Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Заметим, что прямые, проведенные из точек множества, всюду плотного на прямой, лежащей в плоскости, по направлению, не совпадающему с направлением этой прнмой, образуют всюду плотное множество на плоскости. Поэтому изображение 'ргИ) = 'рта) — 2л ~ ~рг11) = 'ргИ) 2к ~М1)1 Ъ(1)1 фазовой кривой (5) на квадрате 0 < рг < 2х,О < вгг < 2я всюду плотно. Итак, фазовая кривая уравнения (4) (и, значит, уравнении (2)) всюду плотна на торе. 4.
Следствия. Рнд простых следствий доказанной теоремы выходит за рамки теории обыкновенных дифференциальных уравнений. ЗАдАчА 1. Рассмотрим последовательность первых цифр степени двойки: 1, 2. 4. 8. 1. 3. 6, 1. 2, 5. 1. 2, 4. 8... Встретится ли в этой последовательности 7? Вообще, с любой ли комбинации цифр начинается 2в2 ЗАдАчА 2. Докажите, что ьор соэг 4-в1п~/21 = 2. О<~<ов Злдлчл 3. Рассмотрим группу Я~ комплексных чисел, по модулю равных 1. Найти все ее замкнутые полгруппы.
Отввт. 1, Я', ( ъ'Т11. 5. Многомерный случай. Пусть собственные числа уравнения 11) в й~™ просты и имеют вид Л = ~иИ, шиог, ..., ~ио Рассуждая, как в примере и. 2, мы покажем, что фазовые кривые лежат на яммерном торе Т'" = У х ... х Я~ = ((ры ..., ~р ) пю4 2л-) = К /Ж™ и удовлетворяют уравнениям 1вг = ыы уг = шг Фт = ыа. ла ыы ..., ю„, рационально независимы, если при целых Й (кгвгг+...+кжыж =0) =ь (1г = ... = к = 0).
241 3 25. Случай кратных собственных чисел Злдлчл *1. Доказать, что если частоты шг, ..., ш рационально независимы, то каждая фазовая кривап уравнения (1), лежащая на торе Т"', всюду плотна нв нем. Следствие. Пусть конь прыгает скачками (ч/2, ьГЗ) по полю (рис. 179), где кеадратно-гнездоеым способом посеяна кукуруза. Тогда ок обязательно сшибет хоть один росток. б. Равномерное распределение. Всюду плотные кривые, рассмотренные выше, обладают замечательным свойством равномерно распределяться по поверхности торов. Сформулируем соответствующую теорему в простейшем случае.
Рассмотрим последовательность точек (ог, грз, ... на окружности Я' = (1о гпог1 2зг). Последовательность называется равномерно распределенной. если для любой дуги зл С Яз число Дг(гз,к) точек длинного отрезка последовательности (уы ..., ~рь) в гл асимптотически пропорционально длине ль: Рис. 179. Фазовая кривая системы фз = 1, узз = чз2 узз = ь/3 всюду плотна на трехмерном торе ДГ(сз, )с) (,Ь~ ь- )г 2зг ' Злдлчл '1. Доказать, что последовательность уз, 1з + о, 1о + 2о, ..., где о угол, несоизмеримый с 2п, равномерно распределена на Я'. Следствие.
Числа 2о чаще начинаются с 7 чем с 8. Если )ьгг()г) и зча(к) количества чисел (1, 2, 4, ..., 2"), начинающихся с 7 и 8 соответственно, то существует 11ги (зьгг(к)/зьгг(к)). ЗАдАчА 2. Найти этот предел и убедиться, что он больше 1. Злмнчлнив. Начальный отрезок последовательности (см. и. 4) указывает, кажется,на то, что семерок меньше. Зто связано с тем,что иррациональнее число 18 2 = 0.3010...
