Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 35
Текст из файла (страница 35)
ТКРМИНОЛОГИЧКСКОВ ЗЛМКЧЛИИВ. Операции комплексификацин и овеществления определены как для пространств, так и длн отображений. Алгебраисты называют такого рода операции фрикторами. 3. Комплексное сопряжение. Рассмотрим вещественное 2п-мерное линейное пространство К " = исК", полученное из К" комплексиго но а фикацией, а затем овешествлением. В атом пространстве лежит и-мерное надпространство векторов вида ц + гО, ц Н К". Оно называется вещественной плоскостью К" С Кг". Рис.
117. Оператор ум- ножения на 1 Рнс. 118. Комплекс- ное сопряжение Злдлчл 1. Пусть (ен ..., е„) базис Б'., (ен ..., е, зеи ..., 1е ) базис Б'.г" = нсК". Найти матрицу оператора 1 е этом базисе. Подпространство векторов вида О+ Ц, ц Е К", называется мнимой плоскостью гК" С Кг". Все пространство Кг" есть прямая сумма этих двух и-мерных надпространств.
Оператор (Е умножения на г в С" = "К" после овеществления превращаетсн в К-линейный оператор к(гЕ) = 1: К " -+ К ", (рис. И7). Оператор 1 изоморфно отображает вещественную плоскость в мнимую. а мнимую в вещественную. Квадрат оператора 1 равен минус единичному. 195 З18. Квмилвисифииация и овеществление Отввт. (1) = ( ). Обозначим через ц: кз" -+ К~" (рис.
118) оператор комплексного сопряжения: в (С + ээ1) = С вЂ” ээ1. Действие е обозначается часто чертой сверху. Оператор ц совпадает с единичным на вещественной плоскости и с минус единичным — на мнимой. Он инволютивен: аз = Е. Пусть А: с11 -э сй" — С-линейный оператор.
Комплексно сопряженным к А оператором А называется оператор А: сйж — > сй", определенный соотношением Ал = Ал для всякого л е скж. ЗАдАчА 2. Докажите, чте А является С-линейным оператором. Злдлчл 3. Докажите, что матрица еператера А в вещественном лаэисв комплексно сопряжена матрице А в тем же базисе. ЗАдАчА 4. Докажите, что А + В = А + В, АВ = А В, ЛА = Л А. Злдлчл 5. Докажите, чтв комплексный линейный оператор А: сй — эсБ'." является кемплексификвцией вещественного тогда и только тогда, когда А = А.
4. Экспонента, определитель н след комплексного оператора. Экспонента, определитель и след комплексного оператора определяются в точности так же, как в вещественном случае. Они обладают такими же свойствами, что и в вещественном случае, разница состоит лишь в том, что определитель, будучи комплексным числом, не равен объему. Злдлчл 1. Докажите свойства экспоненты: Н( Л) эн 4 А С( А) А Злдлчл 2.
Докажите свойства определителя: де$ А = )Ае1А)~. э1е1А= десА. бес "А = э!е1А. Злдлчл 3. Докажите свойства следа: Сг с А = 1г А. 1г пА = 1г А + гг А, сг А = 1г А, 196 Глава 8 ЗАДАЧА 4. Докажите, что и в комплексном случае 11Е1 СА Еээ А 5. Производная кривой с комплексными значениями.
Пусть 1Р1 1 — 1 С" отображение интервала 1 вещественной оси 1 в комплексное линейное пространство С". Мы будем называть у кривой. Проиэаодная кривой 1р в точке 1о б 1 определяется обычным образом: Ф . У(го + й) — Чэ(го) — = 11га 1=1 1' 1 6 Это вектор пространства С". Пгимкг 1.
Пусть и, = 1. 1Р(1) = си (рис. 119). Тогда — = 1'. 1=О Рассмотрим случай и = 1 подробнее. Поскольку га в С определено умножение, кривые со значениями аг в С можно не только складывать, но и умножать: (Р + Р )(1) = р1(1) + 1аз(1) ~ (Ч Рз)(Г) =Р1ЯР (1), В частности, производная многочлена с комплексными коэффициентами даетсн той же формулой, что для случаи вещественных козффициен тон. Если и ) 1, то перемножить две кривые со значениями в С" нельзя. Однако, поскольку С есть С-модуль, моя1но умножить кривую у1 1-+ Са на функцию 11 1 — 1 С1 (УРН1) = У(1)р(1).
Рнс. 119. Производная отображения 2 ~-1 е1 в тачке 0 равна 1 Злдлчл 1. Докажите свойства производной: 11 ~~Р1 ~Р2 — 1('Р1+~2) = дб + 111 ' 11 Ф1 ~~~Р2 г(1('Р1$рз) а ~Р2+ ~р1 а з 19. Линейное уравнение с ком лексным фаэовым пространством 197 ЗАддчА 2. Докажите свойства производной: 4" Р) "МР Ф а'с г1(с ) сФ Ф Ф ас ас ' ас сМ ' гП,Р + Юг) гйр гУР гПЮ Ф + Ф й й г11 ' г11 йй М Разумеется, здесь предполагается, что производные существуют. Теорема.
