Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 37
Текст из файла (страница 37)
131. Аффинный образ логарифмической спирали В частности, особая точка 0 явлнетсн фокусом, а фазовые кривые аффинными образами логарифмических спиралей, приближающихся к началу координат при 1 — Ь +се в случае, когда вещественная часть а собственных чисел Л, Л етрнцательна, и удаляющихся в случае, когда а > 0 (рис. 131). В случае а = О (рис. 132) фезовые кривые — семейство концентрических эллипсов, а особая точка их центр. В этом случае преобразования фазового потока называются эллиптическими поворотами. 4. Классификация особых точек на плоскости. Пусть теперь ж=Ак, юЕВ~, А: В~-+В~, — произвольное линейное уравнение на плоскости. Пусть корни Лг, Лз характеристического уравнения различны.
Если они вещественны и Ль < Лг, то уравнение распадается на два одномерных и мы получаем один из случаев, уже изученных в гл. 1 (рис. 133, 134, 135). Здесь пропущены пограничные случаи, когда Лз или Лг равно О. Они представлнют гораздо меньший интерес, так как встречаютсн ред- 208 Глава 3 л,=я,<0 А,<Л <О Л,<О<~., Рис. 134. Седло Рис.
133. Устойчивые узлы ~./Г 0<Л,<4 Рнс. 136. Устойчивые фокусы Рнс. 133. Неустой- чивый узел ко и не сохраняются при сколь угодно малом возмущении. Исследование их никаких трудностей не представляет. а=О Если же корни комплексны, Лз з = а ~ ио, то в зависимости от знака а может получится один из случаев, представленных на рис. 136, 137, 138.
Случай центра является исключительо ным, но он встречается, например, в консервативных системах (см. 3 12). Случаи кратных корней также являются исключительныРис. 137. Центры ми. Читателю предоставляется проверить, что жордановой клетке соответствует случай,изображенный на рис. 133 (Лл = Лз ( О; так называемый вырожденный узел). 5.
Пример: маятник с трением. Применим все сказанное к уравнению малых колебаний маятника с трением й = — я — Йт (к— коэффициент трения). Составим эквивалентную систему: 220. йогхнлексификацнл вещественного линейного уравнения 209 г 1 — сз~ аз — г1 йтз. Исследуем характеристическое уравнение. Матрица системы имеет определитель 1 и след -7с. Корни характеристического уравнения Лз + ЙЛ + 1 = 0 комплексны при ~й~ < 2, т.е. при не слишком большом тренинг.
а>0 ~(Я~~~ Рис. 138. Неустойчивые фокусы Рнс. 139. Фазоввя плоскость маятника с малым трением Вещественная часть каждого из комплексных корней Л1 з = о ~ гш равна — к/2. Иными словами, при положительнолг не слишком большом коэффициенте трения (О < (г < 2) нижнее положение равновесия лгаятника (з1 = аз = 0) будет устобчивылг фокусом. При й — ь 0 фокус превращаетсн в центр; чем меньше коэффициент тренин, тем медленнее фазовая точка приближается к положению равновесия при 1 — ь +со (рис.
139). Явные формулы для изменении з1 = т со временем получаютсн из следствия 2 и. 3 и формул и. 4 3 19: з(1) = ге 'соз(1а — шг) = Ае 'гозш1+ Ве 'з1пш1, где коэффициенты г и у (или А и В) определяютсн из начальных условий. Итак, колебания маятника будут затухающими, с переменной амплитудой гео' и с периодом — к. Чем больше коэффициент тренин, тем ~сгучей вещественных корней рессметрен в 1 17, и. 2.
14 Заказ тйИ17 210 Глава 8 Рис. 140. Переход от затухающих колебаний к неколебвтельному движению мвнтникв: фвзовые кривые и графики решений при трех значениях коэффициента тренин быстрее уменьшается амплитуда . Частота ы = г г 1 — — уменьшается 1 аг 4 с увеличением коэффициента трения к. При к — г 2 частота стремится к О, а период — к со (рис.
140). При малых й ы — 1 — — (к > О), так я~ что трение увеличивает период очень незначительно, и его влиянием на частоту во многих расчетах можно пренебрегать. ЗАдАчА 1. Нарисовать фвзовые кривые нелиневризоввнного маятника с трением, э = — вгв э — яэ (рис. 14Ц. указание. Сосчитайте производную полной энергии вдоль фазовой кривой. 6.
Общее решение линейного уравнения в случае простых корней характеристического уравнения. Мы уже знаем, что вснкое решение аг комплексифицированного уравнении явлнется линейной ги вса же при любам значении В < 2 мвятнкк делает бесконечное количество размахов. Если жа В > 2, мвлтняк меняет направление движения не более адвага рвзв.
