Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 41
Текст из файла (страница 41)
ЗАДАЧА 1. Указать пробел в приведенном доказательстве. Ркшкник. Мы не доказали, что решение у продолжается вперед неограниченно. Рассмотрим такое сс > О, что при цж~! < сс выполнено неравеаство (3). Рассмотрим компакт в расширенном фазовом пространстве (рис.170) 234 Глава Я Рассмотрим решение )р с начальным усло- ~ в)0), г(фО)) . и Р 1а[0) о продолжении у) можно продолжить вперед до границы цилиндра с'. Но пока точка (с. )р(с)) принадлежит г', производная функРис. 170. Неограничен- ции г~()р(с)) отрицательна.
Поэтому решение нвя продолжаемость ре- не может выйти на боковую поверхность цишенин вперед линдра Е (где г' = о.з) и, значит, продолжается до торца 1 = Т. Поскольку Т произвольно (и не зависит от о.), решение )р продолжается вперед неограниченно, причем г~()р(с)) < оз и неравенство (3) имеет место при всех 1 > О.
Злмкчлник 1. Мы доказали больше, чем асимптотическую устойчивость положения равновесия. Из неравенства (б) видно, что сходимость )р(1) -+ О равномерная (относительно начальных условий кв, достаточно близких к О). Кроме того, неравенство (5) указывает скорость сходимости (эьспоненциальную). По существу, теорема утверждает, что равномерная экспоненциальная сходимость «решений линейного уравнения (2) к нулю не на- РУшаетсЯ пРи нелинейном возмУщении оз(ш) = 0(цшцз) пРавой части уравнения. Аналогичное утверждение справедливо для различных возмущений более общей природы.
Например, можно было бы рассмотреть неавтономное возмУщение «гг(ш, 1), длн котоРого 0««г(ш, 1)0 < У)(~ш~), где )р()ш)) = о()ш)) при ш — 1 О. Злдлчл 2. Докажите, что в условиях теоремы уравнения (1) и (2) топо- логически эквивалентны в окрестностях положении равновесия. Злмкчлнцв 2. В связи с доказанной выше теоремой мы приходим к следующей алгебраической задаче (так называемая проблема Рауса — Гурвица): Требуется узнать, лежат ли все корки данного мкогочлена в левой полуплоскости. Этот вопрос решается конечным числом арифметических действии над коэффициентами многочлена. Соответствующие алгоритмы описаны в курсах алгебры (критерий Гурвица, метод Штурма) и комплекс- 235 5 24.
случай чисто 4«ниаых собственных чисел ного переменного (принцип ареуз«ента, методы Вышвградского, Найк- виста и Михайлова). См., например, А.Г. Курош, «Курс высшей алгебры» (Мз Наука, 1968), гл. 9; М.А.Лаврентьев, Б.В.Шабат, «Методы теории функции комплексного яеременного» (Мн Физматгиз. 1958), гл. Ч; см. также М.М.Постников, «Устойчивые многочлены» (Мн Наука, 1981). Мы вернемся к проблеме Рауса — Гурвица в 2 36, 5. 324. Случай чисто мнимых собственных чисел Линейные уравнения без чисто мнимых собственных чисел детально исследованы в Ц 21, 22.
Их фазовые кривые ведут себя достаточно просто (седло, 222, п. 8). Линейные уравнения с чисто мнимыми собственными числами доставят нам примеры более сложного поведения фазовых кривых. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний консервативных систем (см. 225, п. 6). 1. Топологическая классификация. Пусть все собственные числа Лм .... Л„линейного уравнения щ=Ащ, щЕК", А:И" — »П", чисто мнимы. В каких случаях два уравнения вида (1) топологнчески эквивалентны2 ЗАДАЧА 1. Докажите. что в случае плоскости (и = 2. Льг = +«ы ~ 0) для топологической эквивалентности двух уравнений вада (1) необходима н достаточна алгебраическая эквивалентность, т.е.
одинаковость собственных чисел. В настоящее времн аналогичный результат доказан и при и > 2. 2. Пример. Рассмотрим уравнение в к» х» = ы»хг, Лцг = ~««ом хг = — О2»хм (2) хз = ыгх4, з,« = иог. Х4 — ~ ~2 Сгч Пространство Р« распадается в прнмую сумму двух инварнантных плоскостей (рис. 171): — чч1,2 + ччг,4. 236 Глава Я )д'„~ ~~й Система (2) распадается на две незави- 1 симые: ие тг = ыгжг (3) )вг (зз = игал, — ив 1 л4 — <'~газ~ (лз,жл) Е азам — гол„ Я В каждой из плоскостей фазовые кривые окружности Рис.
171. Фазавае пространство системы (2) Я = (и Е Кгд. з, + жг = С ) О) или точки (С = О), и фазовый поток состоит из вращении (на угол ыг1 и ыг1 соответственно). Каждая фазовая кривая уравнения (2) принадлежит прямому произведению фазовых кривых на плоскостях Ккг и Кзио Пусть зти две кривые — окружности. Прямое произведение двух окружностей Т' = Я' х Я' = (ж Е К': т', + т' ,= С, яд+ з' ,= 1Ц называется двумерным тором.
