Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Итак, чтобы найти, решения линейного неоднородного уравнения с правой частью Г", достаточно рассмотреть 7" как вещественную часть комплексной функции Е, решить уравнение с правой частью г' и взять вещественную часть решения. ЗАмечАние 1. Если Г = емр<ь(1), то существует частное решение уравнения (3) вида 1з = 1'сх'д<ь(4). 259 2 26. 0 кеазпмногочленал Примнр 1. Пусть з"(1) = соэы1 = Все«г. Степень кназимногочлена г"(1) = с™ равна О, поэтому решение Ф можно искать в виде С1"ез"~, где С комплексная постоннная (которая и называется комплексной амплитудой),и кратность корня 1ш. Окончательно пз(г) Ве(С1псгиг) Если С = ге'", то ~р(1) = г1" сое(ыг+ У).
Таким образом, комплексная амплитуда С содержит информацию и об амплитуде (г), и о фазе (у) вещественного решения. Примвр 2. Рассмотрим поведение мантника (рис. 184) (или иной линейной колебательной системы, например груза на пружине или электрического колебательного контура) при воздействии внешней периодической силы: фбббб ЯИИф Ф+пг ш = Д1), )(1) = сов И = Все™ ХарактеристическоеуравнениеЛ +те=О имеет корни Л = *«пг. Если из ф гоз, то частное решение следует искать в виде Ф = Се«"г. Подставлян в уравнение, находим Рис. 184.
Колебательная система под действием внешней силы 1(1) = сов И (4) ш = з соз(И + у) + Сз соз(ог1 + йг), где Сз и Оз произвольные постоянные. Следовательно, колебание маятника под воздействием внешней силы состоит из «вынужденного колебания» г сов(И+у) с частотой внешней силы и «свободного колебания« с собственной частотой ьь з Выбор Е = — и (в ив +и) при и ) ы оправдан примером 3 ниже. Величину С можно записать в тригонометрическом виде: С = г(и)е«ж'1.
Согласно формуле (4), амплитуда г и фаза У имеют указанные на рис. 185 значения«. Вещественнан часть Ф равна т = соя(И+ й). Итак. общее решение неоднородного уравнения имеет вид 260 Глава Я Рнс. 185. Амплитуда н фаза маятника без трения как функция частоты внеш- ней силы Зависимость амплитуды г вынужденного колебания от частоты внешней силы и имеет характерный резонансный вид: чем ближе частота внешней силы к собственной частоте ш, тем сильнее она раскачивает систему. Это явление резонанса, наблюдаемого при совпадении частоты внешней силы с собственной частотой колебательной системы, имеет очень большое значение в приложениях.
Например, при расчетах всякого рода сооружений приходится следить за тем, чтобы собственные частоты сооружения не были близки к частотам внешних сил, которые оно будет испытывать. В противном случае даже малая сила, действун в течение длительного времени, сможет раскачать сооружение и разрушить его. Рнс. 186. Сумма двух гармоник с банзкнмн частотамн (биения) н ее предел в случае резонанса (раскачка) Фаза вынужденных колебании 0 скачком изменяется на — я прн переходе и через резонансное значение ш.
При и, близких к ш, наблнздаются «биениял (рис. 186): амплитуда колебаний маятника то растет (пока соотношение фаз маятника и внешней силы таково, что внешння сила раскачивает маятник, сообшан ему энергию), то убывает (когда соотношение фаз меняется так, что внешннн сила тормозит маятник). Чем ближе частоты и и ш, тем медленнее меняетси соотношение фаз и тем больше период биений. При и -з ш период биений стремится к бесконечности. 2 26. О наагилгногачленаз При резонансе (гг = га) соотношение фаз постоянно и вынужденные колебания могут нарастать неограниченно (рис.
186). Действительно, по общему правилу при гг = аг частное решение ищем в виде ш = ВеСЫ '. Подставлян в уравнение, находим С = 1 (2гна) Пгимвг 3. Рассмотрим мантник с трением т+ +кл+ызш = 1(г). Характеристическое уравнение Лз + йЛ + агз = О имеет корни (рис. 187) Лцз = — жшП1. где о = — —. й = г,гоР— —.
2' т' 4' Предположим, что коэффициент трения й положителен и невелик (йз < 4ыз). Рассмотрим гармоническую внешнюю силу 1(2) = соаИ = Все'"'. Если коэффициент трения й отличен от О, то ггг не может быть корнем характеристического уравнения (так как Лг з имеют ненулевые вещественные части). Поэтому решение следует искать в виде ш = Ве Сегнг. Подставляя в уравнение, найдем Рис. 187. Собственные числа уравнения маят- ника с трением С— шз — аз + Йггг (5) Запишем С в тригонометрической форме: С = те'а.
