Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 29
Текст из файла (страница 29)
критическая точка 0 — максимум потенциальной энергии (рис. 97)). В этом случае линии уровня энергии гомотетичные гиперболы с центром в 0 и пара их асимптот: хз — — х~!Йхы Эти асимптоты называются также сепаратрисазки, так как они отделяют друг от друга гиперболы разных типов. х, Рис. 97. Линии уровня энер- гии для прнтпгнввющего и отталкивающего квадратич- ных потенциалов ЗАМЕЧАНИЕ 2. В окрестности невы- рожденной критической точки приращение функции является квадратичной форлзой, если только надлежащизн образом вы- ьебе леммы можно распространить на функции мнегнх переменных.
брать координату. Точка 0 является критической точкой дифференцируемой функции 7", если Г'(0) = О. Критическая точка 0 невырождена, если уо(0) ф О. Предположим, что з (О) = О. Лемма (Морса1). В окрестности невырожденной критической точки 0 можно выбрать координату у так, что 7" = Суз, С = зап То(0). Такой координатой будет, конечно, у = лап х,Я(х) ~. Утверждение состоит в том, что соответствие х в-ь у в окрестности точки 0 диффеоморфно. Для доказательства удобно воспользоваться следующим предложением: Лемма (Адамара). Пусть 7' дифференцируельая (класса С") функция, равная в точке х = 0 нулю. Тогда 7(х) = ху(з:), где я дифференцируемая ( ласса С' ' в окрестности точки х = 0) функция.
ДокАзАтельство. Имеем 1 ь У(х) = / дй = / ~'(Ет)хй1 =х ~ ~'(8х)д1; Г ЦГ($х) Г, / дй о о о функция б(х) = )'У'(сх) а1 класса С' ', и лемма доказана. о Применим лемму Адамара к функции 7" леммы Морса дважды. Нвходим )' = ххах), где 2у(0) = То(0) ~ О. Итак, у = хор(х)). Лемма З12. Консервативная система с одной степенью свободы 157 хз Морса доказана, так как функция Ь/Гф х) ~ в окрестности точки т. = 0 дифференцируема (и — 2 раза, если /' класса С').
1 Таким образом, линии уровня энергии в окрестности невырожденной критической точки превращаются либо в эллипсы, либо в ги- Рис. 98. Касательные к перболы при диффеоморфном изменении систе- сена вт исвм птталкимы координат (хы хз). ЗАДАЧА 1. Найти касательные к сепаратрнсам отталкивающей аспйпй точки (Гп(С) < О). Откат.
хз = ~ь/(Гз(чИ(хз — ~) (рис. 98). 5. Продолжение решений уравнения Ньютона. Пусть потенциальнан энергия определена на всей оси х. Из закона сохранения энергии непосредственно вытекает Теорема. Если потенциальная энергия Сг всюду палвжительнаг, тв каждое решение уравнения г(1/ (1,) г/х лрвдолжается неограниченно. Прнмвр 1. Пусть Н = — х~/2. Решение х = 1/(г — 1) нельзя продолжить дп 1 = 1. Установим сначала следующее утверждение, называемое априорной оценкой: Лемма. Если решение существует при ф < т, то пнв удввлетваряет неравенствалг )х(1)! < т/2Ев, )х(1) — х(0)( < т/2Ео)1), где х(0) з Ев = + г/(х(0)) начальное значение энергии. 2 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Согласно закону сохранения энергии т((1)г ~(х(ь)) — 0~ и поскольку Г > О, первое неравенство доказано. Второе неравенство вытекает из первого, так как х(1) — х(0) = )х(У)дд. Лемма доказана. о Резумеетеи, изменение потенциальной энергии гг из иеистзиту ие мениет урзв- иеиии (1з). Существенно лишь, чте ГГ ограничена снизу.
108 Глава В ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЬЬ Пусть Т вЂ” произвольное положительное число. Рассмотрим прямоугольник П (рис. 99) на фазовой плоскости )ш1 — ш1(0)! < 2А/2ЕОТ, ~шз~ < 2,/2Ео. Рассмотрим в расширенном фазовом пространстве (ты шз, 1) параллелепипед ~Ц < Т, (шы шз) с П. По теореме о продолжении решение можно продолжить до границы параллелепипеда.
Из леммы следует, что решение может выйти лишь на те грани параллелепипеда, где ф = Т. Итак, решение можно продолжать до любого 1 = АТ, следовательно, неограниченно. Рис. 99. Прямоугольник, откуда фазовая точка не выйдет зв время Т Злдлчл 1. Доказать неограниченную продолжаемость решении системы уравнений Ньютона , Ж, он > О, а б Н, в случае положительной по- Ж иий;= — — 1=1... д77 да; тенциальной энергии (77 > О). 11(а)=ПЯ=Е, 77(х)<Е приа<х<Ь. 6. Некритические линии уровня энергии. Предположим, что потенциальнан энергия 7г определена на всей оси т,. Пусть Š— некритическое значение энергии, т.е.
Е не равно значению функции 77 ни в одной из ее критических точек. Рассмотрим множество точек, где значение 77 меньше Е, (з;: 77(т) < Е). Это множество (рис. 100) состоит из конечного или счетного числа интервалов, так как функция 77 непрерывна (два из этих интегралов могут простираться в бесконечность). На концах интервалов 77(ш) = Е, следовательно, 77'(ш) ф 0 (так как Š— некритическое значение). Каждан точка множества (ло о(т) < Е) является по этой причине концом ровно одного интервала меньших значений. Поэтому все множество (ш: 77(ш) < Е) есть объединение не более чем счетного числе попарно непересекающихсн отрезков и, быть может, одного или двух уходнщих в бесконечность лучей, или же совпадает со всей осью ш.
