Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 34
Текст из файла (страница 34)
гп -ь оо. Остаетсн заметить, что !пп 1+ — "+0 — ~ = е" для любо- го а б К, в частности для а. = 1г А. Следствие 1. Оператор е кевырождек. Следствие 2. Оператор е сохраняет ориентацию Н" 1т. е. е!еФ А ) 0). ибо определитель матрицы многочлен (и, следовательно, непрерывнан функция) от элементов. Далее, по предыдущей теореме 188 Глава з Следствие 3 (формула Лиувилля). Фазовый поток (дз) линейного уравнении в=Ах, хаий", за время 1 меняет объем любой фигуры в е с раз, где а = 1гА. Действительно, с1с1аз = Вес сиз = езляс = см" Л.
В частности, отсюда вытекает Следствие 4. Если след А равен О, то фазовый поток уравнения (1) сохраняет объемы (т.е. 8л переводит любой параллелепипед в параллелепипед того лсе объема). Действительно, ео = 1. Нгимкг 1. Рассмотрим уравнение мантника с коэффициентом трения — к х = — х+ах, эквивалентное системе < хг = хг хз = хг + Кхз с матрицей (рис. 114) Рис. 114.
Поведение площадей при преобразованиях фазового потока уравнения мантннка След этой матрицы равен й. Итак, при к ( 0 преобразование фазового потока 8з (1 > 0) переводит каждую область фазовой плоскости в область меньшей площади. В системе с отрицательным трением (к > 0), наоборот, площадь области 8Ч1, 1 > О, больше площади сг. Наконец, когда трения нет (к = 0), фазовый поток 8' сохраняет площади (неудивительно: в этом случае, как мы уже знаем, 8" есть поворот на угол 1).
217. Практическое вычисление матрицы экспоненты 189 Злдлчл 1. Пусть вещественные части всех собственных чисел А отрицательны. Докажите, что фазовый поток Лл уравнения (1) уменьшает объемы (1 > 0). Злдлчл 2. Докажите, что собственные числа оператора е равны с~*, где Л; — — собственные числа оператора А, Выведите отсюда доказанную выше теорему.
В 17. Практическое вычисление матрицы экспоненты — случай вещественных и различных собственных чисел Нри практическом решении дифференциальных уравнений оператор А задан своей матрицей в некотором базисе, и требуется явно вычислить матрицу оператора е" в том же базисе. Начнем с простейшего случая. 1. Диагональный оператор. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение и = Аш, ш б К". где А: К" -+ Ра диагональный оператор. В базисе, в котором матрица оператора А диагональна, она имеет внд (: 3 где Л; собственные числа. Матрица оператора ел' имеет диагональный вид Итак, решение ср с начальным условием ~ра(0) = (згс, ..., ш„,) имеет в этом базисе вид 1оь = ел"'шне.
К э~ому базису и надо перейти, если матрица оператора А дана в другом базисе. Если все и собственных чисел оператора А вещественны и различны, то он диагонален (Й" распадается в прямую сумму одномерных ннвариантных относительно А надпространств). Рдо Глава 8 Поэтому решать уравнение (1) в случае, когда собственные числа оператора А вещественны и различны, нужно следующим образом: 1) составить вековое или характеристическое уравнение с$еь)А — ЛЕ) = О; 2) найти его корни Л1, ..., Л„; мы предполагаем, что они вещественны и различны; 3) найти собственные векторы ц1, ..., ~„из линейных уравнений А~ь = Льбь, ~ь ф О; 4) разложить начальное условие по собственным векторам .=~сд,; Ь=1 О) написать ответ ~Р1ь) = Хз СЬЕ~"~цга Ь=1 В частности, получаем Следствие.
Пусть А — диагон льный оператор. Тогда элементы матрицы е~'(г Е К) в любом базисе являются линейными комбинацияМи ЭКСПОНЕНт Ехьь, гдв ЛЬ -- СабетВЕННЫЕ ЧиСЛа МатрицЫ А. 2, Пример. Рассмотрим маятник с трением < Х1 =юг, Х2 — Х1 ьХ2.
Матрица оператора А имеет вид < О 11 ьг А = — к, деь А = 1. — -) Поэтому характеристическое уравнение имеет вид Л +12Л+1 = О; корни вещественны и различны, когда дискриминант положителен, т.е. когда Щ > 2. Итак, при достаточно большом (по абсолютной величине) коэффициенте трения Й оператор А диагонален. З17. Практическое вычисление лсатрилы эксиокекты 191 Рассмотрим случай к > 2.
В этом случае оба корня Лы Лз отрицательны. В собстгТ/~ Отсюда, как в 12, получаем решение Рис. 115. Фазовые кривые маятника с сильным трением в собственном базисе Рг(1) = е~'~Уг(0), дл(1) = е~мч7з(0) Злдлчл 2. Исследовать движение перевернутого маятника с трением, х = х — Ы. 3. Дискретный случай. Все сказанное о показательной функции е непрерывного аргумента 1 относится и к показательной функции А" дискретного аргумента и. В частности, если А диагональный и картинку (узел, рис.
115). При 1 -+ +ос все решения стремятся к О, почти все интегральные кривые касаются оси ды если ~Лз~ больше (Лс! (тогда дз стремится к 0 быстрее уг). Картинка на плоскости (хы:сз) получается линейным преобразованием. Пусть, например. к = 3~/з, так что хч 1 11 П1 Собственный вектор ~, находим из условия хг = — Зхз, получаем 4 ~г = ез — Зеы Аналогично сз = ег — Зез. Поскольку (Лг ~ ( (Лз ~, фазовые кривые имеют вид, изображенный на рис.
