Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Решения первого уравнения имеют бесконечно много нулей. Расстояние между двумя последовательными нулями любого его ненулевого решении равно к/ы. Каждое решение второго уравнении, не равное нулю тождественно, имеет не более одного нуля. В обоих случаях между каждыми двумя нулями любого не равного тождественно нулю решения уравнения есть нуль любого другого решения.
Теоремы Штурма показывают, что аналогичные явления имеют место и для уравнений с переменными коэффициентами (6) т. + д(1)т, = О (более общее уравнение х+ р(1)х+ у(Е)х = 0 легко принодится к виду (6)). Рассмотрим для уравнения (6) фазовую плоскость с координатами (х, у = х).
Фазовые кривые неавтономного уравнения могут пересекаться. Тем не менее некоторую информацию об этих кривых для уравнения второго порядка получить можно. Ига информация и лежит в основе теоремы Штурма. Предложение 1. Фазовые кривые уравнения (6) пересека«от луч х = О, у > 0 в сторону возрастания х, а луч х = О, у ( 0 — в сторону убгнвания х. ДОКАЗАТИЛЬСТИО. Запишем уравнение (6) в виде системы х = у~ На прямой х = 0 вектор фазовой скорости при любом у имеет компоненты (у, О) (рис. 201)„что и доказывает предложение 1.
Заметим, что при у ф 0 вектор фазовой скорости на оси х = 0 отличен от нуля. Поэтому нули любого (не равного нулю тождественно) решения уравнения (1) изолированы и на любом отрезке оси 1 их конечное число. Из предложения 1 непосредственно вытекает 278 Глава Я Рис. 201. Фазовая Рис. 202. Доказательство тео- плоскость уравнении х + О(С)х = О ремы о нулях Предложение 2.
Нз любых двух последовательнгах пересечений прямой х = 0 фазовой кривой одно происходит при у > О, а другое при у < О. Обозначим через 1о полярный угол, отсчитываемый от положительного направления оси д в сторону положительного направления оси х. Из предложения 2 вытекает Предложение 3. Мелсду двумя последовательными пересечениями оси х = О фазовой привой величина 1о вдоль фозовой кривой увеличивается на и. Из этого предложения очевидно вытекает Теорема. На отрезке между двумя последовательн лш ну ми любого решения уравнения (1) есть нуль любого другого решения.
Действительно, заметающий полуплоскость луч должен в процессе движении обогнать любой луч, остающийся в этой полуплоскости. Доклзлтилъство. Рассмотрим полярный угол х вдоль первого и второго решении (рис. 202), ьз = о(1), х = д(1). Пусть нули первого решения соответствуют г = Сг и ьз. Предположим, что для первого решении при г у > 0 (если это не так, изменим знак первого решения).
Тогда мы можем считать о(гь) = О. По предложению 3 о(сз) = и. Мы можем считвтьч что 0 ( 1з(11) ( к (если это не так, изменим знак второго решении). Если решении линейно зависимы, то нули их совпадают и все докаш но. Если же решения линейно независимы, то соответствующие им векторы на фазовой плоскости в любой момент времени тоже линейно независимы. следовательно, в этом случае при любых г р(г) ф о(с). 279 З27. Линейные неавтономные уравнения Итак, Д(гь) < к = о(гз) < Д(гг). Следовательно, на отрезке (гы гз] существует гь длн которого Д(гз) = я; это и есть нуль второго решения.
Второе соображение, лежащее в основе теорем Штурма, состоит в том, что угловая скорость движения фазовой точки уравнения (6) вокруг начала координат может быть явно вычислена. Предложение 4. Обозначим через ф скорость изменения полярного угла ьэ при движении фазовод точки (х(4), у(1)) уравнения (1). Тогда значение ф одинаково для всех векторов (х, у), коллинеарных данному, и равно д(г)хз + у' ф= хз + уз ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если г радиус-вектор фазовой точки, то удвоенная секториальиан скорость равна (г, г] и в то же время — гзф (плоскость ориентирована координатами (х, у), а угол ьз отсчитываетсн от оси у к оси х). Поэтому х у у — ух 2+ 2 (г, г] ф= ,2 что и требовалось доказать.
Из предложения 4 следует, что при равных значен ях полярного угла д ~ кя радиус-вектор фазовоб точки того уравнен я вращается быстрее, у которого коэффициент у больше. Отсюда легко вытекает 'Теорема сравнения. Рассмотрим два уравнении вида (6) х+ д(У)х —. О, х+ Я(1)х = О и предположим. что Ь) > д. Тогда, на отрезке между любыми двумя по- следовательн ми нулями любого решения первого уравнения (с меньшим коэффициентом, д) есть нуль любого решения второго уравнения. ДокАЗАтельство. Предположим вначале, что Я строго больше д прн всех К Обозначим через Ьз = о(г) полярный угол вдоль первого решения и через Ьз = А(г)— 280 Глава з вдоль второго.