очень близко к рациональному числу 3/10. В 25. Случай кратных собственных чисел Решение линейного уравнения с постоянными коэффициентами сводится к вычислению матрицы с '. Если собственные числа матрицы А попарно различны, то явный вид матрицы сл" указан в 319, и. 5 Первые цифры степеней тройки к населений стран миро распределены по тому же закону. 16 Заказ ДгИ17 242 Глава Я и З20, п. 6. Чтобы найти явный вид матрицы ел' в случае кратных собственных чисел, мы воспользуемся жордановой нормальной формой. 1. Вычисление ел', где А — жорданова клетка.
Олин из способов вычисления ел', где А — жорданова клетка: Л 1 указан в З 14: А есть матрица оператора дифференцирования в базисе е = 1~е~"~/И, 0 < й < и, пространства квазимногочленов степени меньше о с показателем Л. По формуле Тейлора ел" есть матрица оператора сдвига 1() + Г( + в) в том же базисе. Другой способ основан на следующей лемме: Лемма. Пусть А и  — линейные операторы из К" е и". Если они нольнутируют, то ел ьв = елея. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сравним формальные ряды елея Е+А+ А'+ Е+В+ В'+ „ =Е+(А+В)+ — (А +2АВ+В )+.. ел+в = Е'+ (А + В) + — (А + В) +... = = Е+ (А + В) + — (Аз + АВ+ ВА+ В ) + .. Если АВ = ВА, то рнды совпадают (так как е ьа = е е" для чисел). Поскольку ряды абсолютно сходится, е~ь~ = еле, что и требовалось.
243 З 25. Случай кратных собственных чисел Представим А в виде А = ЛЕ+ сс, где сл нильпотентная жорданова клетка: О 1 сл = О Поскольку ЛЕ коммутирует с любым оператором, то еле = есслич 'л1 = елсессс. Вычислим матрицу е ' = Е+ Асс+ +... + (слн = 0). 2 (в — 1)! Заметим, что с.'с действует на базис ес, ..., еа как сдвиг: О с — с ед +-» с-с ез с-с ... +-с е„. ПоэтомУ лсл действУет как сдвиг на й мест и имеет матрицу О °" О О Итак, доказана Теорема. 1 т са/2 ° й" '/(п — 1)с слс сз/2 еЛС СеЛС с" селс/сн цс еле лс 244 Глава Я Наши вычислении проходят без изменений в комплексном случае (Л е С, А: С" — > С"). 2.
Приложения. Из формулы (1) непосредственно вытекают: Следствие 1. Пусть А: С" — ь С" линейный оператор, Лз, ..., Ль собсгпвенные числа, иы ..., гь их кратности, 1 Е К. Тогда каждый элемент матрицы ея~ (в любом фиксированном базисе) является суммой квазимногочленов от 1 с показателями Лы степеней меньше щ соответственно (1 = 1, .... к). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим матрицу оператора ел~ в базисе, в котором матрица А имеет жорданову форму. Наше утверждение тогда следует из (1).
Элементы матрицы оператора ел~ в любом другом базисе являются линейными комбинациями (с постоянными коэффициентами) элементов матрицы оператора ел' в указанном базисе. Следствие 2. Пусть уз решение дифференциального уравнения х = Ах, х с С", А: С" -э С". Тогда каждая компонента вектора со (в любом фиксированном б зисе) является суммой квазимногочленов от 1 с показагпелями Л~ сгпепеней меньше гй соответсгпвенно: ь юз(1) = 2 е~"'Рз, (1), где Рзр - многочлен степени < Щ.
1=1 Действительно, <р(1) = е 'уз(б). Следствие 3. Пусть А: К вЂ” ь йи — линейный оператор, Л~ (1 < 1 < А) — его вещественные собственные числа, щ — их кратности, сц х 1ип (1 < 1 < гп) комплексные собственные числа, Гн их кратности. Тогда каждый элемент матрицы ел' и каждая компонента решения уравнения х = Ах, х Е К", является суммой комп ексных квазинногочленов с показателями ЛЫ сп х и ~ степеней меньше иб 1Н соответственно. Такую сумму можно записать также в менее удобном виде: уз(1) = ~~ е~прзш+ ~~ е '~[дзм(1) созиь1 + г д(1) еьпиа1), где р, д, г многочлены с вещественными коэффициентами степеней меньше Щ, Рп 1Ц соответственно. 245 З 25.
