Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 46
Текст из файла (страница 46)
16 Например, при угле отклонения 30' период больше периода малых колебаний на 2%. Рвшнние. Рассмотрим решение уравнения маятника с начальным условием х(0) = А, х(0) = 0 как функцию от А. По теореме о дифференцируемой зависимости от начальных условий эта функция гладкая. Разложим ее в ряд Тейлора по А вблизи А = 0: х = Ахг (1) + А хг (г) + А хз(1) + 0(А ). Тогда + 1»- + 13 +0(14) х = Ахг+ А'хг+ А тз -~-0(А ), з)ггх = Ах»+ А хг+ А (хз — — хг) + 0(А )- г зг 1 »1 4 6 Уравнение х = — зшх выполнено при любом А. Отсюда находим уравнения для хг, хг, хз: хг — хг хг — хг хз — хз + хг 1 з 6 (6) Начальное условие х(0) = А, х(0) = 0 выполнено прн любом А.
Отсюда находим начальные условия для уравнений (6)г хд(0) = 1, хг(0) = хз(0) = хг(0) = хг(0) = хг(0) = О. (7) 265 3 26. О кеазпжногочл сках Решая уравнения (6) при условиях (7), находим х» = созг, щз = О, а для хз получаем уравнение йз + щз = — соя 1, щз(0) = хз(0) = О. 1 з 6 Решая это уравнение (хотя бы методом комплексных амплитуд), находим хз = о(созг — сов 31) -~- Язгаг, где о = 1/192, 1» = 1/16. Итак, влияние нелинейности (шит ф и) не колебания маятника сводится' к добавлению слагаемого Азиз -~- О(А ): х = Асозг-~- А~]о(соег — сов 31) -~- 111 з(пг] -~- 0(А ). Период колебаний Т находится как точке максимума х(1), близкая к 2я при малых А. Эта точка находится из условия х(Т) = О, т.е.
А( — шп1 + Аз(()) — а) зги Т -Р Зо шп ЗТ -~- ~ДТ сов Т] + 0(А )) = О. Решим это уравнение приближенно при малых А. Положим 'Т = 2х+ и. Зля и получим уравнение шпи = А [2хВ+ 0(и)]+ 0(А ). По теореме о неявной функции и = 2к)ЗА'+0(А ), т. е. Т = 2н(1+ — +о(А )) . 16 Ввиду четности Т по А, о(А ) = О(А«). ЗАДАЧА 2. Исследовать зависимость периоде колебаний от амплитуды А для уравнения й ф ы ш + ах + Ьа = О. 3 з з Отит. Т= и [1+( а — — )А +о(А)~.
ЗАДАЧА 3. Получить те же результаты из наной формулы для периода (3 12, п. 7) »Здесь полезно вспомнить о дырявом ведре (см. предостережение в З 9, и. 6): из появления «векового» слагаемого С зшт в формуле длл хз нельзя делать никаких выводов о поведении маятника при 1 — » оо. Наше прибли»кение справедлива лишь не конечном интервале времени; при больших С слагаемое О(А«) становится большим. И действительно, настоящее решение уравнения колебаний маятника остается ограниченным (величиной А) при всех 6 как зто видно из закона сохранения энергии. Глава Я Э 27.
Линейные неавтономные уравнения Та часть теории линейных уравнений, которая не зависит от инвариантности относительно сдвигов, легко переносится на линейные уравнения и системы с переменными коэффициентами. 1. Определение. Линейным (однородным) уравнением с переменными коэффициентами' мы будем называть уравнение ш = А(8)ш, ш Е )((", А(1) г Кн -+ К"', где 1 принадлежит интервалу 1 вешественной оси. Этот интервал может составлять всю ось К.
Геометрически решения уравнения (1) изображаются интегральными кривыми в полосе 1 х К" расширенного фазового пространства (рис. 191). Как обычно, мы будем предполагать функцию А(3) гладкойг. Прнмкр 1. Рассмотрим уравнение маятника У = — гогщ. Частота ог определяется длиной маятника. Колебания маятника переменной длины описываются аналогичным уравнением: з = — игг(3)л. Это уравнение Мы предполагаем, что коэффициенты вещественны.
Комплексный случай вполне аналагнчен. гдостаточно была бы предполагать функцию А(1) непрерывной (см. ниже 132, и. 6. стр. 313). Рис. 191. Интеграль- ные кривые линейно- го уравнения Рис. 192. Качели Рис. 193. Непродолжаемое решение уравнения з = з г 267 Ц27. Лииеляые иеаптпиамиые уравнения можно записать в виде (1): Примером маятника переменной длины являются качели: изменяя положение своего центра тяжести, человек на качелнх периодически изменяет величину параметра ш (рис.
192). 2. Существование решений. Одно решение у уравнения (1) видно сразу: нулевое. Для любых начальных условий (Ьо, то)) из 1 х К" по общим теоремам гл. 2 существует решение, определенное в некоторой окрестности точки Ьо. Для нелинейного уравнения это решение может не продолжаться на весь интервал 1 (рис. 193). Особенностью линейных уравнений явлнется то.
что для них уход в бесконечность за конечное время невозможен. Теорема. Всякое решение уравнения (1) можно продолжить на весь интервал 1. Причина заключается в том, что для линейного уравнении ЦшЦ < СЦФЦ, и поэтому решение растет не быстрее ес~. Аккуратное доказательство проводится, например, так.
Пусть (а,Ь) компактный отрезок в 1. Тогда на отрезке (а,Ь) норма оператора А(1) ограничена: ЦА(1) Ц < С = С(а, Ь). Докажем следующую лпгиовнхю оцвнкю Если решеиие ~р определено на отрезке <1п, 1) (а < гп ( 1 ( Ь) (рис. 194), та Ц1а(1)Ц < е ~ ь~Ц22(гп)Ц. (2) Длв нулевого решения это очевидно. Если ~р(ап) ф О, то ~р(т) не обращается в О по теореме единственности.
