Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Оператор А: К" — > Но называется диагональным., если его матрица в каком-нибудь базисе диагональна. Такой базис называется собственным. Злдлчл 1. Привести пример недиагонального оператора. Злдлчл 2. Докажите, что собственные числа диагонального оператора А вещественны. ЗАдАчА 3. Если все п собственных чисел оператора А: к -+ к" вещественны и различны, то он диагонален.
Пусть А — диагональный оператор. Тогда вычисление сл проще всего проводить в собственном базисе. 175 З 14. Показательная функция й й Пгимпг 1. Пусть матрица оператора А имеет аид ( ) а базисе 0 аещестаенны и раз= еь + ез, 7з = еь — ез. 2 (е — 1 е -~ 1) ' 8. Экспонента нильпотентного оператора. Определение. Оператор Аь К" ь К называется нильпотентныл, если некоторая его степень ранна О. ЗАДАЧА 1. Докажите, что оператор с матрицей (е „) нильпотентный. Вообще. если асе элементы матрнпы оператора на днагонели н ниже равны О. то оператор нильпотентный. ЗАДАЧА 2. Докажите,что оператор дифференцирования — е просгранд дх стае многочленоа степени меньше ьь ннльпотентный. Если оиератор А нильпотентный, то ряд для е4 обрывается, т. е.
сводится к конечной сулле. ЗАДАЧА 3. Вычислить е'А 11 С К), где А: К" — ь К" — — оператор с матри- цей 0 1 0 1 11 только над главной диагональю). Указание. Один нз способоа решения этой задачи †- формула Тейлора для многочленон.
Оператор дифференцирования — имеет матрицу указанд Нх ного вида а некотором базисе ькаком7). Решение см. а 5 25. еь, еь Поскольку собстаенные числа Ль = 2, Лз личны, оператор А диагонален. Собственный базис: уь /2 Матрица оператора А а собстаенном базисе есть ( ье оператора е а собственном базисе имеет аид ( 10 базисе матрица оператора е имеет аид ОЛ ) . Поатому матрица ОЛ ).
Итак, а исходном 176 Глава Я 9. Квазнмногочлены. Пусть Л вещественное число. Баагиииогочленолс с покагателелс Л называется произведение елхр(х), где р многочлен. Степень многочлена р называется степенью квазимногочлена. Зафиксируем значение показателя Л. ЗАДАЧА 1. Докажите, что множество всех квазимногочленов степени меньше и линейное пространство. Найдите его размерность. Отввт. и.
Базис, например, е ',хе ,..., х" се '. ЗАМЕЧАНИЕ 1. В понятии квазимногочлена, как и в понятии многочлена, кроется некоторая двусмысленность. Можно понимать (квази-)многочлен как еырахсессие, составленное из знаков и букв; в таком случае решение предыдущей задачи очевидно. С другой стороны, молсно понимать под (квази-)многочленом функцию, т.е. отображение )': К вЂ” > К. В действительности оба понимания равносильны (когда коэффициенты многочленов вещественные или комплексные числа; мы сейчас рассматриваем (квази-) многочлен с вещественными коэффициентами).
злдлчл 2. Докажите, что каждая функция Г": к — > к, которую можно записать е виде квазимногочлека, записывается в виде каазимногочлена единственным образом. Указание. Достаточно доказать, что соотношение е~ р(х) = О влечет равенство нулю всех коэффициентов многочлена р(х). Обозначим и-мерное линейное пространство квазимногочленов степени меньше п с показателем Л через К". Теорема. Оператор дифференцирования — линейный операпсор д дх К" — > К", и при любом 1 Е К е с— е'сс =Н, где Нсс К" — > К" оператор сдвига нар(т.е.