Как выше, мы можем считать, что а(гг) = О, а(гз) = я, 0 < А(гг) < Я. В начальный момент гг имеем А(гг) > а(гг). В Дальнейшем, прн Гг < Г < гз А(г) будет оставаться больше а(г). Действительно, если бы функция а в некоторый момент времени т впервые обогнала бы А, то в этот момент времени значения а н А совпали бы н были бы отличны от кл. Но тогда в момент обгона редиус-вектор догоняющей точки вращался бы строго медленнее (А(т) > 6(т) согласно предложению 4, так как С) > д) н обгона не произошло бы. Итак, А(гз) > а(гз) = к. Но А(гг) < гг. Значит, существует момент гз С (ГЫ гз), где А(гз) = к.
Это н есть нуль второго уравнения. Доказательство в случае гг > о получается предельным переходом от случая сг > ф Следствие. Расстояние мелгду любыми двумя последоеательньгми нулями уравнен я (6) а) не больше л/ьг, если д(г) > огз 'Йг б) не меньше к/(), если д(2) < Йз гг1. В частности, если д(2) < О 1Г1, но никакое решение уравнения (6), кроме тождественно равного нулю, не обращается е нуль дважды. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. а) Пусть строго между последовательными нулями можно вставить отрезок длины л/ю.
Для любого отрезка длины л/иг можно подобрать решение уравненин х+ аггх = О так, что этот отрезок будет ограничен последовательными нулями решения. На этом отрезке уравнение (6) с не меньшим, чем ог~, коэффициентом г) не имеет нулей. Это противоречит теореме сравнения. Значит, отрезка длины к/иг вставить между нулями уравнения (6) нельзя. б) Доказывается аналогичным сравнением с уравнением т+Юх=О. Исследование собственных колебаний сплошных сред (закрепленной струны) приводит к следующей задаче Штурма — Лиувилля.
Найти решения уравнения Рнс. 203. Собственные колебания струны (7) х + (г)(1) + Л)х = О, обращающиеся е нуль на концах данного отрезка О < 1 < Н Значения спектрального пар метра Л, при которых такие (не тождественно равные нулю) решения существуют, называютсн собстеенныли значениями, а сами решения — собственными функциями. ЗАДАЧА 1.
Найти собственные функции н числа в случае д = О. Ответ. Собственные функции суть шпчГЛььг (рнс. 203), а собственные числа Лз = й'Лг, Лг = (гг/1)з. З28. Линвйныв уравнен я с периодическими коэффициентами 281 Ркшкник. х+Лх = О, х(0) = х(!) = 0 ~ Л > 0 =.~ х = а сов чГЛг+Ь вш ъгЛг; х(0) = 0 ~ а = 0 ~ игЛ! = Ья ~ Ль = Ь~(я/!)~. Теорема. гуля любой гладкой на отрезке [О, !) функции д задача Штурма — Лиувилля имеет бесконечное количество собственных чисел: соответствующие собственные функции имеют на этом отрезке как угодно много нулей. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим решение уравнения (7) с начальным условием х(0) = О, х(0) = 1. Обозначим через гр = сг(1, Л) значение полярного угла вдоль фазовой кривой длн этого решения; пусть сг(0, Л) = О. Функция о непрерывна. Рассмотрим значение о(1, Л) как функцию от Л.
При Л э +ос величина о(1, Л) стремится к бесконечности. Действительно, пусть д + Л > агз. Если аг достаточно велико, то отрезок я/гв будет укладываться на отрезке (О, !) как угодно большое число раз к. Значит, число нулей уравнения со столь большим Л на этом отрезке не меньше я (теорема сравнения). Следовательно,о(!г Л) > яя (предложение 3). Итак,о(1, Л) — э оо при Л вЂ ! +Ос. Значит существует бесконечный набор собственных чисел ЛА, для которых о(1, Ль) = як. Теорема доказана. ЗАДАчя 2. Доказать, что !!ш Ли!уз — (я/!)з ЗАдячя 3.
Перенести результаты на уравнения вида (рх)' + ох = О, р(!) > О ч!. Указание. Рассмотреть фазоаую плоскость (хг у), где у = рх. З 28. Линейные уравнения с периодическими козффициентакти Теория линейных уравнений с периодическими коэффициентами объясняет, как авдо раскачиваться на качелях и почему верхнее, обычно неустойчивое, положение равновесия маятника становится устойчивым, если точка подвеса маятника совершает достаточно быстрые колебания по вертикали.
1. Отображение за период. Рассмотрим дифференциальное ураваение х = а(г, х), а(1+ Т, х) = а(1, х), х Е к~", (1) с периодически зависящей от времени правой частью (рис. 204). 282 Глава Я Пример 1. Движение маятника с периодически меняющимися пара- С) метрами (например, движение качелей) описывается системой уравнений вида (1): и =и т, = — са Ст.. Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