Рассмотрим (рис. 101) один из таких отрезков, а < ш < б, Ь 12. Консервативная система с одной степенью свободы 159 Рнс. 100. Множество точек х, где Г(х) < Е Рис. 101. Фазовая кривая, днффеоморфная окружности хг 11 Теорема. Уравнение — г + Ьс(хг) = Е, а < хг < Ь, задает на лоскости (хм хе) гладкую кривую, диффеоморфную окружности. х 1 Эта, кривая является фазоеой кривой системы 12). Аналогичным образом, луч а < х < зс (или — сс < т. < Ь), где Щст) < Е, является проекцией фазоеой кривой, диффеоморфной нс 102' азоваЯ кРиваЯ' диффеоморфная прямой прямой линии. на ось хь 1рнс.
102). Наконеи„ в случае. если 1)(х) < Е на всей прямой. множество уровни Е состоит из двух фазовых кривых =* (е(е — е(, )). (3) Итак, множество некритического уровня энергии состоит из конечного или счетного числа гладких фазовых кривых. Т. Доказательство теоремы п. 6. Закон сохранения энергии позволнет явно решить уравнение Ньютона. Действительно, при фиксированном значении полной энергии Е величина 1но не знак) скорости х, определяетсн положением х) Глава 2 а зто — уравнение с одиомернмж фазовым пространстиом, которое мы уже умеем решать. Пусть (тс, щз) точка нашего множества уровня, причем тз > 0 (рис. 103).
Решение у уравнении (1) с начальным условием со(1о) = тсы 1Ь(1о) = щз ищем из соотношения (3): ер) %л — вез (4) для 1, близких к 1о з...,......~,, „...,.о.. —, = / .ж-., ял — взв так как Г'(а) ф О, Г'(Ь) ф О. Отсюда следует, что формула (4) задает непрерывную на некотором отрезке 1с < 1 < 1з функцию д, причем у(1~) = а, ~р(1з) = Ь. Эта функция везде удовлетвориет уравнению Ньютона (рис. 104).
Рис. 103. Половину фазовой кривой (от а до Ь) фвзоввя точка проходит зв конечное время Т/2 = сз — тс Рис. 104. Продолжение решение уравнения Ньютона с помощью отражений Интервал (1~,1з) имеет длину Т/2. Продолжим у на следующий интервал длины Т/2 из соображений симметрии: ~р(8з + т) = оо(1з — т), 0 < т < Т/2, и далее периодически: ~р(1+ Т) = ~р(1). Функция ~р, построенная теперь на всей прямой, всюду удовлетворнет уравнению Ньютона. Кроме того, 1о(1о) = зн, 1Ь(1о) = щз. Итак, мы построили решение системы (2) с начальным условием (щс, щз).
Оно оказалось периодическим, с периодом Т. Соответствующаи замкнутан фазован криван есть в точности часть множества уров- 212. Консервативная система с одной степенью свободы 161 нн Е над отрезком а < ю < Ь. Эта кривая диффеоморфна окружности, как всякая замкнутан фазовая криван (см. 2'9). Случай, когда интервал простирается до бесконечности (в одну сторону или в обе), проьце рассмотренного и предоставляется читателю. 8. Критические линии уровня.
Критические линии уровни могут быть устроены более сложно. Заметим, что такая линия содержит неподвижные точки (юы юз) (где Сг'(юз) = О, тз = 0), каждан из которых уже явлнетсн фазовой кривой. Если на отрезке а < ю < Ь всюду св(зз) < Е, кроме С(а) = Св(Ь) = Е, и оба конца критические точки (с7'(а) = Ь7'(Ь) = 0), то две открытые дуги (рис. 105) ; = ь,/гЮ:в~ .Л. ° *, ь,'.
° -. ь--. ° ., ° . в,.- мн, затрачиваемое фазовой точкой на прохождение такой дуги, бесконечно (теорема продолжения из п. 5 + единственность). Рнс. 105. Разбиение критической линии уровня знергин на фазовые кривые Если Сг'(а) = О, Сг'(Ь) ~ 0 (рис. 105), то уравнение определяет незамкнутую фазовую кривую. Наконец, если СГ'(а) ф О, Г'(Ь) ~ 0 (рис. 105), то часть множества критического уровня над отрезком а < хз < Ь вЂ” замкнутая фазовая криван, как в случае некритического уровня Е. 9. Пример. Применим все сказанное к уравнению мантнкка Оотенцнальная энергия равна 77(в) = — солю (рис.
106). Критические точки: юз = Ья. Ь = О. Ы, ... 11 Заказ ьвИ17 162 Глаза 2 Замкнутые фазовые кривые вблизи,'л~ = О, кз = 0 похожи на эллипсы. Этим фазовым криным соответствуют малые качания маятника. Их период Т мало зависит от амплитуды, пока она мала. При больших значениях постоянной энергии получаются большие замкнутые кривые, пока энергия не достигнет критического значения, равного потенциальной энергии маятника, перевернутого вверх ногами. Период колебаний при этом растет (так как времн движенин по сепаратрисам, из которых Рис.
106. Фазовые кривые уравнесостоит критическое множество уровнин мантника нн, бесконечное). Большим значенинм энергии соответствуют незамкнутые кривые, на которых кз не меняет знака, т.е. маятник не качаетсн, а вращается. Его скорость достигает наибольшего значения в нижнем. а наименьшего — в верхнем положении. Заметим, что значения кы отличаюшиесн на 2)ск, соответствуют одинаковым положениям маятника. Поэтому фазовым пространством маятника естественно считать не плоскость, а цилиндр (кд шод 2к, кз) (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