Графики зависи- мости амплитуды г и фазы 0 вынужденного колебания от частоты внеш- ней силы имеют, согласно (5), вид. изображенный на рис. 188. Рис. 188. Амплитуда и фаза вынужденного колебания маятника с трением как функции частоты внешней свлы откуда ш = — шпаг1 (рис. 186). Вынужденные колебания неограниченно 2аг нарастают. 262 Глава Я Эти графики построены следующим образом. Рассмотрим знаменатель дроби (5), т.е. значение характеристического многочлена р на мнимой оси. Образ отображения о ~ — ~ р(«и) = ог~ — иг + Й1о называется кривой Михайлова.
Из формулы (5) видно, что эта криван (длн нашего уравнения) является параболой. Она изображена на рис. 189. Если коэффициент тренин й мал, парабола «близка» к дважды пройденному лучу вещественной оси. 1тр Теперь легко построить образ отобра- 1 женин и»-» С(о) = 1/р(«о) эта крир(1И 5 г=ж а вая называетсн амплитудно-у1азовой харак- теристикой. Для ее построения достаточно гз« еР проделать с кривой Михайлова инверсию и отражение в вещественной оси. Часть крин(«а)=т« — г«» за вой Михайлова, близкан к О, почти неотличи- ма от пары отрезков прямых и соответствуРис.
189. Значения харак- ет окрестностям радиуса порядка 1« точек оз тернстнческого многочле- и „~ оси и. При инверсии прямые переходят в окружности, поэтому амплитудно-фазовая характеристика содержит два участка, близких к большим окружностнм (диаметра 1/(Ы)) (рис. 190). На оси о эти окружности отвечают малым (порядка Й) окрестностям резонансных значений, «о и — ин вся остальная часть оси и соответствует соединяющей окружности перемычке и концевым дугам. Изучив таким образом отображение и ~-~ С(р), мы уже без труда исследуем зависимость от н модуля и аргумента комплексной амплитуды С: их графики и приведены на рис. 188.
Общее решение неоднородного уравнения х = «соз(об+ У) + С«е "«соа(111+ 0») получается добавлением к частному решению общего решении однородного УРавнениЯ Сз е а«соэ(Ж + От). При 1 — » +со это слагаемое стремится к О. так что остается только одно вынужденное колебание х = «соз(р1 + У). Сравним поведение маятника при нулевом (рис.
185) и при положительном (рис. 188) значениях коэффициента трения. Мы видим, что влияние малого трения на резонанс приводит к тому, что ам литуда колебаний при резонансе растет не бесконечно, а до з 26. О неагинногочленах определенной конечной величины, обратно пропорциональной коэффициенту трения. Действительно, функция г(гг), выражающая 1п1 С зависимость амплитуды установившихся коле- 1 баний от частоты внешней силы, имеет вблизи (1«ш и = ог резко выраженный максимум (рис. 188). Из формулы 15) видно, что высота этого макси- 1 »<0 мума растет при уменьшении к, как 1/(кы). ш' Не С С «физической» точки зРенив конечность ам- СП„1 Ь с=па плнтуды установившихся вынужденных колебаний при ненулевом значении коэффициента трения легко предвидеть„ подсчитав баланс энергии.
При больших амплитудах потеря энергии на трение болыпе, чем энергия, сообщаемая маятнику внешней силой. Поэтому амплитуда будет умень- мость комплексной шатьсн, пока не установитсн режим, в котором амплитуды от часто- потери энергии на трение уравновешиваются ри- ты внешней силы ботой внешней силы.
Величина амплитуды установившихся колебании растет обратно пропорционально коэффициенту трения, когда он стремится к нулю. Сдвиг фазы У всегда отрицателен: вынужденное колебание отстает от еынугкдающей силы. Злдлчл 1. Доказать, что всякое решение линейной неоднородной системы уравнений с постоянными коэффициентами н правой частью в виде суммы квазимногочленов с векторными коэффипиентами е' ~ ~с»П является суммой квазнмногочленов с векторными коэффициентами. ЗАДАЧА 2. Доказать, что всякое решение линейного неоднородного возвратного уравнения с правой частью в виде суммы квазнмногочленов х„+ а«х„г +...
+ а»х„» = ~(г») является суммой квазимногочленов. Найти формулу для общего члена последовательности О, 2, 7, 18, 41, 88, ... (х = 2х » + и). 7. Применение к расчету слабо нелинейных колебаний. При исследовании зависимости решения уравнения от параметров при- Глава Я ходится решать линейные неоднородные уравнения уравнения в вариациях (см.
2 3). В частности, если «невозмущенная» система линейна, то задача часто сводитсн к решению линейных уравнений с правой частью в виде суммы экспонент (или тригонометрических функций) или квазимногочленов. Злдлчл 1. Исследовать зависимость периода колебаний маятника, описываемого уравнением х = — з|пх, от амплитуды А, считая последнюю малой. А' ОТВЕТ. Т = 2л (1+ — «-О(А )).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
