Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 39
Текст из файла (страница 39)
156), получаем вещественную теорему (1). 4. Построение функции Ляпунова. В качестве функции Ляпунова гг мы будем брать сумму квадратов модулей координат в подходящем комплексном базисе: се = (л, Х) = 2,' ляль. При фиксированном ь=з базисе мы можем отождествить вектор я с набором чисел гм ..., г„ и оператор А: С" -+ С" с матрицей (аы). Вычисление показывает, что производная является квадратичной формой: Хил,(л.
я) = (Ал, я) + (я. Ал) = 2 Пе(Ал. л). Если базис собственный, то полученная форма положительно определена (рис. 157). Действительно, в этом случае п 2Ве(Ая, я) = 2 ~ КеЛь)гь)~. ь=1 (4) По условию все вещественные части собственных чисел Ль положитель- ны. Поэтому форма (4) положительно определена. Или еще: Существует эллипсоид в Вк с центром в О такой, что в каждой его точке ю вектор Аю направлен наружу (рис. 155).
Легко проверить, что все три формулировки эквивалентны. Мы докажем (и будем использовать в дальнейшем) эту теорему во второй формулировке. Доказывать ее удобнее в комплексном случае: Пусть все собственные числа Ль оператора А: С" -+ С" имеют пололсительные вещественные части. Тогда существует положительно определенная квадратичная форма гг: пС" ь К, производн я которой по направлению векторного поля иАя есть полозкительно определенная квадратичная форма: 222 Глава Я Если оператор А не имеет собственного базиса, то он имеет почти собственный базис, которым можно с таким же успехом воспользоватьсн для построения функции Ляпунова. Точнее.
справедлива Лемма 4. Пусть А: С" — «С" С-линейныа оператор и г > О. Тогда е С" можно тан выбрать базис йы ..., („, что матрица А будет вергнетреугольноб и есе элементы выше диагонали будут по модулю меньше г» Рис. 157. Положи- тельнав определен- ность формы (4) в случае а = 1 Щ=( . ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Существование базиса, в котором матрица верхнетреугольная, следует, например, из теоремы о жордановой нормальной форме. Такой базис легко построить индукцией по а, пользуясь лишь существованием у всякого линейного оператора А: С" — » Оэ собственного вектора.
Пусть б, — этот вектор (рис. 158). Рассмотрим фактор-пространство С"/С(, = С" '. Оператор А задает на фактор-пространстве оператор А: С" ~ — » С" '. Пусть и», ..., »1„— базис в С", в котором матрица оператора А верхнетреугольная. Обозначим через б», ..., Е„ каких-нибудь представителей классов »1»,..., и„ в С".
Тогда базис бм б»,..., ᄠ— искомый. Пусть матрица оператора А в базисе йы ..., („Верхнетреугольная. Покажем, что наддиагон льные члены можно сделать сколь угодно малыми, з меняя векторы базиса на пропорциональные им векторы. Действительно, пусть аы — элементы матрицы оператора А в базисе ~ь, так что агн = 0 пРи )«> Е В базисе ~~ = Хь~ь элементы матРицы оператора А будут а~« — — аь«Х' ь. При достаточно малом Х длн всех 1 > 1 будет ~а,'„~ < г. Лемма 4 доказана. Сумму квадратов модулей координат в выбранном «г-почти собственном» базисе мы и возьмем в качестве функции Ляпунова 1при достаточно малом г).
Ь 22. Толологическая классификация особых точек 223 5. Оценка производной. Рассмотрим множество всех квадратичных форм в К . Это множество имеет естественную структуру линейного ги1тч-1) пространства К Очевидна Лемма 5. Множество положительных определенных квадратичных форм в К открыто т( и-~-1) еК з Рис. 1ЬЕ. Построение базиса, в ьото- ром матрипа опера- тора треугольная То есть если форма а = 2 ая),сях) поаожи- А,)=) тельно определена. то существует с > 0 такое, что вснкая форма а+ Ь, где ~Ьы ~ < е (для всех Й, 1, 1 < Й, 1 < гн), тоже положительно определена.
ЗАМЕЧАНИЕ. Из нашего рассуждении вытекает также, что любан положительно определенная квадратичнан форма удовлетворяет везде неравенству )Ц)з( ( )(Яхиз П« Д (б) ЗАЛАЧА 1. Докажите, что множество невы- рожденных квадратичных форм с данной сигнатурой открыто. Рис. 199. Пространство квадратичных форм Пгимвг 1. Пространство квадратичных форм от двух переменных ах -)- 2Ьху -)- суз это трехмерное пространство с координатами а, Ь, с (рис. 199). Конус Ь = ас делит это пространство на три открытые части соответственно сигнатурам. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
форма а положительна во всех точках единичной сферы 2 хг = 1. А=1 Пфера компактна, а форма непрерывна. Поэтому нижняя грань достигается и, значит, всюду на сфере а(х) > а > О. Если ~Ьы! < е, то на сфере )Ь(х)~ ( 2 )ЬА)! ( тзс. Позтому при е < ~ форма а+ Ь положительна на сфере и, значит, яг положительно определена. Лемма доказана. 224 Глава 3 Мы используем лемму 5, чтобы доказать следующее: при достаточно малом е производная по направлению векторного поля ЯАх от суммы квадратов модулей координат в «е-почти собственном» базисе, выбранном по лемме 4, положительно определена.
