Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 38
Текст из файла (страница 38)
144 — 148 надо лишь заменить все стрелки противоположными. Злдячя 1. Нарисовать фазовые кривые в случаих 6), 7), 8), 9) рнс. 143. 6 7 8 ° 9- ° -+-е- Рис. 143. Некоторые вырожденные случаи трем направлениям 2. Линейная, дифференцируемая и топологическая эквивалентность. Вснкая классификация основываетсн на каком-нибудь отношении эквивалентности. Существуют по крайней мере три разумных отношенин эквивалентности для линейных систем; они соответствуют алгебраическому, дифференцируемому н топологическому подходам. Пусть Ц'), 18з): Рн — > Рн — фазовые потоки. Определение. Потоки (Гз) и 18л) эквивалентны', если существует взаимно однозначное отображение 8: Ки — > к", переводнщее по- Введенное здесь втнвшвнив эививзпвнтнвсти называют также сэпряжвииэстью и пэдэлизль Рис.
144. Фазовое пространство линейного уравнении в случае Лз < Лз < Лз < О. Физовый поток сжатие по Рнс. 145. Случай Лз < Л, < < О < Лз Сжатие по двум направлениям. растнжение по третьему 215 221. Классификаи н особых точек линейных систем Рис.
147. Случай Лз < ВеЛие < О. Сжатие по направлению бе враще- ние с более медленным сжатием в плоскости (бы б ) Рис. 146. Случай ВеЛзл < Ле < О. Сжатие по направлению бз враще- ние с более быстрым сжатием в плоскости ((„б ) Рис. 148. Случай Ве Лиг < О < Лз.
Растяжение по направлению бе, вращение со сжатием в плоскости (би б ) ток 11е) в поток ~О"), так что 6 о 1' = Оз о 6 для любого 1 Е К (рис. 149). Мы можем сказать, что поток 11ч) превращается в 1дз) при замене координат 6. При этом потоки называются: 1) линейно эквивалентными, если существует такое отображение 6: К" -+ К", являющееся линейным изоморфизмом, 6 б СЬ(К"); 2) дифференцируемо эквивалентными, если существует такое отображение 6: К" -+ К", являющееся диффеоморфизмом; 3) топологически экоиоалентными, если существует такое отобра- Глава Я жение 6: к" — э к", нвляющееся гомеолсорфиг коль, т.е. взаимно одно- значным и взаимно непрерывным отображением. ЗАДАЧА 1.
Докажите, что из линейной эквивалентности вытекает дифференцируемая, а из дифференцируемой топологическая. у =Ьх Заметим, что отображение Ь переводит фазовые кривые потока (1') в фазовые кривые потока (й'). ЗАДАЧА 2. Всякий ли линейный автоморфизм Ь Е СЦК"), переводящий фазовые кривые потока (1') в фазовые кривые потока (д'), осуществлнет линейную эквивалентность потоков? Рнс. 149. Эквива- лентные потоки Отнвт. Нет.
Указание. Рассмотреть и = 1, 1*х = с'х,, й'х = сг'х. ЗАДАЧА 3. Доказать, что отношения линейной, дифференцируемой и топологической эквивалентности являютсн настонщими отношения- ми эквивалентности, т. е. В частности, все сказанное применимо к фазовым потокам линейных систем. Для краткости мы будем говорить об эквивалентности самих систем. Итак, все линейные системы мы тремя способами разбили на классы эквивалентности (линейной, дифференцируемой, топологической). Изучим эти классы подробнее. 3. Линейная классификация.
Теорема. Пусть А, В: Ип — > Ип — линейные операторы, все собственные числа которых просты. Тогда системы х=Ах.хсй". и у=Ву.уск". линейно эквивалентны тогда и только тогда, когда собственные числа операторов А и В совпадают. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для линейной эквивалентности линейных систем необходимо и достаточно, чтобы В = ЬАЬ г при некотором Ь Е С1 (Рп) (рис. 150) (ибо 217 З21. Классификация особых точек линейных систем у = Ьх = ЬАх = ЬАЬ су).
Собственные числа операторов А и ЬАЬ совпадают. (Здесь простота собственных чисел несущественна.) Обратно, пусть собственные числа А простые н совпадают с собствен- Ь ными числами В. Тогда А и В разлагаются в прямые произведения одинаковых (линейно эквивалентных) одно- ( мерных и двумерных систем соглас- но ч 20; поэтому ани линейно эквиваРис. 150.
Линейно эквивалентные лентны. системы ЗАДАЧА 1. Покажите, что системы х1 = хм хз = хз и хс = х1 + хз, хз = хз линейно не эквивелентны, хотя их собственные числа и одинаковы. 4. Дифференцируемая классификация. Очевидна Теорема. Две линейные систелсы х=Вх, хЕК", х = Ах, дифсреренцируегко эквивалентны тогда и только тогда, когда они ли- нейно эквивалентны~. ДакАЗАтвльство. Пусть Ь: Я" — > Рэ диффеоморфизм, переводящий фазовый поток системы А в фазовый поток системы В. Точка х = 0 неподвижна для фазового потока системы А. Поэтому Ь переводит 0 в одну из неподвижных точек с потока системы В, так что Вс = О. Диффеоморфизм д: Рэ — ~ К" сдвига на с (дх = х — с) переводит фазовый поток В в себя: ((х — с)' = х = = Вх = В(х — с)). Диффеомарфизм Ь1 = да Ь: К" -+ Рэ переводит поток А в поток В и оставляет 0 на месте: Ьс(0) = О.