Рис. 173. Карта тора Рнс. 172. Тор Чтобы лучше представить себе тор Т', можно поступить следующим образом. Рассмотрим в Рз поверхность баранки (рис. 172), полученную при вращении окружности вокруг лежащей в ее плоскости и не пересекающей ее оси. Точка такой поверхности задается двумя угловыми кооРдинатами чгы угг пюд 2а. КооРдинаты У1 и Р задают диффеоморфизм поверхности баранки и прямого произведения Тг двух окружностей. 237 424. Случай чисто мнимых собственных чисел Координаты ~р» и соз можно назвать долготой и широтой.
Карту тора Тз (см. рис. 173) можно изобразить на квадрате О < со» < 2к, О < ьзз < 2к плоскости (сом ьог), «оклеив» точки (соы О) н (1оы 2х) и (О, юз) н (2к, соз). Можно также считать картой всю плоскость (ьоы соз), но тогда каждая точка тора будет иметь бесконечное число изображений на карте (подобно двум изображениям Чукотки на карте полушарий).
Фазовый поток уравнения (2) оставляет тор Т' С К на месте. Фазовые кривые уравнения (2) лежат на поверхности Т'. Если ьзг полярный угол плоскости Кг з, отсчитываемый от орта хз к орту хы то согласно (3) ф» = шы Аналогично, отсчитывая 1оз от х«к хз получаем фз = шз. Итак: Фазовые траектории потока (2) ка поверхности Тз удовлетворяют дифференциальному уравнению (4) 9о1 ш1 Рз шз Широта и долгота фазовой точки меняются равномерно, и на карте тора движение изображается прямой линией, а на поверхности баранки получается «обмотка» (рис.
174). Рнс. 174. Обмотка тора 3. Фазоные кривые уравнения (4) на торе. Числа шы шг называются рационально независимыми, если из йгш»+йзшз = О с целыми йч и кз следует кз = йз = О. Например, »72 и ъг8 рационально зависимы, а »Г6 и ~/8 нет. Теорема. Если сох и шз рацион льна зависимы, то всякая фаэов я крив я уравнения (4) на торе замкнута. Если хсе ш» и шз рационально 238 Глава и 7а Рис.
175. Всюду плот- ная кривая не торе Рис. 176. Образы точки окружности при повторении поворота на угол а иезаеис мы, то всяк я фазовом кривая уравнения (4) всюду плотназ на торе Тз (рис. 175). Иными словами. Если в каждой клетке бесконечной шахматной доски сидит одинаковый (и одинаково расположенный) залц, и охотник стреляет по направлению с иррациональным тангвнсом угла наклона к линиям доски, то он попадет хоть в одного зайца.
(Ясно что если тангенс угла наклона рационален, то достаточно малых зайцев можно расположить так,что охотник промахнется.) Лемма. Рассмотрим поворот окружности У на угол о несоизмеримыб с 2к (рис. 176). Тогда образы любой точки яа окружности при повторении поворота ~р, у+сс, 7г+2сс, со+Зсс, ... (пюс) 2и) образуют множество, всюду плотное на окрулгности. Множество А всюду плотно в прострвнствс В. если в сколь угодно малой окрестности любой точки пространства В есть точке множества А. Доказательство можно извлечь из строения замкнутых подгрупп прямой (см.
7 9). Мы проведем его заново. Принцип ящиков Дигихдк. Если в к ящиках лелсит к+1 предмет, то хотя бы в одном ящике болыие одного предмета. Разделим окружность на рг равных полуинтервалов длины 2к/й. По принципу пшиков среди первых й+ 1 точек нашей последовательности есть 2 точки в одном полуиитервале. Пусть это точки со+ рсс и ~р+ уст, р > у. Рассмотрим з = р — д. Угол поворота згс отличается от кратного 2к меньше чем иа 2к/и. В последовательности точек ~р, ~р+ зги, 1о+ 2зсс, у+ Ззсс, ...
(шог) 2к) (рис. 177) каждые две соседние 239 з24. Случай чисто мнимых сойстоенных чисел гоч2зи гоч-за Рис. 177. Точки го+ Тчгзо Рис. 178. Редукция теоремы к лемме точки отстоят на одинаковое расстонние, меньшее чем 2и/й. Пусть дано е > О. Выбрав й достаточно большим, мы можем сделать 2и/й ( с. В любой е-окрестности любой точки Я~ есть точки последовательности гр + Жзо (шог( 2и).
Лемма доказана. ЗАМЕЧАНИЕ. Мы не использовали несоизмеримость о с 2и. Между тем очевидно, что при гг, соизмеримом с 2и, лемма неверна. Злдлчл 1. Найти и восполнить пробел в доказательстве леммы. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ. Решение уравнения (4) имеет вид дг(1) = зоз(О) +гиг1, уз(1) = рз(О) +гиз1. (5) Пусть гиг и газ рационально зависимы: Азигч + Азгиз = О, Ц + йз Ф О.
Уравнения относительно Т ги1 Т = 2иАз, гизТ = — 2и7сг совместны. Их решение Т и нвляется периодом замкнутой фазовой кривой (8). Пусть гиг и гоз рационально независимы. Тогда игч/гиз — иррациональное число. Рассмотрим последовательные точки пересечения фазовой кривой (5) с меридианом сог = О (шоб 2п) (рис. 178). Широты этих точек будут гох и = багз е -1- 2и — Е (шог( 2з.). сиз 240 Глава Я По лемме множество точек пересечения всюду плотно на меридиане.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