Согласно формуле (3) зта производная является квадратичной формой вещественных и мнимых частей координат зь = хь + зуь. Выделим в формуле (3) слагаемые с диагональными н надднагональными элементами матрицы (А): где Р = 2Не~аыхахь Я = 2Нс~аыхлзь А=~ а« Ьн„,гз = Р+ 9, Заметим, что диагональные члены треугольной матрицы (А) зто собственные числа Ав оператора А. Поэтому квадратичная форма Р=~~ 2НеХ»(ха+уз) »=1 ЗАмечАние. Поскольку Глзг является положительно определенной квадратичной формой, имеет место неравенство вида (5): сзг < л'ле~ сс Я (б') где Д > сз > 0 — некоторые постоянные. Таким образом, сформулированная в и. 3 теорема о функции Ляпунова доказана.
Следующая серия задач приводит к другому доказательству этой теоремы. »Следует отметить, что зеданное формой Р отображение ВС" -з и зависит от выбора базиса. переменных хю уь пололсителъно определена и не зависит от выбора базиса'. По лемме 5 заключаем, что при достаточно малом в форма Р+ Я (близкая к Р) также положительно определена. Ибо коэффициенты формы б~ переменных хь, уь при достаточно малом е становятся сколь угодно малыми (поскольку ~аь»~ < е при А' < (). Неравенство (2), а с ним и (1), доказано. 522.
Тодолагическаи классификация особых тачек 225 ЗлдАЧА 3. Знан собственные числа Л; оператора А, найти собственные числа оператора Ьл. Отввт. Л,+Л;,1(а,г(я. Указание. Пусть А имеет собственный базис. Тогда собственными векторами бл будут квадратичные формы, ровные попарным произведениям линейных форм, являющихся собственными векторами оператора, дуального к А. ЗАДАЧА 4. Докажите, что оперетор ьл является нзоморфизмом, если А не имеет противоположных собственных чисел. В частности, если вещественные части всех собственных чисел оператора А одного знака, то каждан квадратичная форма на П~ есть производная некоторой квадратичной формы по направлению векторного поля Ак.
ЗАДАЧА 5. Докажите, что если вещественные части всех собственных чисел оператора А положительны, то форма, производная которой по направлению поля Ак положительно определена, сама положительно определена и, следовательно, удовлетворнет всем требованиям доказываемой теоремы. Указание.
Представить форму в виде интеграла ее производной влоль фазовых кривых. 6. Построение гомеоморфизми Ь. Приступаем к доказательству леммы 3. Гомеомарфизм 6: Ра — у К", переводящий фазовый поток ) Га) уравнения ж = Аж 1ВеЛА > О) в фазовый поток ~дг) уравнении г5 = ж, будем строить следующим образом. Рассмотрим сферу' Рис. 160. Построение гомеоморфизма 6 Я=1щсй":г 1ж) =Ц, где гз — функция Ляпунова из 11). Точки этой сферы гомеоморфизм 6 будет оставлять на месте. Пусть иа точка сферы 1рис. 160).
Точку 1аиа фазавой траектории аЕсли угодна, эллипсоид. 15 Заказ ЖИ17 Злдлчл 2. Докажите,что дифференцирование по направлению векторного полн Ае в Рэ задает линейный оператор бл: Ж М+Пгг -+ В"~"аунг~ из пространства квадратичных форм на И" в себя. 226 Глава Я уравнения ш = Аш отображение 6 будет переводнть в точку дэшо фазо- вой траектории уравнения шш: Щ~шо) = Кеша П Е К, шо Е Я. П(0) = О. (6) Мы должны проверить: 1) что формула (6) однозначно определяет значение Ь в любой точке ш с К; 2) что отображение (ь: К" -+ К" взаимно однозначно и взаимно непрерывно; 3) что Ь о ~ь = Кг о )ь. Доказательства всех этих утверждений очевидны. т.
Доказательство леммы 3. Лемма 6. Пусть со: К -+ К" — какое-ниоудь огпличное от 0 решение уравнения а = Аа. Составим существенную функцию вещественного переменного 1: р(1) =1 ~(р(1)). Тогда отображение р: К -+ К является диффео,корфиэмом, причем о « — Д. др дг ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме единственности т~(ьэ(1)) т- 0 чг 6 К. Согласно (эт'),находим др др для — = оненку о « — Д что и требовалось доказать.
дг тг сЫ Из леммы 6 следует, что: 1) Каждая тачка т ф 0 представляется в виде а = 1'то, где зо 6 Я, 1 С К, (Г) — фиговый иоток уравнения т = Аа. Действительно, рассмотрим решение у» с начальным условием ш(0) = к. По лемме 6 при некоторам т будет т (1о(т)) = 1. Точка ае = ср(т) принадлежит Я. Полагая 1 = — т, получим з = 1'(ке). 2) Такое представление единственно. Действительно, фазован кривая, выходящан из а (рис. 160), единственна н пересекает сферу в одной точке ко (по лемме 6); единственность 1 также следует из монотонности р (лемма 6).
Итак, мы построили взаимно однозначное отображение прямого произведения прямой и сферы на евклидова пространство без одной точки Р: К х 5" -+ К" 10, Р(г, ко) = Э' ао. 222. Толологичесааа алассифиаациа особыз точек 227 Из теоремы о зависимости решения от начальных условий вытекает, что как отображение И, так н обратное отображение непрерывно (и даже нвлнется днффеоморфнзмом). Заметим теперь, что для стандартного уравнения ф = е имеем др/о1 = 2. Поэтому отображение С: И х Я" ' -+ И" 1 О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