Пусть А: С" ь С" — С-линейный оператор. Тогва существует при любом 1 6 К С-линейный оператор из С" в С" сл Англ аг ДокАзАтвльство. Это можно доказать в точности так же, как в вещественном случае, но можно и сослаться на него. Ибо овеществив С". получим н( а ел ) с~к( лл) а с(ьл) гнА) йгл) пгА гл) 1,Ж' / (й " <й' 2 19. Линейное уравнение с комплексным фазовым пространством з Е С". Решением ю уравнении (1) с начальным условием ~р(1е) = го, 1о Е Рм зо б С", называется отображение гр: 1 — ь С" интервала 1 вещественной оси 1 в С, если 1) для всякого т Е 1, — = Аут(т); йр Г=т Полный титул: система п линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с комплексными постоянными коэффициентами.
Комплексный случай, как зто часто бывает, проще вещественного. Он важен сам по себе; кроме того, изучение комплексного случая поможет нам исследовать вещественный. 1. Определения. Пусть А: С" -+ С вЂ” С-линейный оператор. г7инейнмм уравнением' с фазовым пространством С" мы будем называть уравнение 198 Глава Я 2) 1о Е 1 и гр(1о) = го.
Иными словами, отображение <Р: 1 — > С" называется решением уравнения (1), если после овеществления пространства С" н оператора А отображение гр будет решением уравнения с 2п;мерным вешественным фазовым пространством У = нАл, л б )к " = нС". 2. Основная теореме. Следующие теоремы доказываются точно так же, как в вещественном случае (сьь Ч 15,2,3): Теорема. Решение ьз уравнения (1) с начальным условием уз(0) = хо дается узормулой <р(1) = елсхо. Теорема.
Всякая однопараметрическая группа (уз(1 Е )й)) С-линейных преобразоеаний пространства С" имеет еид Вз = еяс, где А: С" -+ С вЂ” некоторый С-линейный операгяор. Наша цель теперь исследовать и явно вычислить еле. 3. Диагональный случай. Пусть А: С" — з С' есть С-линейный оператор. Рассмотрим характеристическое уравнение (2) йеь)А — ЛЕ) = Оо Теорема. Если и корней Лы ..., Л„характеристического уравнения попарно различны, то С разлагается в прямую сумму инвариантных относительно А и ель одномерных надпространств С" 1 1 = С +...
+С„, причем в каждом одномерном инвариантном подпространстое, скажем и Сь, еяс сводится н умножению на ком лексное 1 число е~ь~. Действительно, оператор А имеетз п, линейно независимых собственных прнмых: С" = С'+... +С~. На прямой Сзь оператор А действует как умножение на Ль, поэтому оператор ел' действует как умножение на слег Рассмотрим теперь полробнее одномерный случай, в = 1. 4.
Пример: линейное уравнение, фазовое пространство которого — комплекснан прямая. Такое уравнение имеет вид Это — единственное место, где комплексный случай отличается от вещественного. Причина бальщей сложности вещественнога случая алгебраическая незвмкнутасть паля и. 219.
Линейное уравнение с комплексным фаэовым пространством 199 Мы уже знаем его решения: у>(с) = ««~'хо. Исследуем комплексную функцию ем вещественного переменного й «л«.1ц >С Если Л вещественно. то функция е"' вещественна (рис.
120). Л<0 Рис. 120. Графики функций е>л при вещественных Л Рнс. 122. Фазовая и нн- Рис. 121. Фвзовая и В этом случае фазовый поток уравнения (3) состоит из растяжении в ел«раз. Если Л чисто мнимо, Л = «а>, то по формуле Эйлера е = еэы ' = соз а>й + «зш а>1. В этом случае фазовый поток уравнении (3) — это семейство 1дл) по- воротов на угол ыу (рис. 121). Наконец, в общем случае Л = о + эа> и умножение на е>а есть произведение умножения на с «и умножения на в«ы«(см 2 13> 3).
Л«(а+«ы)С «««,иы интегральная кривые уравнения з = Ле при чисто мнимом Л тегральная кривые уравне- ния с = Лз при Л = о -(-«ь>, о(0,в>)0 200 Глава 8 Таким образом, преобразование д«фазового потопа уравнения (3)— зто растяжение в с ~ раз с одновременным поворотом на угол со1. Рассмотрим теперь фазовые кривые. Пусть, например, о < О, щ ) О (рис. 122). В таком случае при росте 1 фазовая точка с"«ло будет приближаться к началу координат, обходя вокруг него в направлении «против часовой стрелкиь (т.е. от 1 к «).
В полярных координатах, при соответствующем выборе начала отсчета углов, фазовая кривая задается уравнением г = с 'г (й = — ~, или у = й 1пг. Такая кривая называется логарифмической спиралью. а<0 а<0 а>0 щ>0 а>0 щ<0 Рис. 123.
Устойчивые фокусы Рис. 124. Неустойчивые фокусы При других комбинацинх знаков с« и ы фазовые кривые также будут логарифмическими спиралями (рис. 123, 124). Во всех случанх (кроме Л = О) точка с = О нвляется единственной неподвижной точкой фазового потока (и единственной особой точкой соответствующего уравнению (3) векторного полн). Рис. 125. Центр Рис. 126.
Вещественная часть с"' как функция времени З19. Линейное уравнение с комплексным фаэовым пространством 201 Эта особая точка называется фокусом (мы предполагаем, что а ф О, ы ф 0). Если сс < О, то 1р(1) — ~ 0 при 1 -» +ос и фокус называется устойчивым, а если о > О, то неустойчивы ч. При о = О, и) р': 0 фазовые кривые окружности, а особая точка их центр (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