Случай кратных собственных чисел Действительно, если х = х + зу, Л = о + зиг, то Кегелз = Нее 4(х+зу)(спасай+ зэ1пигс) = е ~(хсоэ4ой — уэш4ос). Между прочим, из этих формул видно, что если вещественные части всех собственных чисел отрицательны, то все решения стремятся к 0 при 1 -+ +ос (как это и должно быть согласно Я 22, 23). 3. Применения к системам уравнений выше первого порядка. Записав систему в виде системы уравнений первого порядка, мы сведем задачу к рассмотренной выше и можем ее решить, приведя матрицу к жордановой форме.
Практически часто удобнее поступать иначе. Прежде всего, собственные числа эквивалентной системы первого порядка можно найти, не выписывая ее матрицы. Действительно, собственному числу Л отвечает собственный вектор и, значит, решение 44г(1) = е~зуг(0) эквивалентной системы первого порядка. Но тогда и исходная система имеет решение вида ф(1) = влзр(0). Подставим в исходную систему ф = елзу. Система допускает такое решение (ненулевое), если и только если Л удовлетворяет алгебраическому уравнению, из которого мы и можем найти собственные числа Ль Сами решении можно затем искать в виде сумм квазимногочленов с показателями Лз и с неопределенными коэффициентами.
ПРимеР 1. х = х. Подставляем х= в~4~. Находим Л вмб= в~зс, Л =1, Лззьз,4 = 1, — 1, з', — з. Всякое решение нашего уравнения имеет вид х. = Сзе -ь Сге -ь Сзсозсч-С4шпй Пгимев 2. хг = хг, хг = хз. Подставляем х = в~~С. Находим Л~йг = Рг, Л~Сг = 44. Эта система линейных уравнений относительно 44, йг имеет нетривиальное решение, если и только если Л = 1.
Всякое решение нашей системы имеет вид 4 хг = Сзе + Сгв + Сз сов г+ С4 шпй хг = Ргв + Рге + Рз созх+ Р4 зшй Подстановка в систему дает Рг = Сз, Рг = Сг Рз = — Сз, Р4 = — С4. Пгимег 3. хьх — 2х+ х = О. Подставляем х = е с. Находим Лз Л вЂ” 2Л -Ь1=0, Л =1, Лгл,з,4=1,1,— 1,— 1.
Глава Я Всякое решение исходиого уравнения имеет вид (С~с+ Сг)е ' + (Сзг+ С4)е ЗАДАЧА 1. Найти жордаиаву нормальную форму матрицы четвертого порядка, соответствующей нашему уревиеиию. 4. Случаи одного уравнения п-го порядка. Заметим, что кратности собственных чисел, вообще говоря, ие определяют размеров жордаиовых клеток. Положение упрощается, если речь идет о линейном операторе А, соответствующем одному диффереициальяому уравнению я-го порядка: хйб = агх1 1 +... + а„х, аь В С. (2) Из следствия 2 п.
2 вытекает Следствие 4. Всякое решение уравнении (2) имеет вид у(г) = ~ е ' р~(8), 1=1 где Лы ..., ЛА корни характерисгпического уравнения Л" = агЛ" ' +... + аа, (4) а р1 — миогочлен степени меньше м (где и1 — краткость корня Лр). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Действительно, уравнение (2) имеет решение вида е~~(С), если и только если Л корень уравнения (4). Следствие (4) доказано. Перейдем к эквивалентной системе уравнений первого порядка: О 1 О 1 (5) аг 247 5 25. Случай кратных собственных чисел Получаем Следствие 5. Если оператор А: С" — ь С" имеет матрицу вида (5), то каждому его собственному числу Л отвечает ровно одна лсорданова клетка, размер которой равен кратности Л. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, согласно формуле (3) каждому собственному числу Л отвечвет одно собственное направление. В самом деле, пусть ~— собственный вектор оператора А. Тогда среди решений вида (3) имеется первая компонента сисе вектора ем(. Но тогда остальные компоненты это производные: 5ь = Лько.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
