Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 27
Текст из файла (страница 27)
х1 дха Отличие от линейного уравнении только в том, что коэффициенты а и Ь могут зависеть от значения неизвестной функции. 2 11. Лияейссые и кваэилияейкые уравнения первого порядка 145 Злдлчл 1. Построить график решении в момент С, если и = агсстбх при С = О. Ркшинип. Пиффеоморфизм плоскости (х, и) с-с (к+ ой и) сдвигает каждую прямую и = соовС вдоль оси х на и1 и перенодит графин решения в момент 0 в график решенин н момент С (этот диффеоморфизм есть не что иное, как преобразование фазового потока уравнении Ньютона для частиц; плоскость (х,и) — фазовая плоскость частицы). Рис. 89. График решения получается из графика начального условии действием фазового потока Ответ.
См. рис. 89. ЗАМЕЧАНИЕ. При 1 )~ л/2 гладкого решении не существует. Начиная с этого момента, частицы сталкиваютсн. и предположение об отсутствии взаимодействии между ними становитсн физически нереалистическим. В этих условиях движение среды описывают так называемые ударные волны-- разрывные решения, удонлетворяющие уравнению левее и правее разрыва и удовлетворнющие на разрыве дополнительным условиям физического происхождения (зависящим от характера взаимодействия при столкновении частиц). ЗАдАчА 2.
Составить уравнение эволюции поля скоростей среды из не- взаимодействующих частиц в силовом поле с силой г (х) в точке х. Отнят. ис -~-ии, = г. ЗАдАчА 3. Решить это уравнение с начальным условием сс)с=э = 0 длн силы г(х) = — х. Решение. Фазовый поток состоит из поворотов, поэтому график и(С, .)— прнман с углом наклона -С. Отзнт. в(С, х) = — х 18 й ф < к/2. 10 Заказ увИ17 Пример. Рассмотрим одномерную среду из частиц, движущихся по прямой по инерции, так что скорость каждой частицы остается неизменной. Обозначим скорость частицы, находящейся в момент 1 в точке х,, через и(1, т).
Запишем уравнение Ньютона: ускорение частицы равно нулю. Если х = ср(1) — движение частицы, то ср = и(1, ср(1)), и ср' = — ф — ср = — + и —. Итак. поле скоростей среды. из неды ди ди ди И дх дз дх' взаимодействующих частиц удовлетворяет квазилинейному уравнению ос+ни =О. Глава 3 Злдлчл 4. Найти максимальную ширину полосы О < 1 < С, а которой существует решение уравнения ию -~- ии, = швх с начальным условием иЬ=о = О.
Отввт. С = к/2. 5. Характеристики квазнлннейного уравнения. Разобранный пример показывает, как полезно перейти от уравнения с частными производными для поля скоростей к обыкновенным уравнениям движения частиц среды. Нечто аналогичное можно сделать и в случае общего квазилинейного уравнения первого порядка. Уравнение Х„~. шиди = Ь(х, и(х)) означа- ет, что если точка х выходит из хо со скорос"А0 тыо ао = а(хо, ио), где 'ао = и(хе), то значеи (х и) ние и(х) начинает меняться со скоростью Ьо = = Ь(хо, ие) (рис.
90). Иными словами, прилою женный в точке (хс, ие) вектор Ао нрнмого а0 произведения х-лространства и оси и, с ком- р 90 1 понентами ао и Ье, касается графика решении. ис. 90. еометрическин смь1( л 1 вазиля Пус ь о Ф О. кейкого уравнения. Определение. Прямая направления вектора Ао называется характеристическим направлением квазилинейного уравнения в точке (хо~ио). Характеристические направлении во всех точках области определенин коэффициентов уравнения образуют поле направлений.
Это поле называется характеристическим полем направлений уравнения. В координатной записи характеристические направления -- это направления векторов поля А = ~~~ оь(х, и) + Ь(х, и) †. д д дхь ' да' Дифференциальное уравнение, заданное полем характеристических направлений, называется уравнением характеристик, а его интегральные кривые — характеристиками. Таким образом, характеристики нвляются фазовыми кривыми векторного поля А. Злдлчл 1. Найти характеристики уравнения среды из неазаимодействующкх частиц, ию -~- иик = О. 2 11.
Линейные и коазиликеакые уравнения первого порядка 147 прямые т. = хо -Ь иой Рвшвник. х = и, 1 = 1, и = О. Характеристики и = но. ЗАмечлние 1. Линейное уравнение частный случай квазилинейного, но характеристики линейного уравнения, рассматриваемого как квазилинейное, отличаются от его характеристик как линейного уравнения: первые лежат в 1х, и)-пространстве, а вторые — их проекции ах-пространстве. ЗАМЕЧАНИЕ 2. Квазилинейные уравнения сохраняют квазилинейный вид при диффеоморфизмах х-пространства и даже при диффеоморфизмах пространства-произведения, где определены его коэффициенты а и Ь.
