Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Другая задача, сразу сводящаяся к линейным дифференциальным уравнениям, это задача описания однопараметрических групп линейных преобразований' линейного пространства К". Заметим, что касательное пространство к линейному пространству к" в любой точке естественно отождествляется с самим линейным пространством. А именно, мы отождествлнем элемент гр касательного пространства Т У,'", представителем которого является кривая ун Глава Я 1 -+ К", сз(0) = х, с вектором ~р(1) — х о = 11п1 6 К" г-+о самого пространства К" (соответствие и с-ь ф взаимно однозначное).
Это отождествление зависит от структуры линейного пространства К" и не сохраняется при диффеоморфизмах. Однако в линейных задачах, которыми мы будем теперь заниматься (например, в задаче об однопараметрических группах линейных преобразований), структура линейного пространства в К" раз навсегда фиксирована. Поэтому мы теперь впредь до возвращения к нелинейным задачам отолсдествлл.- ем Т К" = К". Пусть (д', 1 б К) — однопараметрнческая группа линейных преобразований. Рассмотрим движение ~р: К -+ К" точки хо б К". ЗАдАчА 1. Докажите, что 1о(1) — решение уравнения с начальным условием х(О) = хо, где А: И" — > К" — - линейный оператор (гв И энломорфиэм), заланный соотношением Ах = — (Лзх) тх Е К .
~1 з=о Указание. См. З 4, и. 4. Уравнение (1) называется линейным. Таким образом, для описания всех однопараметрических групп линейных преобразований достаточно исследовать решении линейных уравнений (1). Мы увидим далее, что соответствие между однопараметрическими группами (д") линейных преобразовании и линейными уравнениями (1) взаимао однозначно: каждый оператор А: К" — > К" задает одно- параметрическую группу (д'). Пгнмвг 1. Пусть и = 1, А — умножение на число к. Тогда Лз — растнжение в е раз. и Злдлчл 2. Найти поле скоростей точек твердого тела, вращающегося вокруг оси, проходнщей через точку О, с угловой скоростью ы. Отввт. о(х) = [ы„х).
3. Линейное уравнение. Пусть А: К" — ь К" — линейный оператор в вещественном п-мерном пространстве К". 114. Покагателькоя фуккция Определение. Линейным уравнением называется уравнение с фазовым пространством К", заданное векторным полем п(х) = А(х): Полный титул уравнения (1): система п линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравкений первого порядка с постоянными коэффициентами.
Если в К" фиксирована система (линейных) координат х,, ! = 1, .... и. то уравнение (1) записываетсн в виде системы и, уравк пений: х; = 2 а; хд, 1 = 1, ..., и, где (ан) — матрица оператора А 1=к в рассматриваемой системе координат. Матрица эта называется матрицей системы. Решение уравнении (1) с начальным условием у(0) = хо даетсн в случае п = 1 зкспонентой ~р(1) = е 'х . Оказывается, и в общем случае решение дается той же формулой: нужно только обънснить, что называется экспоиентой линейного оператора. Этой задачей мы теперь и займемся. Э 14.
Показательная функция Функцию ел, А б К, можно определить любым из двух эквивалентных способов: А 42 43 е =Е+А+ — + — +... 2! 3! (2) е = !пн Е+— (где Е означает единицу). Пусть теперь А: К" — ~ К" — линейный оператор. Чтобы определить е , прежде всего определим понятие предела последовательности линейных операторов. 1. Норма оператора. Зафиксируем в К" скалярное произведение и будем обозначать через ~(х(! = ~/(х, х) (х Е К ) корень из скалярного квадрата х. Пусть А: К" — э К" — линейный оператор.
170 Глава Я Определение. Нормой А называется число !!А!! = вцр !!Аж)! зла !!ж!! Геометрически !!А!! означает наибольший «коэффициент растяжения» преобразования А. ЗАДАЧА 1. Докажите, что 0 < !!А!! < оо. Указание. !!А!! = зпр !!Аз!!, сфера компактна, а функция !!Ае!! непре- 1 1=» рывна. Злдлчл 2. Докажите. что !!ЛА!! = !Л!!!А!!, !!А + В!! ( !!А!! + !!В!!, !!АВ!! ( !!А!!!!В!!, где А н В: В'.ч — > Н" линейные операторы, Л Е Н число. Злдлчл 3.
