Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Янке, Ф. Эмде, Таблицы функций. — — Мл Наука, 1977). Следствие 6. Если определитель Вронского систелы решений уравнения (1) равен О в одной точке. то он равен 0 толсдественно при всех С 271 ()27. Линвйныв неавтономные уравнения Пгимкг 1. Уравнение Бесселя: х+ — х -Г (1 — — ) х = О. 1 Р 12 ) Пгимкг 2. Гипергеометрнческое уравнение Гаусса: (о + В + 1)г — 7, о П Пгимкг 3. Уравнение Матье: х+ (а+ всозг)х = О.
Мы могли бы записать уравнение (3) в виде системы п уравнений первого порндка и применить предыдущие рассуждения. Можно, однако, рассмотреть непосредственно пространство Х решений уравнении (3). Это линейное пространство функций уи 1 — > К. Оно естественно изоморфно пространству решений эквивалентной системы п уравнений. Изоморфизм задается сопоставлением функции у вектор-функции со = (у, ф, ..., 1о~" П) из производных у. Итак: Следствие 7. Пространство Х решений уравнения (3) изолорфно фазоволу пространству К" уравнения (3), причем изоморфизм ложно задать, сопоставляя каждому решению 1о Е Х набор значений производных в наной-нибудь точке 1о..
'р ьч (р(10) ф(10) ° 97 (10)). Определение. Базис линейного пространства Х называется фундаментальной системой решений уравнения (3). Злдлчл 1. Указать фундаментальную систему решений уравнения (3) в случае, когда коэффициенты аь постоянны. Например, для х+ ах = О. а=ы )О; и= — о~ <О; а = О. з1пшй й~ог нлн с"г и е П сов шг ей ос 1 если если если Определение. Определителем Вронского системы функций д,: 1 — 1 К, 1 < Й < пч называется числовая функция И'. 1 -+ К, значение Ответ.
(Пе '), где О ( е < г, если Л вЂ” корень характеристического и уравнения кратности и. В случае комплексных корней (Л = о хзш) нужно заменить ем на е ' сов взг н ев' з1пвзй В частности, длк х+ ат = О 272 Глава Я которой в точке с равно (ос(() Р1(1) р-(с) А (() Ис(!) = (и — 1)( ) (и — 1)( Иными словами, это — определитель Вронского системы вектор- функций срь .. 1 — с К", полученных из срь обычным образом: Все сказанное об определителе Вронского системы векторов- решений уравнения (1) переносится без изменений на определитель Вронского системы решений уравнения (3). В частности: ЗлдАчА 2. Пусть определитель Вронского двух функций равен О е точке сэ. Следует лн отсюда, что он тождественно равен О? Следствие 9.
Если определитель Вронского системы решений уравнения (3) обращается в 0 хоть в одной точке, то эти решения линейно зависимы. Злдлчл 3. Пусть определитель Вронского двух функций тождественно равен О. Следует лн отсюда, что этн функции линейно зависимы? Следствие 10. Система и решений уравнения (3) усундаментальна, если и только если определитель Вронского отличен от О хоть в одной точке. Пгимкг 4. Рассмотрим систему функций с"", ..., сх"". Эти функции образуют фундаментальную систему решений линейного уравнения вида (3) (какого?).
Поэтому они линейно независимы. Значит, их определитель Вронского отличен от О. Но этот определитель равен с,Асс ,ЛиС )( л,с А л с 1 ... 1 Лс ... Л„ (А, -ь...-ьл„) с Ли 1Л,С 1 Ли — 1ЕА С Л вЂ” 1 1 Ли — 1 Следствие 8. Если определитель Вронского системы решений уравнения (3) обращается в О хоть в одной точке, то он тождественно равен нулю при всех !. 273 З27. Линейные неавтономные уравнения Следствие 11. Определитель Вандермонда Л" ' отличен от О, если Ль попарно различны. Пгимкг 5.
Рассмотрим уравнение маятника х + юзт = О. Фундаментальная система решений: (созш1, з)пог1). Определитель Врокскосоз ыт е)п ыг го И' = . = ю постоянный. Это неудивительно. так — шаши о~соз~Л как фазовый поток уравнения маятника сохраняет площади (см. 2 16, 4). Посмотрим теперь, как меняется объем фигур фазового пространства под действием преобразований Вм за время от 1е до 1 в общем случае. б.
Теорема Лиувилля. Определитель Вронского системы решений уравнения (1) является решением диуяреренииалвного уравнения И' = аИ", где а(1) = 1гА(1) (следА(1)). (4) Следствие. ) а)т) Хт ) а(е] Хт И'(1) = е" И'(1о). с)е1у,' = е" (5) Действительно, уравнение (4) легко решить: дИ' И' = ас11, 1пИ' — 1пИ'о = ~ а(т) г1т. зо Между прочим, из формулы (5) снова видно, что определитель Вронского системы решений либо равен О тождественно, либо не обращается в О пи в одной точке.
