Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 26
Текст из файла (страница 26)
ЗАДАЧА 3. Докажите, что при движении в любом центральном поле в трехмерном пространстве каждая из компонент векторного произведения [т, т) нвляется первым интегралом («закон сохранения момента количества движенияз). Злдлчл 4. Докажите, что если функция Гамильтона не зависит от ф, то р«первый интеграл уравнений Гамильтона. Злдлчл б.
Предположим, что каждое решение уравнения х = е(К х) с и-мерным фазовым пространством можно продолжить на всю ось С. Докажите, что такое уравнение имеет во всем расширенном фазовом пространстве и функционально независимых первых интегралов (зависящих от времени), через которые все его (занисяшие от времени) первые интегралы функционально выражаютсн. й 11. Линейные и квазилинейные уравнения первого порядка с частными производными Уравнения с частными производными изучены гораздо хуже, чем с обыкновенными. Теорию одного уравнения с частными производными первого порядка удается свести к исследованию специальных обыкновенных дифференциальных уравнений, так называемых уравнений характеристик.
Сущность связи между уравнением с частными производными и уравнением характеристик состоит в том, что движение сплошной среды можно описывать как с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений движения ее частиц, так и с помощью уравнения с частными производными для поля. Ниже подробно разобраны » 11. Липейпые и поаэилипейпые уравнения первого порядка 141 простейшие частные случаи линейных и таь называемых квазилинейных уравнений с частными производными первого порядка и также приведен рецепт решения общего ураввения.
1. Линейное однородное уравнение. Определение. Линейным однородным уравнением первого порядка в области Г называется уравнение /,у = О, где а -- известное векторное поле в области Г, а и — неизвестная функция. В координатах оно имеет вид а»ди/дх, -Ь ° + а„до/дхп = О, аь = а»1хы.... х„). Фазовые кривые векторного поля а называются характеристиками уравнения / пи = О. Уравнение т = а(х) называется уравнением характеристик. ЗАМЕЧАНИЕ. Прилагательное «характеристический» в математике всегда означает «связанный инвариантно» 1в данном случае инвариантно относительно выбора системы координат). Так, характеристическая подгруппа группы — это подгруппа, переходящая в себя при всех автоморфизмах группы, характеристическое уравнение матрицы оператора не зависит от выбора базиса, характеристические классы в топологии переходят в себя при диффеоморфизмах и т.
д. Характеристики уравнения /, и = О связаны с ним инвариантно относительно диффеоморфизмов: если диффеоморфизм переводит старое уравнение в новое, то он переводит характеристики старого уравнения в характеристики нового. Можно даже вдобавок умножить поле а на не обращающуюся в нуль функцию — это не изменит ни решений, ни характеристик уравнения. ЗАдпчп 1. Найти характеристики уравнения ди/дх = у ди/ду.
Рвшение. х=1, у= — у; у=Се '. Теорема. Функция и яа«яется решением уравнения Х„и = О, если и только если оиа является первым интегралом уравнения характеристик. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Это определение первого интеграла. Несмотря на очевидность этой теоремы, она очень полезна, так как решать обыкновенное уравнение характеристик легче, чем решать исходное уравнение с частными производными. 142 Глава 8 Злдлчл 2. Решить уравнение задачи 1. Рвшвнив. и = уе' — решение, всв решения исчерпываются функцннмн от этого.
ЗАдАчА 3. Решить уравнение уди/дх = хди/ду нв всей нлосвостн. Отввт. Решеннн — функции от х + у . 2 2 Злдлчл 4. Исчерпыввютсн лн решении уравнения хда/дх = у до/ду нв Н функциями от ху? Отввт. Нет, существует решение, для которого и11, 1) Г'- и1 — 1, — 1). 2. Задача Коши. Определение. Задачей Коши для уравнения Г„и = О называется задача об определении функции и по ее значениям на данной гиперповерхности (гиперповерхностью в К" называется (и — 1)-мерная поверхность. Например, в случае и = 2 гиперповерхность есть кривая. при н = 3 обычная поверхность). Заданная гиперповерхность называется начальной гипврповерхностью, а задание на ней искомой функции начальным условием, и~ = вз.
Функция д называется начальной функцией. она задана на начальной гиперповерхности. Задача Коши не всегда имеет решение. Действительно, вдоль каждой характеристики значение и постоннно. Но характеристика может пересекать на- 7 чальную поверхность несколько раз 1рис. 88). Если у значения начальной функции в этих точках различ- ны, то соответствующая задача Коши не имеет реРнс.
