Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Образ отображения  — это все пространство С'. Ибо по теореме существовании существует решение уг С Х с любыми данными начальными условиями ше. Ядро отображения В нулевое. Ибо по теореме единственности начальные условия ~ре — — 0 определяют решение (д = 0) однозначно. Итак. В изоморфизм. Теорема доказана. гмы заранее лилем, что всл решении уравнения (2) бесконечно диффереицируеыы, т.е. принадлежат и (см.
г25,4). 254 Глава Я Следствие. Пусть Л, ..., Ль корни характеристического уравнения а(Л) = О дифференциального уравнения (2) и иг, ..., иь их кратносгпи. Тогда каждое решение уравнения (2) единственным ойразолг записывается е виде (1) и каждая сумма кеазимногочленов вида (1) удовлетворяет уравнению (2). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Формула (1) задает отображение Ф: С" — Г Т', сопоставляющее набору п коэффициентов сьт функцию Г'.
Это отображение линейно. Его образ содержит пространство Х решений уравнения (2). Ибо согласно з 25 каждое решение уравнения (2) записывается в виде (1). По теореме размерность пространства Х рвана п. Линейное отображение пространства С" на пространство Х такой же размерности есть изоморфизм. Поэтому Ф осушествляет изоморфизм С" и Х. Это и есть утверждение следствия. 3. Инварнантность относительно сдвигов. Теореме.
Пространство Х решений дифференциального уравнения (2) инвариантно относительно сдвигов, переводящих функцию ~р(г) е чз(г + 8). Действительно, сдвиг решения будет решением, как и для всякого автономного уравнения (ср. 2 10). Примеры надпространств пространства Г, инвариантных относительно сдвигов: Пгимег 1.
Одномерное пространство (сем). Пгимег 2. Пространство квазнмногочленое (емр<„(1)) размерности и,. Пгимвг 3. Плоскость (сг сое ыг + сз еш юг). Пгимег 4. Пространство (р<к(г)соеыг+д< (г)е1пыг) размерности 2п. Можно показать, что всякое конечномерное надпространство пространства г, инввриантное относительно сдвигов, есть пространство решений некоторого дифференциального уравнения (2). Иными словами, такое надпространство всегда распадается в прямую сумму пространств квазимногочленов.
Этим и объясняется значение кзазимногочленов для теории линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Если какое-либо уравнение инвариантно относительно какой-либо группы преобразований, то при решении этого уравнения важную роль 255 126. О неаэимногочленаэ будут играть пространства функции, инвариантные относительно этой группы.
Таким путем в математике возникают различные специальные функции. Например, с группой вращений сферы связаны сферические функции конечномерные пространства функции на сфере, инвариантные относительно вращений. Злдлчл *1. Найти все конечномерные подпространства пространства гладких функций на окружности, иивариантные относительно вращений окружности. 4. Историческое замечание. Теория линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами была создана Эйлером и Лагранжем до того.
как была построена жорданова нормальная форма матриц. Рассуждали они следующим образом. Пусть Лы Лз — два корня характеристического уравнения. Им соответствуют решения ел", сл'г, на которые в пространстве г натягивается двумерная плоскость (стел'г + сзсл'г) (Рис. 182). ПУсть тепеРь УРавнение менЯетсЯ так, что Лз приближается к Лы Тогда ел" приближаетсн к ел" и при Лг = Лл плоскость вырождается в прямую. Возникает вопрос: не существует ли предельного положения плоскости, когда Лг -> Лэ? егА А э' е'э К НЧ о У 1птА Рис. 182. Предельное положе- Рис. 183.
Ядро и образ оператора А ние плоскости натянутой на две экспоненты Вместо ел'г и сл'г в качестве базиса можно взпть (пРи Лз ~ Лл) ел,г и сл,г ел,г Но ел,г ел,г (Л Л )1ел,г Навис нашей плес кости (ел'г, (ел'г — ел")/(Лз — Лл)) пРи Лз — э Лэ пеРеходит в базис (ел'г, 1сл' ) предельной плоскости.
Поэтому естественно ожидать, что решения предельного уравнения (с кратным корнем Лз = Лл) будут лежать в предельной плоскости (слез" + сгбел"). Когда формула написана, ее можно проверять подстановкой в уравнение. 3бб Глава Я Таким же образом объясняетсн возникновение решений гьем (к ( и) в случае о-кратного корни. Приведенные рассуждения можно сделать вполне строгими (например, сославшись на теорему о дифференцируемой зависимости решений от параметра).
5. Неоднородные уравнения. Пусть А: Х~ — ь Ьз — линейный оператор. Решением неоднородного уравнения Ак = Г" с правой частью 1 называется всякий прообраз к Е Г,1 элемента Г' Е Рз (рис. 183). Всякое решение неоднородного уравнения есть сумма частного решения кз и общего решения однородного уравнения Ак = 0: А ~1 = кг + КегА. Неоднородное уравнение разрешимо.