Пусть (аи) — матрица оператора А в ортонормнрованнем базисе. Покажите, что шах ~~~ о„. < !!А!! < ~ ~а.; .. Уквзание. См. Г.Е. Шилов. Введение в теорию линейных пространств. Мл ГИТТЛ, 1956, Х 53. 2. Метрическое пространство операторов. Множество Г всех линейных операторов А: Ка — » Ра само явлнется линейным пространством над полем вещественных чисел 1по определению.
1А + ЛВ)х = = Ах + ЛВх). Злдлчл 1. Найти размерность этого линейного пространства 1. Отввт. а'. Указание. Оператор задаетсн своей мвтркцей. Определим расстояние между двумя операторами как норму их разности р1А, В) = !!А — В!!. Теорема. Пространство линейных операторов Г, с метрикой р является полным метрическим пространством'. Метрическая пространством нззывзетсл пзрз, состолщзл вз множества М к функпкн гк М х М -+ й, называемой метрвкай, если 171 114.
Показательная функции ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Проверим, что р метрика. По определению р > О, если А р'= В, р(Л, Л) = О, р(В, А) = р(Л, В). Неравенство треугольника р(А, В)+р(В, С) > р(А, С) вытекает из неравенства !!Х+ У!! < !!Х!(+ !(У(! задачи 2 и. 1 (Х = А — В, У =  — С). Итак, метрика р превращает В в метрическое пространство.
Его полнота тоже очевидна. 3. Доказательство полноты. Пусть 1А;) -- последовательность Коши, т.е. для всякого е > О найдется дг(е) такое, что р(А, Аь) < е прн т. Ь > Ж. Пусть х й К". Составим последовательность точек х; П К", х; = А;ш. Покажем, что (х,) -- последовательность Каши в пространстве К"', снабженном евклидовой метрикой р(Х, у) = !(Х вЂ” у(!. Действительно, по определению нормы оператора при пь й > йх' !!х„, — хь(! < р(Ат, Аь) (!х(! < с!!х!!.
Поскольку !!х!! фиксированное (не зависнщее от еи В) число, отсюда следует, что (х;) -- последовательность Коши. Пространство К~ полно. Поэтому существует предел Заметим, что !!хь — у(! < е!(ш(! прн !с > !х'(е), причем !х'(е) то же, что н выше. не зависящее от х число. Точка у зависит от точки х линейно (предел суммы равен сумме пределов). Мы пополучаем линейный оператор А: ра -+ Ка, Ах = у, А К Ь.
Мы видим, что при Й > !у(е) р(АА, А) = !(АА — А(! = зпр (!вь — у(! < и. Фа !(х(! Значит, А = !пп Аь и пространство Ь полно. й-ча ЗАДАЧА 1. Докажите, чта последовательность операторов А; сходится тогда и только тогда, когда сходится последовательность их матриц в фиксированном базисе. Выведите отсюда другое доказательство полноты.
1) р(х, у) > О, (р(х, у) = О) Са (х = у); л) р(х, у) = р(у,х) У:с, у Е М; 3) р(х, у) < у(х, х) + р(л, у), Ух, у, х Е М. Паследаеательнасть х, тачек метрнческага пространства М назыэается ласледааателъиастыа Коши, если хе > ОЛОГ: р(х,, х ) < с, Уе, 1 > !Ч.
Последаеэтельность х; сходится к тачке и, если хе > 0 В!Ч: р(х, х;) < и, йх > !У. Пространства называется лалкылч если всякая последовательность Коши сходится. 172 Глава Я 4. Ряды. Пусть дано вещественное линейное пространство М, превращенное в метрическое полное пространство метрикой р такой, что расстояние между двумя точками М зависит лишь от их разности, причем р(Лх, О) = )Л)р(х. О), (х Е М, Л Е К). Такое пространство называется нормированным, а функция р(х. О) называетсн нормой х и обозначается Вх!). Пгимвг 1. Евклидова пространство М = К" с метрикой л*,с — )) — ))= зс — и — с Пгимвг 2.