Зядячя 1. Найти объем образа единичного куба О ( з„( 1 под действием преобразования за время 1 фазового потока системы ;вз = 2зз — зз — зз, йз = зз + зз + зз, йз = зз — зг — зз. 18 Заказ )Ч1И17 274 Глава у Рвшенив. «г А = 2, поэтому И'(С) = ез«И'(О) = сз'. Идея дОкА3АтельстВА теоремы Лиувилля. Если коэффициенты постоннны, то уравнение (4) — это формула Лиувиллн из 1 16. «Замораживая» коэффициенты А(б) (положив их равными значенинм в некоторый момент времени (т), убедимся в справедливости равенства (4) при любом т. ДокАЗАтельстВО.
Рассмотрим линейное преобразование Й П фазового пространства й,'~ : И" †» И" вь у,» (рис. 197) за малое время от т Ло т+ ьз. Это преобразование переводит значение любого решения аь уравнения (1) в момент т в его значение в момент т + А. Согласно уравнег»А нию (1), Рис. 197. Действие фазового ьр(т+ Ь) = ь«»(т) + А(т)ьр(т)А+ о(сь), потока на параллелепипед. на- +А тянутый на фунламенталь- Следовательно, согласно З 16, коэффиную систему решений цнент растяжения объемов прн преобразовании К ь~ равен Ае«л„ь~ = 1+ «1а -» (сь), гле а = 1гА. Но И'(т) — это объем параллелепипеда П ,натянутого на значения нашей системы решений в момент т.
Преобразование й,'ь переводит этн зна- ъ«\ чения в систему значений той же системы решений е момент г + ьз. Параллелепипед П «а натянутый на этн новые значения. имеет объем И1(т+ А). Итак Иь(т Ч- «1) = (деСЛ ~ )И (т) = [1-»а(т)Ы-о(ГА))ИГ(т)ь откуда Иь = аИь, что и требовалось. Следствие. Определитель Вронского системы решений уравнения (3) равен — 1 «,1 )Лг И'(1) е *ь И'(1о).
Знак минус появляетсн из-за того, что при записи уравнения (3) в виде системы (1) приходится перенести а»в(" ~) в правую часть. На диагонали матрицы получившейся системы стоит только — ам 275 ()27. Линейные иеавтоиомяые уравнения Пгнмкг 1. Рассмотрим уравнение качелей т. + т"(2)е = О. ДпкАзАткльктпп. Рассмотрим какой-нибудь базис (, 2) в плоскости начальных условий П (рис. 198). Устойчивость означала бы, что Щ -+ О и ПМ21 -+ О. Тогда для соответствующей фундаментальной системе И'(1) — > О.
Наше уравнение эквивалентно системе Рис. 100. Фазовый потек асимптетически устойчивой линейной системы е1 г'2 е2 г (й)2'1 7' О с матрицей А = ~ ) . Поскольку $г А = О. то И'(1) = сопэ1 напрев О) ' ки И' -+ О. ЗАЛАЧА 2. Рассмотрите качели с трением й+ е(С)й -Ь ыг(г)е = О. Покажите, что асимптетическая устойчивость невозможна, если коэффициент трения отрицателен (е(г) ( 0 'чк). Верно лн, что прн положительном коэффициенте тренин положение равновесия (0,0) всегда устейчивоу ЗАмкчлник. Дивергенцией векторного поля е в евклидовом пространстве Н" с декартовыми координатами ж; называется функэ По ция сП1 е = )" ,= де*' В частности, для линейного векторного поля е(е) = Ае дивергенция — — этпо след оператора А: бы Ае = 1гА. Дивергенцин векторного полн определяет скорость растяжении объемов соответствующим фазовым потоком. Теореме.
Положение равновесия т = й = О ни при каком ( не может быть асимптотически устойчивым. 276 Глава Я Рнс. 199. Фазовый поток вектор- ного поля дивергенцин 0 сохраня- ет площади Пусть Р— область в евклидовом пространстве уравнения х = о(х) (не обязательно линейного). Обозначим через Р(1) образ области Р под действием фазового потока и через 1'(1) объем области Р(1). ЗАдлчА *3.
Докажите следующую теорему. Теорема Лиувилля. — / о1уо ах (рис. 199). Л' д1 п01 Следствие 1. Нели «11у о = О, то фаэоеый поток сохраняет объем любой области. Такой фазовый поток можно представить себе как течение несжимаемой «фазовой жидкости» в фазовом пространстве. Следствие 2. Фазовый поток уравнений Гамильтона дН оь=,, 1=1,...,п, Нрь дН дН =О.
ду,Дрл др,аул = ' Этот факт играет фундаментальную роль в статистической физике. сохраняет объемы. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 'дН ДЧА ' Рнс. 200. Решения уровне иий бх х х = 0 277 З 27. Линейные неавтономные уравнения 7. Теоремы Штурма о нулях решений уравнений второго порядка. Решения линейных уравнений второго порядка обладают своеобразными свойствами колеблемости. Штурм говорил о «теоремах, имя которых я имею честь носитьь. Рассмотрим уравнения с постоянными коэффипиентамн (рис. 200): х+ и х = О, х — Азх = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