(Н'с')(х) = г'(х+1)). ДОВАзАтельство. Мы должны доказать прежде всего, что производная и сдвиг квазимногочлена степени меньше и с показателем Л суть снова квазимногочлены степени меньше п с показателем Л. 177 2 15. Свойства экспоненты Действительно, дх — (елер(х)) = Ле~р(х) + е~~р~(х), ел1эейр(х + 1) = еле(елгр(х + 1)). Линейность дифференцировании и сдвига сомнений не вызывает. Остаетсн заметить, что ряд Тейлора длн квазимногочлена абсолютно сходится на всей прямой (так как абсолютно сходятся ряды Тейлора для ел* и для р(х)) — зто и выражает формула (3).
ЗАдАчА 3. Вычислить матрицу оператора е ', если матрица А имеет вид Л 1 О 1 О Л (на лнагонали Л, над диагональю 1, остальные 0). Например, вычислить -. (О1,) Указание. Именно такой вид имеет матрица оператора дифференцирования е пространстве квезимногочленов (в кеком безисе7). Решение см. в 225. В 15. Свойства экспоненты Установим теперь рнд свойств оператора е~: К" -+ К"; зти свойства позволят нам использовать ел для решения линейных дифференциальных уравнений. 1. Групповое свойство.
Пусть А: К" — 1 К' — линейный оператор. Теорема. Сгкейстео линейных операторов ос~: К" -+ К", 1 Е К, является однопаранетричесной группой линейных преобразований К". ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку мы уже знаем, что е'А — линейный оператор, нужно только проверить, что АЬЬэ)А ФА лл 12 Заказ 1ЧеИ17 178 Глава Я и что егл дифференцируемо зависит от 1. Мы докажем, что г( сгА Ассл Ж (2) как и положено экспоненте.
Чтобы доказать групповое свойство (1), перемножим сначала формальные ряды по степеням А: (Е4 1А4 ~'4г+ )(Е4 е4л г'Аз 4 ) =- Е + (ь' + е) А + — + 1э + г Аз + .. Коэффициент при Аь в произведении будет равен (1+ е)ь/(И), так как формула (1) верна в случае числовых рядов (А Е й).
Остается обосновать законность почленного умножении. Это можно сделать так же, как доказываетсн законность цочленного умножения абсолютно сходяьцихся числовых рндов (ряды для егл и с'л сходятся абсолютно, так как ряды е~г~~, е~'~~, где о = 'цАб, сходятся). Можно и прямо свести доказательство к числовому случаю. ~~р(Ам ..., Акй < рИ!Аь ~1, ..., ~!Ан~~). Доклзлтелъство. Это вытекает из неравенств ((А -~- В)! < /)А)) -Ь ()В!), !)АВ)! < ))А)! ))В)), ()Л!) = /Л( ()А!). Лемма доказана.
Обозначим через Я„,(А) частную сумму ряда для ел. Аь ь=е Я многочлен с неотрицательными коэффициентами относительно А. Мы должны доказать, что разность гь,„= В„(1А)Я„,(гА) — Я, ((1+г)А) стремнтсн к 0 при т -+ сс. Лемма. Пусть р Е Щгм ..., г„] льногочлен с неотрииательнылги коэ4ьфичиентами от переменных гм ..., га. Пусть Ам ..., Ан: К" — ь гсов линейньье операторы. Тогда 179 з 15. Сэоасьзеа экспоненты Заметим, что тт это многочлен с неотрицательными коэффициентами относительно лА и 1А. Действительно, члены степени не выше ьи по А э произведении рядов все получаются перемножением членов степени не выше ю в рядах-сомножителях. Далее, Я,„((л -~-1)А) частная сумма рядапроиэведения.
Поэтому Ь вЂ” это сумма всех членов степени выше т по А в произведении Я (1А)Я (лА). Но все коэффициенты произведении много- членов с неотрицательными коэффициентами неотрицательны. По лемме ЕЬ (СА, лА)Л < Ь (С1АЗ, 3лАЕ). Обозначим неотрицатель- НЫЕ ЧИСЛа Е1АД, ЦЛАЦ ЧЕРЕЗ т, В. ТОГда Ь,„(т, В) = 8,„(т)Я, (В) — Б„,(т -Ь О). Поскольку е е = е" +, праван часть стремится к О при т -+ сс. Итак, !пп Ьж(1А, лА) = О и соотношение (1) доказано. Для доказательства соотношения (2) продифференцируем ряд ел' по 1 формально; получим ряд из производных Этот ряд сходится абсолютно и равномерно в любой области ОАО < сс, ф < Т, так же как и исходный ряд.
