Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Поэтому число Л определяет направление вектора ~ однозначно. Поскольку каждой жордановой клетке соответствует свое собственное направление. следствие 5 доказано. ЗАЛАчА 1. Всякая ли линейная комбинация квазимногочленов (3) является решением уравнении (2)7 5. О возвратных последовательностях. Наше исследование экспоненты с непрерывным показателем е'л легко перенести на экспоненту с дискретным показателем А". Мы можем, в частности, исследовать теперь любую возвратную (= рекуррентную) последовательность, определенную соотношением (6) х„= азх„-з +... + аь,с„ь (например, последовательность О, 1, 2, 5, 12, 29, ..., заданную соотно- шением х„= 2х„з + х„з и начальным условием хо = О, х1 = 1). Следствие 6. п-й член возвратной последовательности зависит от п как сумма квазимногочленов от и: х„= ~ Л1 рр(п), с=1 где Л~ — собственные числа матрицы А, соответствующей последовапсельности, а р1 многочлен степени меньше и1 (где и кратность Л~).
248 Глава 3 Вспомним, что матрица А это матрица оператора А: К~ -э К~, переводящего отрезок длины Й из нашей последовательности, й„ =(х„ь,..., х„г), в следующий отрезок длины Й, ~„=(х„ьь„..., х,„): О 1 О 1 О 1 аз аг х„ Важно заметить, что оператор А не зависит от и. Поэтому х„есть одна из компонент вектора А О, где й — постоянный вектор. Матрица А имеет вид (5). Пользуясь следствием 5 и приводи А к жордановой форме, получаем следствие 6. При вычислениях нет нужды ни выписывать матрицу, ни приводить ее к нормальной форме.
Собственный вектор оператора А соответствует решению уравнения (6) вида х = Л . Подставляя в уравнение (6), находим для Л уравнение Л" = агЛ" " +... + аь. Легко убедиться, что это и есть характеристическое уравнение оператора А. Пгимвг 1. Для последовательности О. 1, 2, 5, 12. 29.... (х„=2х„г -Ь хэ — г) находим Л = 2Л+1, Лгл = 1*э/2. Поэтому соотношению х„= 2х г+х„э удовлетворяют последовательности хэ = (1 + т/2)", х„= (1 — т/2)", а также любые их линейные комбинации (и только онн) х„= сг(1 + т/2)" + сэ(1 — ъ'2)".
Среди этих комбинаций легко подобрать такую, для которой хо = О,хг = 1: сг + сэ = О, т/2(сг — сэ) = 1. Ответ. х„= [(1 + т/2) — (1 — ~Г2)"~/(2т/2). Злмвчлнив. При я -э +ж первое слагаемое экспоненциально растет, а второе экспонеициально убывает. Поэтому при больших я х (1 -~- т/2)" /(2т/2) 249 525. Случай кратных собственных чисел и, в частности, х„з1/х„ж 1+ ч/2. Отсюда мы находим для т/2 очень хорошие приближения: ъ'2 (х чл — хо)/хо. Подставляя х„= О, 1, 2, 5, 12, 29,..., находим ч/2 (1 — О)/1 = 1; ч/2 (12 — 5)/5 = 1,4; Это те самые приближения, с помощью которых вычисляли ч/2 в древности; их можно получить также разложением ч/2 в цепную дробь.
Далее, (х з1 — х )/х являетсл наилучшим среди всех рациональных приближений к тГ2 со знаменателями, не превосходящими х„. 6. Малые колебания. Мы рассмотрели выше случай, когда каждому корню характеристического уравнения, какова бы ни была его кратность, соответствует один собственный вектор: случай одного уравнения и-го порядка. Существует в некотором смысле противоположный случай, когда каждому корню соответствует столько собственных чисел, какова кратность корни. Зто случай малых колебаний консервативной механической системы. Рассмотрим в евнлидовом пространстве К" квадратичную форму 1/, заданную симметрическим оператором А: С(х) = 2(Ах,х), х б К", А: К" -+ К, А' = А. Рассмотрим дифференциальное уравнение К = — дтае)Г (7) (1/ — потенциальная энергия).
При исследовании уравнения (7) полезно представлять себе шарик, катающийсн по графику потенциальной энергии (ср. 2 12). Уравнение (7) можно записать в виде К = — Ах или в координатной записи в виде системы и линейных уравнений второго порядка. По общему правилу ищем решение 1р = е"сС и находим Л е~сС = — Аемд, (А+ Л Е)5. = О. бес)А+ Л~Е) = О.
Векторное позе Лгвй ГГ опредеклетск условкем «йГГ(Я) = (ЛгвйГГ, 5) длп всвкого вектора 5 б ТЖ"е. Здесь круглые скобки означают евклкдово скелкрпое произведение. В декартовых координатах (ортонормкровзпкых) векторное поле ЛгейГГ зедеетск компонентами (, ,..., ). дтг дС дхг' '' ' дх„ 2огб Глава Я Отсюда находим О вещественных (ночему?) значений Лз и 2п значений Л. Если все они различны, то вснкое решение уравнения (7) есть линейная комбинации экспонент.
Если же имеютсн кратные корни, возникает вопрос о жордановых клетках. Теорема. Если квадрапшчкая форма С невырождека, то каждому собственному значению Л соответппвует пиолько линейно независимых собсгявеккых векторов, какова, его кратность, так что каждое решение уравнения (7) можно записать в виде суммы экспонент»: зв »Р(1) = ~~» г: ' Сь, Сь й С". ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Ортогональным преобразованием можно привести форму Гг к главным осям: существует ортонормированный базис еы ..., е, в котором С записывается в виде Гг(х) = — з аьхь, х =хгег+...+Х„е„.
