Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 40
Текст из файла (страница 40)
С(й зо) = бзее также взаимно однозначно и взаимно непрерывно. Отображение 6 по определению (6) совпадает с отображением С о Е ~: И" 1 Π— ~ И" 1 О всюду, кроме точки О. Таким образом, мы доказали, что 6: И" -+ И" взаимно однозначное отображение. Непрерывность 6 и 6 з всюду, кроме точки О, следует из непрерывности Е, И и С, С (в действительности 6 — диффеоморфизм всюду, кроме точки О; рис. 161).
Рнс. 162. Стандартное седло Рис. 161. Гогаеоморфнзм 6 является диффеоморфизмом всюду,кроме О Непрерывность 6 и 6 з в точке О следует из леммы 6. Эта лемма позволнет получить даже некую оценку гз(6(е» через г~(е), Оеб ( 1: ('(*»"- < '(Ца» <('(*»"' Действительно, пусть и = Р(й ао), а ( О. Тогда )11 ( 1пг~(е) < о1 и Ьзгз(Це» = 26 Наконец, при е ф О имеем е = 1'ее, поэтому (6 У')(*) = Щ'(7'"(е») = Ц('+" (ео» = = д+'(щ) = д (л'(щ» = И (6(е» = (6' о 6)(е).
При е = О также (6 о ~')(е) = (йз о 6)(е). Итак, утверждения 1), 2), 3) п. 6 доказаны. Доказательство леммы 3 закончено. 8. Доказательство теоремы о топологической классификации. Из лемм 1, 2, 3 следует, что всякая линейная система и = Аш, 228 Глава Я у которой оператор А: К" — > К" не имеет собственных чисел с нулевой вещественной частью, топологически эквивалентна стандартному многомерному седлу (рис. 162): Йз= — ты хзаахг, хгЕК, хзЕК Следовательно, две такие системы с одинаковыми числами т, ть топологически эквивалентны друг другу.
Заметим, что подпространства Кж и К + инвариантны относительно фазового потока (д"). При увеличении с вснкан точка К™ приближается к О. ЗАДАЧА 1. Докажите, что д" х — Ь О при у — > +со тогда и только тогда, когда х Е К Поэтому К™ -- называется входящим усом седла. Точно так же К " называетсн выходящим усом. Выходящий ус определяется условием д"х — ь О при У вЂ” ь †. Докажем теперь вторую часть теоремы о топологической классификапии: у топологически эквивалентных систем одинаково количество собственных чисел с отрицательной вещественной частью.
Это количество есть размерность т входнщего уса. Итак, достаточно доказать, что размерности входящих усов у топологичесни эквивалентных седел одинаковы. Заметим, что всякий гомеоморфизм 6, переводящий фазовый поток одного седла в фазовый поток другого, обязан переводить входящий ус одного во входящий ус другого (поскольку стремление к О при 1 †> +со сохраняется при гомеоморфнзме). Поэтому гомеоморфизм 6 осуществляет также гомеоморфное отображение входящего уса одного седла на входящий ус другого.
Совпадение размерностей усов вытекает теперь из следующего топологического предложения: Размерность пространства К" — - топологичесний инвариант. Иными словами, голевморфизм 6: К ' -+ К" существует только между пространствали одинаковой размерности. Хотя это предложение и кажется очевидным, доказательство его не просто и не будет здесь приводиться. 1сущеетвуют, однако, взаимно однознечные отображения К -е и", а также непрерывные отображения Кж не Жо при т < и (например, Яз -+ Кз).
229 323. Устподчивость ноаансений равновесия ЗАдАчА 2. Докажите, что 4 седла с трехмерным фазовым пространством н с (т-, гн+) = (3, 0), (2, 1), (1, 2), (О, 3) тополагическн не эквивалентны (не пользуясь недоказанным топологическнм предложением). Указание. Одномерный ус состоит из трех фазовых кривых, а более чем одномерный — из бесконечного числа (рис. 163).
Таким образом, топологическан классификация линейных систем с ненулевыми вещественными частями собственных чисел в К, Й и К проведена полностью, тогда как в Во при п > 3 мы вынуждены ссылаться на недосказанное утверждение о топологичесиой инвариантности размерности. ЗАдАчА 3. Провести топологическую классификацию линейных операторов А: И" — в К", не имеющих собственных чисел с модулем 1. Рис. 163. Усы трехмерных седел В 23.
Устойчивость положений равновесия Вопрос об устойчивости положения равновесия нелинейной системы решается так же, как для линеаризованной системы, если у последней нет собственных чисел на мнимой оси. 1. Устойчивость по Ляпунову. Рассмотрим уравнение ш=е(ж), шЕГЕВ где п — - г > 2 раз дифференцируемое в области и векторное поле. Предположим, что уравнение (1) имеет положение равновесии (рис. 164).
Выберем координаты он так, чтобы положение равновесии было началом координат: о(О) = О. Решение с начальным условием 4о(1о) = 0 есть <р = О. Нас интересует поведение решений с близкими начальными условиями. Определение. Положение равновесия ш = О уравнения (1) называется устойчивым (или устойчивым по Ляпунову), если для любого в > 0 существует о > 0 (зависящее только от в и не зависящее от 1, о котором идет речь ниже) такое, что для всякого щь длн 230 Глава Я Рис. 164. Останутся ли вблизи положения равновесии фазовые кривые, начинающиесн в его достаточно малой окрестности Рис. 165. Устойчивое и не- устойчивое положения рав- новесияг рааличие в поведе- нии интегральных кривых которого Оке~[ < б, решение ьо уравнения (1) с начальным условием и1(0) = хе пРоДолжаетсн на всю полУось С > 0 и УДовлетвоРЯет неравенству 01р(С)[~ < е длн всех х > 0 (рис.