З20. Комплексификаиоя вещественного линейного уравнения 211 комбинацией экспонент 1см. З 19, 5): уз(г) = ~~г сье " (ь, ь=г где ~ь — какой-нибудь собственный вектор с собственным значением Ль. Выберем собственные векторы с вещественными собственными значениями вещественными. а с комплексно сопряженными — комплексно сопряженными. Мы уже знаем, что решения вещественного уравнении — это решения его комплексификации с вещественными начальными условиями. Чтобы вектор у(0) был вещественным, необходимо и достаточно, чтобы сДь — — ~ сДг.
ь=г ь=г Длн этого коэффициенты при комплексно сопряженных векторах должны быть комплексно сопряженными, а при вещественных — вещественными, Рис. 141. После нескольких оборотов маятник начинает качаться возле нижнего положения равновесия Заметим, что и комплексных постоянных сь 1при фиксированном выборе собственных векторов) определяются решением комплексного уравнения однозначно. Итак, доказана Теорема. Каждое решение вещественного уравнения единственным образом 1при фиксированном выборе собственных векторов) записывается в виде г гьл гт) ~, ' ~ггчг + ~ хьгч + — хггч г1) ь=г ь=ы-|-1 где аь —.
вещественные, а сь — ком лексные постоянные. 212 Глава Я Формула (1) называется общим решением уравнения. Ее можно переписать в виде ° ~, А„ь~ + 2 Рь '~, сьельь~ я=и+1 Заметим, что общее решение зависит от о + 2р = и вещественных постоянных аь, Весне 1шсь. Эти постоннные однозначно определяются начальными условиями. Следствие 1. Пусть ьэ = (~р~, ..., ~р„) — решение системы п линейных вещественных дифференциальных уравнений иервого порядка с матрицей А. Пусть все корни характеристического уравнения матрицы А простые. Тогда квжд я иэ функций ~р является линейной комбинацией функций ех"' и с М созшь1, е ьь зшшь1, где Ль — вещественные, а оь х иоь — комплексные корни характеристического уравнения. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Разложим общее решение (1) по координатному базису: у = ~о~е~ +... + ьэ е„. Учитывая, что е< ьАвльн = с "'(соаыь1хув1пшь1), получим требуемое. При практическом решении линейных систем можно, найдя собственные числа, искать решении в виде линейной комбинации функций сх", е "созшь1 и с""зшыьй методом неопределенных коэффициентов.
Следствие 2. Пусть А — вещественн я квадратная матрица, собственные числа которой проствь Тогда каждый иэ элементов матрицы еЛ' есть линейная комбинация функций е""', е ь'совыь1, е ьггшыь1, где Ль — вещественные, а о х иоь — комплексные корни характерисгпического уравнен я. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Каждый столбец матрицы еЛ' составлен из координат образа базисного вектора под действием фазового потока системы дифференциальных уравнений с матрицей А. ЗАмечАние. Все сказанное выше непосредственно переносится на уравнения и системы уравнений порядка выше 1, так как они сводятся к системам первого порядка (см. З' 8). 213 221. Классификация особыл точек ликебкык систем Злдлчл 1.
Найти все вещественные решения уравнений з =з, т-~-к=О. ~ч е -»4з=О, 3 21. Классификация особых точек линейных систем Выше мы видели, что в общем случае (когда у характеристического уравнения нет кратных корней) вещественная линейная система распадается в прямое произведение одномерных и двумерных.
Поскольку одномерные и двумерные системы мы уже изучили, мы можем теперь исследовать многомерные системы. 1. Пример: особые точ- О, О Р Р Р Р ве. Характеристическое уравне- ΠΠ— уб Вещественное кубическое уравне- О ние может иметь три веществен- 2 3 ных корни, либо один веществен- О, О ный и два комплексных. В зависи- 4 4' мости от расположении этих корней Лы Лз, Лз на плоскости комп- б б' лексного переменного Л возможно много разных случаев.
Ряс. 142. Собственные числа вещестОбратим внимание на пори- венного оператора А: Р» — » В~. Грудок и знаки вещественных час- бые случаи тей. Возможны 10 «грубых» случаев (рис. 142) и рнд «вырожденных» случаев (см., например, рис. 143), когда вещественная часть одного из корней равна нулю или вещественной части не сопряженного с ним корня (мы не рассматриваем сейчас случаи кратных корней). Исследование поведения фазовых кривых в каждом из этих случаев не представляет труда. учитывая, что ем (ВеЛ < 0) при 1 -+ +ос стремится к О, и тем быстрее, чем меньше ВеЛ, мы получаем изображенные на рис. 144 — 148 фазовые кривые: ч (1) = Яе(сзе чз + сзе сз + гзе сз). 214 Глава Я Случаи 1') — 5') получаютсн из случаев 1) — 5) изменением направленин оси 1, так что на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