116. х, Рассматривая рис. 116, мы приходим к следующему удивительному выводу: если коэффициент тренин й достаточно велик (к > 2), то маятник не совершает затухающих колебаний, а сразу идет '2 к положению равновесия: его скорость хт меняет знак не более одного раза. Рис. 116. Фазовые кривые урав- ЗАдАчА 1. Каким движениям маатни- пения маятника с сильным трека соответствуют фазовые кривые 1, П, П1 кием в обычном базисе нв рис. 1167 Нарисовать примерный график х(С). 192 Глава Я оператор, то для вычислении А" удобно перейти к диагональному ба- зису.
Пгимвг. Последовательность Фибоначчи О, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,... определнется тем, что каждый следующий член равен сумме двух предыдущих, а = а г + а х, и двумя начальными членами по = О, вт = 1. Злдлчл 1. Найти формулу для а„. Поквзатьч что о„растет, как геометрическая прогрессия.и найти (пп = сс 1па — гсо Указание. Заметим, что вектор С„= (а„, гх„г) выражается линейно /1 й ), причем ~, = (1, 0).
Поэтому о есть (1 0)' Ао (л1 лт) (1 + ь ог) , и =, где Лдг = собст- ъгб через ~„,: с„= Ас„ы А первая компонента вектора Отнят. о = (н г чг5-'г 1 венные числа А. Такое же рассуждение сводит исследование любой рекуррентной последовательности а„ порнцка к, заданной правилом В 18. Комплексификация и овеществление Прежде чем изучать комплексные дифференциальные уравнения, вспомним, что такое комплексификация вещественного пространства и овеществление комплексного. тот факт,что для определения рекуррентной последовательности Ь-го порядка недо знать Й ее первых членов, тесно связан с тем.что фаэовое пространство дифференциального уравнения порядка Ь имеет реэмерность Ь.
Эта связь становится понятной, если записать дифференциальное уравнение в виде предела равностных. а„= аа„г + ела„х +... + сьа„ь, и = 1, 2, ..., и к начальными членами', к изучению показательной функции А, где А: К ' — > К вЂ” линейный оператор. Поэтому, когда мы научимся вычислить ь ь матрицу экспоненты, мы одновременно изучим все рекуррентные последавательности. Возвращаясь к общей задаче о вычислении еде, заметим, что корни характеристического уравнения г(е1(А — ЛЯ) = О могут быть комплексными. Чтобы изучить этот случай, мы вначале рассмотрим линейное уравнение с комплексным фазовым пространством С". З18. Колсклексификация и овеществление 1.
Овеществление. г1ерез С" мы будем обозначать и-мерное линейное пространство над полем комплексных чисел С. Овеществлениелс пространства С называется вещественное линейное пространство, которое совпадает с С как группа и в котором умножение ва вещественные числа определено как в С", а умножение на комплексные числа не определено. (Иными словами, овеществить С" — это значит забыть о структуре С-модули, сохраняя структуру К-модули.) Легко видеть, что овеществление пространства С" будет '2н-мерным вещественным линейным пространством К ". Мы будем обозначать овеществление знаком К сверху слева, например: пС = К . з Если (ез, ..., е„) — базис в С", то (ее, ..., еэ, 1ез, ..., 1е„)— базис в пСэ = К ".
Пусть А: С™ — 1 С" — С-линейный оператор. Овеществление оператора А это К-линейный оператор нА: пС + нС". совпадающий с А поточечно. Зкдячя 1. Пусть (ее„ ..., е„) — базис пространства С™,(~н ...,,Г„)— базис пространства С", (А) матрица оператора А. Найти матрицу овеществленного оператора кА. Отнят. ( 1), где (А) = (а) + 1(В).
ЗАдАчА 2. Докажите. что (А+В) ='А+ В. (АВ) = А В. 2. Комплекснфнкация. Пусть К вЂ” вещественное линейное пространство. Колсплексификация пространства К~ — это п-мерное комплексное линейное пространство, обозначаемое через сК", которое строится следующим образом. Точки пространства сК" — это пары (ц, е)), где ц б К", е) б К". Такая пара обозначается ц + 171. Операции сложения и умножении на комплексные числа определяются обычным образом: (и + 1о) (ц + и7) = (иц — ое7) + 1(оц + ит1), К, + гЧ,) + (4з + гт1з) = (~, + 4з) + г(е7, + е7з) Легко проверить, что полученный С-модуль является и-мерным комплексным линейным пространством: сК" = С". Если (ез, ..., е )— базис в К", то векторы ея + 10 образуют С-базис в С" = ' К". Векторы ц + 10 обозначаются короче через ц.
13 Заказ №И17 194 Глава Я Пусть А: К™ — > К" есть К-линейный оператор. Комплексиугикация оператора А это С-линейный оператор сА: нКж — э К", определенный соотношением сА(с + гг)) = А4+ гАг). Злдлчл 1. Пусть (ен ..., е„) базис е Б'., (1н .... 1 ) базис в Б'.. Пусть (А) — матрица оператора А. Найти матрицу комплексифицнроеанного оператора ('А). Отввт. (сА) = (А). Злдлчл 2. Докажите, что (А Ч- В) = А -~- В. с(АВ) = АгВ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