Обозначим через Н: Я" -+ И" производную диффеоморфизма Ь| в О. Диффеамарфизмы Ь| а ел' = св' а Ь| совпадают при любых и Поэтому при любом г совпадеют и их производные при х = 0: Не =е Н, чта и требовалась доказать. Не следует однако думать, чта есяккй Лкффеамарфкзм, устанавливающий кх эквивалентность яккеек. Пример: А = В = О. Глава у 8 22.
Топологическая классификация особых точек Рассмотрим две линейные системы: х=Вщ, хай~, х = Ах, и предположим, что вещественные части всех их собственных чисел отличны от О. Обозначим через т число собственных чисел с отрицательной вещественной частью и через т+ число собственных чисел с положительной вещественной частью, так что т + те — — и,.
1. Теорема. Длк топологической эквивалентности двух линейных систем, не имеющих собственных чисел с нулевой вещественной частью, необход лю и достаточно, чтобы количество собственных чисел с отрицательной (положительной) вещественной частью в той и в другой систелве было одинаково: т (А) = т (В), те(А) = т+(В). Рис. 151. Топологически эквивалентные и неэквивалентные системы Эта теорема утверждает, например, что устойчивые узлы и фокусы (рис. 151) топологически эквивалентны друг другу (т = 2),но не эквивалентны седлу (гп = т+ — — 1). Подобно индексу инерции не- вырожденной квадратичной формы, число т нвлнетсн единственным топологическим инвариантом системы.
Рис. 152. Топологическан эквивалент- ность системы и ее линеариэации Злмкчлние. Аналогичное предложение справедливо локально (в окрестности неподвижной точки) длн нелинейных систем, линейные "222. Топологкческоя классификация особых точек 219 части которых не имеют чисто мнимых собственных чисел. В частности, такая система в окрестности неподвижной точки топологически эквивалентна своей линейной части (рис.
152). Мы не можем останавливаться на доказательстве этого предложения, весьма важного для исследовании нелинейных систем. 2. Редукция к случаю тп = О. Топологическая эквивалентность линейных систем с одинаковыми т и т+ вытекает из следующих трех лемм: Лемма 1. Прямые произведения топологически эквивалентных систелг топологически эквивалентны.
То есть если системы, заданные операторами Ам Вг. И ' -+ И ', Аг, Вг: И"" — г И""'", переводятся друг е друга гомеоморфизмами Ьы Иеп — ь И"", бг: И ' -+ И ', то существует гомеоморфизм 6: И' ' + И ' — ь И ' +И переводящий фазовый поток системы-произведения хг = Агам хг = Агзг в фазовый поток системы-произведения хг = Вгхы хг = Вяжя. Доклзьтвльство очевидно: надо положить 6(хм хг) = (1н(хг), Ьг(хг)). Из курса линейной алгебры известна Рнс. 1бЗ.
Инварианты подпространстеа оператора. не имеющего чисто мнимых собст- Рнс. 1б4. Все неустойчивые узлы то пологически эквивалентны венных чисел Лемма 2, Если у оператора А: И" — > И" нет чисто лгнилгых собственных чисел, то пространство И" распадается в прямую гульку двух инвариантных относительно А подпространств, И" = И +И ", так что все собственные числа сужения А на И™ имеют отрицательные вещественные части, а на И е — положительные (рис. 153). Это следует, например, из теоремы о жордановой нормальной форме. 220 Глава Я Леммы 1 и 2 сводят доказательство топологической эквивалентности к следующему частному случаю: Лемма 3. Пусть А: К" -+ К" — линейный оператор, все собственные числа которого имеют положительную вещественную часть (рис.
154). Тогда система ю=Аю, юбИ топологически эквивалентна стандартной (рис. 154): ю=ю, юЕК". Рнс. 155. Поверхность уров- ня функции Ляпунове Рис. 156. Поверхность уровня функ- ции Ляпунова в С" Теорема. Пусть А: К" -+ К" линейный оператор, все собственные числа которого льеют положительную вещественную часть. Тогда в К" существует такая евклидова структура, что вектор Аю в каждой точке ю ~ 0 образует с радиус-вектором к острый угол.
Иными словами: Существует такая положительно определенная квадратичная форма гз в й", что ее производная по направлению векторного поля Аю Эта лемма почти очевидна в одномерном случае и в случае фокуса на плоскости, а значит, по лемме 1 и в любой системе без кратных корней. Мы проведем далее доказательство леммы 3 в общем случае. 3. Функции Ляпунова. Доказательство леммы 3 основано на построении специальной квадратичной формы — так называемой функции Ляпунова. 221 5 22. Толологическвя классификация особых точек положительна: йл. гд при ю ф О. Епл„г )О при лфО. (2) Применяя неравенство (2) в случае, когда оператор А является комплексификацией вещественного оператора, а л принадлежит вещественному надпространству (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
