклидовой плоскости В с невещественными собственными числами 2 Л, Л = а х гьо аффинно эквивалентен семейству растяжений в е ~ раз с одновременным вращением на угол ьо1. Рис. 132. Эллиптический поворот Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