Пространство Ь линейных операторов К" -+ К с метрикой р(А, В) = ))А — Вб. Мы будем обозначать расстояние между элементами А и В из М через 0А — В!). Поскольку элементы ЛХ можно складывать и умножать на числа и последовательности Коши в М имеют пределы, теория рядов вида А1+ Аз +..., А; б ЛХ, буквально повторяет теорию числовых рядов. Теория функциональных рядов также непосредственно переносится на функции со значениями в М.
ЗАДАЧА 1. Докажите следующие две теоремы: Пгизнлк Нкйкгштглксл. Если ряд 2 Хс Функций Хс: Х -+ М а=1 мажорирувтся сходящимся числовым рядом: Ш <ао '~ аз(ос, а, ЕК, то оя сходится абсолютно и равномерно яа Х. Диефкгкнциговлннк гядл. Если ряд ) Х, функций Хч К -+ М сходится и ряд из производных — * сходится равномерно, то он сходится дХ, Ж к производной — ') Х, (1 — координата на прямой К). д дс; 1 * Укезаиие. Доказательство для случая М = И имеется в курсе анализа.
Па общий случай оно переносится дословно. 5. Определение экспоненты ел. Пусть А: К" + К" линейный оператор. 173 З 14. Показательная функция Определение. Экспонентой ел оператора А называется линейный Аг со Аь оператор из Вв в Рк ел = Е+ А+ —, +... = ~ , '—, (где Š— тожь=о ~. дественный оператор, Ех = х). Теорема.
Ряд ел сходится при любом А равномерно на каждом множесгпве Х = (А ) 'ДАВ < ««1) а Е К. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть ВАй < а. Тогда наш ряд мажорируется числовым рядом 1+ а+ о +..., сходящимся к е . По признаку Вейерштрасса ряд е 2! равномерно сходится при ВА(! < а. ЗАдлчл 1. Вычислить матрицу ел'. если матрица А имеет виц о)(о '), о)(о, '), «)(о о ОтВет ))(с 1,0)(„о,о)('. ''1,«)(о 6. Пример. Рассмотрим множество многочленов степени меньше и от одного переменного х с вещественными коэффициентами. Это множество имеет естественную структуру вещественного линейного пространства: многочлены можно складывать и умножать на числа.
ЗАДАЧА 1. Найти размерность пространства многочленов степени меньше и. ОТВЕТ. и: базис. например. 1, т, х о ..., х" Будем обозначать пространство многочленов степени меньше и через з)".' Производнан многочлена степени меньше и есть многочлен степени меньше п. Возникает отображение А) Рп -+ П", Ар = —. ир дх' Отеком образам, мы отождествляем пространство мкогочленов, в котором выбран указанный выше базис, с изоморфным вму координатным пространством Й~.
174 Глава Я Злдлчл 2. Доказать, что А линейный оператор; найти его ядро и образ. Отввт. КегА = й~, 1шА = П" С другой стороны, обозначим через Нч (1 Е К) оператор сдвига на 1, переводящий многочлен р(т) в р(и+ 1). Злдлчл 3. Доказать. что Н~: П" — > П" — линейный оператор. Найти его ядро и образ. Отввт. Кег Н' = О, 1т Н' = В". Наконец, составим оператор с~~. Теорема. сл' = Н'.
Доклзлтильство. В курсе анализа эта теорема называется формулой Тейлора для многочленов: р( +1) =р1*)+ — — +— 1 др 1г дзр 1) дв 2! с1гг 7. Экспонента диагонального оператора. Пусть матрица оператора А диагональна, с диагональными элементами Лд, ..., Ла. Легко видеть, что матрица оператора с~ также диагональна, с диагональными элементами сл', ..., сл . Определение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