1%»~г 22 Невырожденность формы (7) означает, что ни одно из чисел аь не равно О. В выбранных координатах уравнение (7) принимает вид Хг = агхг Хг = азхг ° ° ° хо = ооХ независимо от того, есть ли кратные карниз. Наша система распелась в прямое произведение О «уравнений маятникам Каждое из них (х = -ах) мгновенно решается. Если о ) О» то а = о»в и х = Ст сова»4+ Сг з(п огг. Интересно отметит»ч что Лагранж, впервые исследовавший уравнение малых колебаний (7), вначале ошибся. Он думал, что в случае кратных корней потребуются «вековые» слагаемые вида «еьз (н вещественном случае г шива) „как в пп. 2, 4, б выше. Заметим, что мы существенно испольауем ортонормированность бваиса е«а если бы базис не был ортонормированным, то компоненты вектора Лгаб — А,'оье не б»ыв 2 бы раекм оьвь. 251 325. Случай кратных собственных чисел Еслиа<О,тоа= — ахи х = С| сЬ а1 + Сз ай а1 = Р, е ' + Рзг.
Рис. 181. Одна нз нривых Лиссажу с ыг = 2сч Рис. 130. Направлении собственных колебаний и линии уровня потен- циальной энергии ЗАдАчА 1. Нарисовать кривые Лнссажу для ыг = 1, ыг = 3 н ач = 2, ыг = 3. ЗАдАчА 2. Доказать, что среди кривых Лнссажу с ыг = пыг есть график многочлена степени п. Этот многочлен называется мнсгсчленсм Чебышева, Т„(х) = сова агссоэх. ЗАдАчА 3. Нак выглядят траектории х = Ьс(г) в случае Н = х, — хгу ЗАДАЧА 4. Прн каких ГГ положение равновесии х = х = О уравнения (7) устойчиво а) по Ляпуновуу б) аснмптотнческн7 Эти формулы содержат, в частности, утверждение теоремы. Если форма Г положительно определенная, то все аь положительны и точка х совершает и независимых колебаний по п взаимно перпендикулярным направлениям ег, ..., е„(рис. 180).
Эти колебания называются главными или собственными, а числа ыь собственными частотами. Они удовлетворяют уравнению г)е1 (А — ызЕ( = О. Траектория точки х = 1а(1) в Кп (где у — решение уравнении (7)) лежит в параллелепипеде )хь~ < Хь, где Хь — амплитуда )с-го собственного колебания. В частности при и = 2 — в прнмоугольнике. Если частоты ыг и ссз соизмеримы, то траектория замкнутая кривая.
Она называется в этом случае кривой Яиссалсу (рис. 181). Если же ы1 и ыз несоизмеримы, то траектория заполняет прямоугольник всюду плотно. Это вытекает из теоремы 3 24. 252 Глава Я й 26. 0 квазимногочленах При решении линейных уравнений с постоянными коэффициентами нам все время встречались квазимногочлены. Мы вынсним теперь причину этого явлении и дадим ему некоторые новые приложения. 1.
Линейное пространство функций. Рассмотрим множество Е' всех бесконечно дифференцируемых функций на вещественной оси К с комплексными значениями. Множество Г имеет естественную структуру комплексного линейного пространства: если ~ь и 1з — функции из с', то функция вью-ьсз1з (сы сз — константы из С) также принадлежит г'. Определение. Функции (ы ..., ~а Е Е называются линейно независимыми, если они линейно независимы как векторы линейного пространства Е. т.е. если (отЛ + ° .. + с ( = О) =ь (сь = ...
= с„= О), где си ..., св б С. ЗАДАЧА 1. При каких о, 1Х функции в1в о1 и вшце линейно зависимы? Злдлчл 2. Доказать, что функции ех", ..., е""' линейно независимы, если все Ль паперно различны. Указание. Это вытекает из существования линейного уравнения и-го порядка с решениями ех", ..., ех"' (см. и. 2). Среди элементов пространства Р имеютсн квазимногочлены с показателем Л вЂ” Ъ р(1) = е р сь1 и, более общим образом, конечные суммы квазимногочленов с разными показателями А т — 1 1"(1) = ~ ех" ~ ср 1т, Ле ф Лу. ЗАДАЧА 3. Докажите, что каждан функция вида (1) записывается в виде суммы (1) единственным образом. Иначе говоря: Если сумма (1) равна О, то еаэедыб воэфу1ициект ш равен О.
252 2 26. О квазимпогачлеиах Указание. Одно из возможных решений см. в и. 2 (следстеие на стр. 254). 2. Линейное пространство решений линейного уравнения. Теорема. Множество Х всех решений линейного уравнения хсп) + а х~и — 1) + + а (2) составляет в Е линейное надпространство конечной размерности п. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим оператор Р: Š— у Е, переводящий каждую функцию в ее производную. Оператор Р линеен: Р(сгй+ сгЬ) = сгРЛ+сгРБ. Рассмотрим многочлен от оператора Р: А = а(Р) = Р" + агР" +... + апЕ. Оператор А есть линейный оператор А: à — у Е.
Решения' уравнения (2) — зто злементы ядра оператора А. Итак, Х = КегА. Но ядро КегА линейного оператора является линейным пространством. Поэтому Х вЂ” линейное пространство. Покажем, что Х изоморф- ноС . Пусть уг Е Х. Сопоставим функции у набор и чисел: набор значений в точке г = 0 функции цг и ее производных уго = (д(0), (Р~о)(0), ..., (Р" ~у)(0)). Получаем отображение Это отображение линейно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