Характеристики инвариантно связаны с уравнением: если такой диффеоморфизм переводит старое уравнение в новое, то характеристики старого переходят в характеристики нового. Более того, уравнение можно умножить на не обращающуюся в нуль функцию от х и и — при этом ни решения. ни характеристики не меняются 1хотя векторное поле А меняется). Зьдьчь 2.
Докажите, что квазнлннейное уравнение приводится подходящим локальным днффеоморфнзмом прострлнства-произведения к стандартному виду ди/дхь = О в окрестности любой точки 1х, и), в которой значение а ненулевое. 6. Интегрирование квазилинейного уравнения. Уравнение характеристик длн уравнения 2' оьдн/дхь = Ь принято записывать в так называемом симметричном виде дх1 дхп ь)н о1 ''' = а„Ь: выражающем коллинеарность касательной к характеристике с характеристическим вектором (эти соотношения означают равенство 1-форм на векторах, касающихся характеристики, если знаменатели отличны от нули).
Определение. Поверхность называется интегральной поеерхностью поля направлений, если направление поля в каждой точке лежит в ее касательной плоскости. Теорема. Чтобы гладкая поверхность была интегральной поверхностью гладкого поля направлений, необходимо и достаточно, чтобы Глава Л каждая интегральи я кривая, имеющая с поверхностью общую точку, целиком на ней лежала. ДокАзАтельство. По теореме о выпрямлении поле можно диффеоморфизмом превратить в поле параллельных прямых. Для такого поля теорема очевидна.
Из определения характеристического направлении вытекает Теорема. Функция и тогда и только тогда является решением квазилинейного уравнения, когда ее график является интегральной поверхностью поля характеристических направлений. Из двух последних теорем непосредственно вытекает Следствие. Функция и тогда и только тогда является решением квазилинейиого уравнения, когда ее график содержит вместе с каждой своей точкой интервал характеристики, проходящей через эту точку.
Таким образом, нахоясдение решений квазилинейного уравнении сводится к нахождению его характеристик. Исли характеристики известны, то остается лишь составить из них поверхность, явлнющуюся графиком функции: эта функция будет решением квазилинейного уравнения, и все решении получаются этим способом. Злдлчл 1. Доказать, что задача Коши для квазилинейного уравнения первого порядке имеет решение и притом только одно е достаточно малой окрестности такой точки ае начальной гнперповерхности н для такого начального условна, что вектор а(эе,и(ке)) не касается начальной гиперпоеерхности.
ЗАмечАние. В отличие от линейного уравнения, для кеезилинейного уравнения нельзя говорить о характернстичностн самих точек начальной гиперповерхности: будет данная точка характеристической илн нет зависит также н ет начального значения. 7. Нелинейное уравнение с частными производными первого порядка. Как и линейные или квазилинейные уравнения, нелинейные уравнения самого общего вида, г'(т, ди/дк, и) = О. интегрируются при помощи характеристик. Но если характеристики линейного уравнения относительно функции в К" лежат в И", а квазилинейного — в (и+1)-мерном пространстве И" х И, то характеристики общего нелинейного уравнения являются кривыми в (2п+1)-мерном пространстве 1-струй функций, на котором определена задающая уравнение функция г'.
З11. Линейные и иеаз лииейиые ураеиеиии первого порядка 149 Определение. Пространством 1-струй функций от х = (ты..., х„) называется (2н+ 1)-мерное пространство с координатами (хы..., хо; ры..., р„; у). 1-струн функции и в точке х -- это точка этого пространства с координатами (х,, р = ди/дх,, у = и(х)). Множество 1-струй функции и во всех точках х ее области определения называется 1-графиком этой функции. Уравнение Е(х, дн/дх, и) = О определяет в пространстве 1-струй гиперповерхность Е, где Г(х, р, у) = О. Решение уравнении Г = О— это функция, 1-график которой принадлежит гиперповерхности Е. Мы будем предполагать, что вектор производных Ер (с компонентами дЕ/др;) отличен от нуля: без этого требования уравнение могло бы вовсе не содержать ди/дх и не было бы дифференциальным.
Из условин Ер ф О вытекает, что гиперповерхность Е гладкан (по теореме о ненвной функции). Самая трудная часть теории нелинейного уравнения с частными производными первого порядка — придумать следующее Определение. Характеристиками уравнения Е = О называются фазовые кривые следующей трудно запоминаемой системы дифференциальных уравнений на гиперповерхности Е в пространстве 1-струй: у = рЕр. х = Гр, Злдлчл 1. Докажите, что фазовая крнван этой системы, начинающаяся на гнперповерхностн Е, целиком лежит на Е. Рвшкник. Е = Е х+ Е,р+ эру = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