Положим г(г) = Ц1п(г) Ц. Функция 1 (и) = 1и гг определена при 1о ( т < К По условнкэ 1 ( 2гг)г < 2С. Поэтому Е(1) ( Цгп) + 2С(1 — гп), что и доказывает априорную оценку (2). Пусть теперь ЦепЦ = В ) О. Рассмотрим компакт в расширенном фазовом пространстве (рнс.
195) Г = <йа: а, <1 < Ь, ЦаЦ < 2Ве ~мы предполагаем, что в Рк иыбраиа кккпв-иибупь евклидова метрика. Глава Я а сО с Ь с Рис. 194. Априорная оценка роста решения на(о, Ь) Рис. 19Ь. Продолжение решения до с = Ь По теореме продолжения, решение с начальным условием фго) = хо продолжается вперед до границы цилиндра Р. Граница цилиндра Г состоит из торцов (С = а, С = Ь) и боковой поверхности Цес~ = 2Ве'~О 0). На боковую поверхность решение выйти не может, так как, согласно априорной оценке, (~90(С)г~ ( Ве~~н 0.
Итак, решение продолжается вправо до С = Ь. Аналогично доказывается продолжение влево до С = а. Ввиду произвольности а и Ь, теорема доказана. 3. Линейное пространстве решений. Рассмотрим множество Х всех решений уравнения (1), определенных на всем интервале 1. Поскольку решения — это отображения ср: 1 -+ гс" со значениями в линейном фазовом пространстве К", то их можно складывать н умножать на числа: (сссРс + сгссгг)(С) = сс0Рс(С) + сг0сгг(С). Теорема.
Множество Х всех решений уравнения (1), опреДеленных на интерв ле 1, является линейным пространством. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Это очевидно: с( с(с — (сурс -ь сгсрг) = с,срс + сгсрг — — ссАсрс -~- сгАсрг — — А(сссрс + сгсрг). Теорема. Линейное пространство Х решений линейного уравнения изоморфно фазовому пространству к этого уравнения. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть С Е 1. Рассмотрим отображение Вс: Х 1 к ВсР = 0Р(С) сопоставляющее каждому решению ср его значение в момент С.
З27. Линейные неавтономные уравнен я Отображение Вс линейно (так как значение суммы решений равно сумме их значений). Кго образ — все фазовое пространство Йв, так как по теореме существования для любого ко Е К" существует решение вз с начальным условием ус(Со) = щс. Ядро отображения В, равно О, так как решение с нулевым начальным условием уз(Со) равно нулю тождественно по теореме единственности. Итак, Вс — изоморфизм Х на К". Это — основной результат теории линейных уравнений.
Определение. Фундаментальной системой решений уравнения (1) называется базис линейного пространства решений Х. ЗАдАчА 1. Найти фундаментальную систему решений уравнения (1), где А=( ). Из доказанной теоремы вытекают: Следствие 1. Всякое уравнение (1) имеет фунд ментальную систему из и решений ср„..... ср„.
Следствие 2. Всякое решение уравнен я (1) является линейной комбинацией решений фундаментальной системы. Следствие 3. Всякие п, + 1 решений уравнения (1) линейно зависимы. с 4. Определитель Вронского. Пусть ес, ..., ев некоторый базис в фазовом пространстве К". Выбор базиса фиксирует единицу объема и ориентацию в К".
Позтому каждый параллелепипед в фазовом пространстве имеет определенный объем. Рассмотрим я вектор-функций срьс 1 — ~ В" (В = 1, ..., и). Следствие 4. Соответствующие уравнению (1) отображении за время от Со до Сс (рис. 196) являются линейными изоморфизмами. Рис. 196. Линейное преобразование фазового пространства осуществляемые решением линейного уравнения зв время от Со до 11 270 Глава З' Определение.
Определителем Вронского системы вектор-функций уь называется числовая функция И': 1 -+ К, значение которой в точке 1 равно (ориентированному) объему параллелепипеда, натянутого на векторы <рг(1), ..., <ро(1) с Й", 'Рхл(г) ". 1оо,г(У) 1оц (1) .. 1о, (1) Иг(1) = ~рь(1) = ~рьг(1) еь +... + ~рь „(г) е . В частности, пусть 1рь — решения уравнении (1).
Их образы при построенном выше изоморфизме В, это векторы фазового пространства уь(г) Е К". Они линейно зависимы, если и только если определитель Вронского равен 0 в точке 1. Отсюда: Следствие 5. Систегка решений ~ры ..., <р„уравнения (1) является фукдалентальной тогда и только тогда, когда ее определитель Вронского о ~шчен от О в какой-нибудь точне 1. ЗАДАЧА 1. Может ли определитель Вронского системы линейно независимых вектор-функций ьоь тождественно равняться нулюу ЗАдлчА 2. Докажите, что определитель Вронского фундаментальной системы решений пропорционален определителю преобразования за время от 1е до и И'(1) = (деЬ у(ь) И'(гв).
Указание. Решение см. в и. б. 5. Случай одного уравнения. Рассмотрим одно уравнение и;го порядка :срй + агх~" ~ + ... + о,„х = 0 (3) с переменными, вообще говоря, коэффициентами оь = аь(1), 1 Е 1. Некоторые уравнения второго порядка с переменными коэффициентами столь часто встречаются в приложениях, что имеют собственные имена, а нх решения изучены и затабулнрованы не менее подробно, чем синус и косинус (см., например, Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