165). Иными словами, устпойчиеость положения равновесия по Ляпунову это равномерная на интере ле [О, +ос) сходимость (к постоянному решению) решений, начальные значения которых стремятся к рассматриваемому положению равновесия.
Сходимость значений решении при любом фиксированном С гарантируется теоремой о непрерывной зависимости решения от начального условия: важна именно равномерная сходимость, т.е. независимость О от С. ЗАДАЧА 1. Исследовать устойчивость положений равновесия: 1) х = О, ( хг = хг, Х1 = Х12 3) ~ 4) ~ 2) х = х' х2 = х11 х2 = х21 < Л1 = Х22 5) Хг = — ЕШХ1. Злллчл 2. Покажите. что приведенное определение корректно.
т.е.что устойчивость положения равновесия не зависит от системы координат, участвовавшей в определении. 1Еслн х = (х1, ..., х ), та )[х)[2 = х21 -~- хг 2-~- ... -~- хг . ЗАДАЧА 3. Пусть известно, что для любого сч > О, е > 0 существует такое решение Чг уравнения (1), что длн некоторого С > 0 ~[Ь2(С) ~[ > гч 'ечг(0) е, причем [[1р(0)[) < е. Вытекает ли отсюда неустойчивость положении равновесия х = О? 231 3 23. Устойчивость положений равновесия 2. Асимптотическая устойчивость. Определение. Положение равновесия ж = О уравнения (1) называется асииптотичесни устойчиаыль, если оно устойчиво (по Ляпунову) н 1пп бь(1) = Πà — ь+аь Рис.
166. Асимптотически устойчивое полажение равновесия: интегральные кривые ЗАДАЧА 1. Решить задачи 1), 2), 3) п. 1, заменив везде устойчивость асимптотической устойчивостью. ЗАДАЧА 2. Вытекает ли устойчивость положения равновесия по Ляпунову из саго, что каждое решение стремится в етому положению равновесия при г -ь +оо7 lг ~ ~ (2) Рис.
167. йьазовые кривые уравне- ний (1) и (2) Рис. 168. Собственные числа оператора А 3. Теорема об устойчивости по первому приближению. Наряду с (1) рассмотрим линеаризованное уравнение (рис. 167) в=Аж, А:К" — гй". (2) Тогда о(ж) = ог + оз, от(ж) = Аж, оз(ж) = 0(йжбз).
для всякого решения ш с начальным условием ~р(О), лежащим в доста- точно малой окрестности нуля (рис. 166). 232 Глава Я 'Теорема. Пусть все собственные числа Л оператора А лежат в левой полуплоскости: ВеЛ < О (рис. 168). Тогда положение равновесия ш = О уравнения (1) асииптотически устойчиво. ЗАДАЧА 1. Приведите пример неустойчивого (по Ляпунову) положения равновесия уравнения (1), для которого все ВеЛ < О.
Злмечлнин. Можно доказать, что если вещественная часть хотя бы одного собственного числа Л положительна, то положение равновесия неустойчиво. В случае нулевых вещественных частей устойчивость зависит от членов ряда Тейлора выше первой степени. ЗАДАЧА 2. Устойчиво ли (ло Ляпунову и асимптотическн) нулевое поло>кение равновесия системы й> = вз, йз = — е>2 Ответ. Если и четно„ неустойчиво (по Ляпунову); если нечетно, то устойчиво (по Ляпунову), ио не асимптотически.
4. Доказательство теоремы. Соглас- но 2 22, и. 3 существует функция Лнпунова: полоопзь жительно определенная квадратичнан форма гз, производная которой по направлению линейного поля в> отрицательно определена: Х г < — 2 ус, где Т вЂ” положительная постоянная (рис. 169). уровня функции Ляпунова Лемма.
В достаточно малой окрестности точки з = О производи я функции Ляпунова по наяравлени>о нелинейного поля е удовлетворяет неравенству й,г < — Тг. (3) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, Т, >з = Т,„г~ + Е„г~. Покажем, что при малых т второе слагаемое гораздо меньше первого: Е, гз — 0(тз) (4) В самом деле, для любого поля и и любой функции у ду Т„)'=~, ио дац >=1 233 З 23. Устойчивость положений ревновесия В нашем случае (н = оз, 7" = гз) и. = О(гз) и = О(г) (почемуу)„ ду дл; откуда и вытекает соотношение (4). Итак, существуют С > О, о.
> 0 такие, что для всех ж с ~(жц < о выполнено неравенство )уеьгз)е < С(гз(ж))зУз. Правая часть не больше уг~ при достаточно малых цжЙ, так что в некоторой окрестности точки ж = 0 у,,г < — 2'угз+-уг = — 'уг ° Лемма доказана. Пусть ~р решение уравнения (1), отличное от нулевого„с начальным условием в достаточно малой окрестности точки ж =- О. Определим функцию времени р соотношением р(1) = 1пг~(Чь(й)), 1 > О. По теореме единственности г~(1о(1)) ф О, так что функция р определена и дифференцируема. Согласно неравенству (3) р= — г оу= ( — у, 1 с1 з л гз во,рс)1 з Отсюда вытекает. что гз(ср(1)) монотонно убывает и стремится к 0 прн 1 — ь +сю: р(1) < р(О) — у1, г~(во(1)) < гз(ср(0))в ть' — > О, (5) что и требовалось доказать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