если Г принадлежит линейному пространству 1шА = А(1г) ~ Рз. Рассмотрим, в частности, дифференциальное уравнение кбй + ага~" ~ +... + аот = 111) (линейное неоднородное уравнение и-го порядка с постоянными коэффи- циентами). Теорема. Пусть правая часть 11г) уравнения (3) есть сумма квазимногочленов. Тогда всякое решение уравнения (3) является суммой квазимногочленов.
Рассмотрим пространство С™ всех квазимногочленов См = зе р< (г)) степени меньше т с показателем Л. Линейный оператор Р (переводящий вснкую функцию в ее производную) переводит Ст в себн. Поэтому оператор А = а(Р) = Р" + аьР' ' +... + а„Е: См — ь С"' также явлнетсн линейным оператором из С™ в себя.
Мы можем теперь записать уравнение (3) в виде Ак = Г". Для исследования его разрешимости нужно найти образ 1гпА = А(С ) отображения А. 257 Ь 26. 0 квазимногочленах Лемма 1. Пусть Л не корень характеристического уравнения, т. е. а(Л) ~ О. Тогда А: С™ — ь С изоморфизм. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Матрица оператора В: С вЂ С в подходящем базисе жорданова клетка с Л на диагонали. В том же базисе оператор А имеет треугольную матрицу с а(Л) на диагонали. Итак, де1А = (о(Л)) ф О и А — изоморфизм. Следствие.
Если Л вЂ” не корень характеристического уравнения, то уравнение (3) с правей частью в виде квазимногочлена степени меньше т с показателем Л имеет частное решение в виде квазимногочлена степени меньше т с показателем Л. Лемма 2. Пусть Л вЂ” корень характеристического уравнения кратности и, т. е.
а(г) = (г — Л) Ь(г), Ь(Л) ф О. Тогда АС™ = С™ м. ДОКАЗАТКЛЬСТВО. А = а(В) = ( — ЛЕ) Ь(В). Но лемме 1 Ь(В): Ст — ~ С"' — изоморфизм. Остается показать, что ( — ЛЕ)'С™ = С™ Р. Но матрица оператора  — ЛЕ в базисе еь= — е~~, 0<й<ть й! является нильпотентной жордановой клеткой. т. е. зтот оператор действует на базис как сдвиг: Ос — ~ еа< — ~ езь-~ ... ~-~ е м Оператор ( — ЛЕ) действует как сдвиг на и мест и отпбражает С на С™ Р. Следствие. Пусть Л корень кратности и характеристического уравнения, и(Л) = О.
Пусть 1" с С вЂ” квазимного лен степени меньше й ь с показателем Л. Тогда уравнение (3) имеет решение у с С~ь в виде квазимногочлена с показателем Л степени меньше й+ и. Для доказательства нужно положить т = й+ и в лемме 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ. Рассмотрим множество Х всевозможных сумм квазимногочленов. Это — линейное бесконечномерное подпространство пространства Е.
НО предыдущему следствию образ А(Х) оператора А = а(В): Š— ь Е содержит все квазимногочлены. Будучи линейным пространством, 17 Заказ КаИ17 258 Глава Я .4(1,') совпадает с Е. Поэтому уравнение (3) имеет частное решение, являющееся суммой квазимногочленов. Остается добавить общее решение однородного уравнения. Оно является суммой квазимногочленов согласно 3 25. Теорема доказана. Действительно, по лемме 2 существует частное решение в виде квазимногочлена степени меньше к+ ьц но слагаемые степени меньше и удовлетворнют однородному уравнению (см. следствие п. 2), поэтому их можно откинуть.
ЗАмечАние 2. Если уравнение (3) н Л, вещественны, то решение можно искать в виде вещественного квазимногочлена. Если же Л = а х 1аз, то в виде с ~(р(1) соаш1+ д(1) з1пш1). При этом синус в решении может появиться даже и в том случае, когда в правой части был только косинус. Задача 1. В каном виде можно записать частные решенин следующих 13 уравнений: хАх=1: ах х =ге 3,4) хАх=е~~: 7, 8) х А- х = С~ щий 1, 2) 0) ххх =се'соей 11, 12) хА-21х =1~с'а1а 13) х' -~- 4х. = 1 е' сов 1? 9, 10) 6. Метод комплексных амплитуд. В случае комплексных корней обычно проще проводить вычисления следующим образом.
Пусть уравнение (3) вещественно и функции 1(1) представлена как вещественная часть комплексной функции, Г(1) = КеЕ(1). Пусть Ф— комплексное решение уравнения а(А1)Ф = г'. Тогда, нзяв вещественную часть, убеждаемся, что а(Ю)~р = Г', где ~р = КеФ (поскольку а = Вяа).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