Поэтому производнан суммы ряда существует и равна сумме ряда из производных. Теореме доказана. Злдлчл 1. Верно ли, что е ~~ = елее? Отнят. Нет. Злдлчл 2. Докажите, что йссе ~ О. Указание. е = (е ) Злдлчл 3. Докажите, что если оператор А в евклидовом пространстве кососимметрический, то оператор е — ортогональный.
л 2. Основная теорема теории линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Из доказанной теоремы непосредственно вытекает формула для решения линейного уравнения (3) ш=Аш, шей . Теорема. Решение уравнения (3) с начальным условием ~р(0) = шо есть (4) 180 Глава Я ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно формуле дифференцирования 12) Аг~.4щ = А1р(1). дА Итак, ~р -- решение. Поскольку се = Е, 1о(0) = хо. Теорема доказана, так как по теореме единственности всякое решение в своей области определения совпадает с решением (4). 3.
Общий вид однопараметрических групп линейных преобразований пространства И". Теорема. Пусть (Лг: В" -+ Ве) — одяопарамвтричесаая группа линейных преобразований. Тогда существует линейный оператор А: П" — ь П" такой, что уг = слг. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Положим А = — ~ =!1ш дг !г=о г- о Мы уже доказали, что движение р(1) = угхо — это решение уравнения 13) с начальным условием 1о(0) = аз. Согласно (4) угхо = с~~хо, что и требовалось. Оператор А называют производящим опврап|ором группы (8"). Злдлчл 1. Докажите, что производящий оператор определен группой однозначно. ЗАмечлние. Таким образом, имеется взаимно однозначное соответствие между линейными дифференциальными уравнениями (3) н их фазовыми потоками 18з); при этом фазовый поток состоит из линейных диффеоморфизмов. 4.
Второе определение экспоненты. Теорема. Пусть А: И -+ Ра — линейный оператор. Тогда гл 11га ЕЬА 15) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим разность - (г,—,",) =г (, '=„) л . 181 З 15. Свойства экспоненты (Ряд сходится, так как (Е+ — ) многочлен, а ряд ел сходится.) Заметим, что коэффициенты разности неотрицательны: 1 т(тп — 1)...
(тп — 1+1) 1 — ) йт тп ти °... ° тп И ' Поэтому, полагая ОА!) = о, находим Г СА1 ти~ 2 ~йт ь~ = ~ т! ь=о Последнян величина стремится к 0 при тп -+ со, и теорема доказана. 5. Пример: формула Эйлера для ек. Пусть С комплексная прямая. Мы можем рассматривать ее как вептественвую плоскость К, а умножение на комплексное число з — как линейный оператор А: Вз — > эт~. Оператор А есть поворот на угол ага з с растяжением в (з) раз. ЗАдлчк 1. Найти матрицу умножения на э = п + тв в базисе ет = 1, Отнят. ( ) . агц (1 + — ) = 1тп — + о ( — ), 16) ~"-' =""в-'"(~) 1пт— з и Оператор (Е + †„~ есть поворот на угол Ах" оагй (1+ ~~) с растяжением в 1+ ~~ раз.
Из формул 16) находим пределы угла поворота и коэффициента растяжения: Рис. 110. Комплексное число 1-Ь э/и Птп оагй (1 + — 1 = 1птз, 1пп ~1 + — = е ' ~. и-эаа Пт ' „, ~ и Найдем теперь е~. По формуле 16) надо вначале составить оператор Е + — „. Это — умножение на число 1 + —. т.е. поворот на А э угол агй (1+ ~~) с растяжением в 1+ ~~ раз 1рис, 110).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