88. Нераз- шенин ни в какой области, содержащей указанную решимвя зада- характеристику. чв Коши Определение. Точка на начальной гиперповерхности называетсн нехарактеристичесной, если характеристика, проходящая через эту точку, трансверсальна 1не касательна) к начальной гиперповерхности. Теорема. Пусть х — нехарантвристическая точна на начальной гипврповврхности.
Тогда существует такая окрестность точки х, что задача Коши в этой окрестности имеет решение„и притом только одно. 2 11. Лиявйныв и квазиликейныв уравнения первого порядка 143 ДОКАЗАтельстВО. По теореме о выпрямлении можно выбрать координаты в окрестности точки х так, что поле а будет иметь компоненты (1, О..., О), а начальнан гиперповерхность примет вид хз = О. В этих координатах задача Коши принимает вид ди/дхз = О,и~, — о = »о. Единственное в выпуклой области решение: и(хы ...,х„) = у(хз,...,х„).
ЗАДАЧА 1. Решить задачу Коши и)„=о = в!пу для уравнении ди/дх = = у до/ду. Решенив. На харантернстнке у = Се *; согласно начальному условию, и = вшС. ОтВет и = взв(е у)' ЗАДАЧА 2. Какие точки прямой х = 1 нвляются нехарактерястнчесянмн для уравнения у ди/дх = х ди/ду? ОтВет. у т'- О. Злдлчл 3. Имеет лн решение задача Коши а(, з = у длн этого уравнения на К н единственно лн решение? 2 Отвкт.
Решение существует, но не едннстненно. ЗАмечлние. Решения обыкновенного дифференциального уравнения образуют конечномерное многообразие: каждое решение задается конечным набором чисел (начальных условий). Мы видим, что у линейного однородного уравнении с частными производными первого порядка относительно функции от и переменных «столько решений„сколько существует функций от я — 1 переменныхм Аналогичное нвление имеет место и для общих уравнений с частными производными первого порядка. Причина становится ясной, если рассмотреть дифференциальное уравнение как предел разностных. Те же соображения подсказывают, что для уравнении с частными производными второго порядка нужно задавать на начальной гиперповерхности две функции (значения решения и его производной по трансверсальному начальной гиперповерхности направлению), и т.д.
Разумеется, эти соображения не заменнют доказательств соответствующих теорем существования и единственности решений. Эти доказательства можно найти в учебниках по теории уравнений с частными производными, например, в книге Р. Куранта и Д. Гильберта, «Методы математической физики» (Мл Гостехиздат, 1951). 144 Глава Я 3. Линейное неоднородное уравнение. Определение. Линейным неоднородным уравнением первого порядка в области г/ называется уравнение / ки = Ь, где а — заданное векторное поле, Ь вЂ” заданная функции, и — — искомая функция в области С. В координатной записи: аг ди/дхг + ° ° + пади/дт,„= Ь.
где аь и Ь— известные функции от хы..., х„. Задача Коши ставитсн так же, как для однородного уравнения. Теорема. В достаточно малой окрестности любой нехарактеристической точки начальной поверхности решение существует и единственно. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Производная неизвестной функции по времени движения вдоль характеристики известна (равна Ь), поэтому ее приращение вдоль отрезка характеристики равно интегралу от Ь па времени движения вдоль этого отрезка. Например, если а1 ~ 0 в изучаемой точке, то указанное приращение равно ( Ь/аг йхг вдоль отрезка характеристики.
ЗАДАЧА 1. РЕШИТЬ ЗэдаЧу КаШИ ГЬ~з=а = яоу дЛИ ураЭИЕИИК ди/дт = = уди/ду+ у. Решение. При изменении и са скоростью 1 значение и на характеристике у = Се меииетсн са скарастыа Се *. Следовательно, приращение и вдаль этой характеристики при изменении х ат О да Х равно С(1 — е «). Точке (Х, Р) лежит иа характеристике, где С = е«1. В этой тачке и = япС+ С(1 — е ).
Отввт. и = яп(с*у) + у(е' 1). 4. Квазнлннейное уравнение. Определение. Кваэилинейным уравнением первого порядка называется уравнение Г, и = /1 относительно функции и, где сх(х) = а(х, и(х)), ф(х) = Ь(х, и(х)). Здесь а — векторное поле в х-пространстве, зависнщее от точки оси и, как от параметра, Ь функция в т;пространстве, также зависящая от точки оси и, как от параметра. В координатной записи уравнение имеет вид аг(х, и) + ° + ав(х, и) и = Ь(х, и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
