Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 49
Текст из файла (страница 49)
204. Расширенное фазавае шения уравнения (1) продолжаются непрастранствауравненияспери- ограниченно: это заведомо так для лиодическими коэффициентами нейных уравнений, которые нас особенно интересуют. Периодичность правой части уравнения проявляетсн в специальных свойствах фазового потока уравнения (1). 1 2 2 () 11 ас(С+ Т) = са(С). Мы будем предполагать что все ре Лемме 1. Преобразование фазового пространства за время от С1 до Сз ф: зс" -+ Ра не меняется при одновременном увеличении Сс и Сз на величину периода Т правой, части уравнения (1). т1 — ш2~ ш2 = ш12 У1 =:г11 ш2 = ссз~ которые можно считать периодическими с любым периодом Т, отобра- жение А есть поворот и гиперболический поворот соответственно. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
)й" Нужно доказать, что сдвиг 2С1(С) = ус(С+ Т) й" -Ат лд РЕШЕНИЯ Чз(С) На ВРЕМЯ Т ЯВЛЯЕТСЯ РЕШЕНИЕМ. НО сдвиг расширенного фазового пространства на Т вдоль оси времени переводит поле направлений уравнения (1) в себн (рис. 205). Поэтому сдвину- 0 т с тая на Т интегральная кривая уравнения (1) везде Рис. 200. Отабраже- касается поля направлений и, следовательно, останне монодромин ется интегральной кривой.
Итак ф+ = ф, что и требовалось показать. Рассмотрим, в частности, преобразование у~~, осуществляемое фазовым потоком за время одного периода Т. Это преобразование будет играть важную роль в дальнейшем; мы будем называть его отобразяением за время Т и обозначать (рис. 205) А=Д~1К" К". Пгимег 2. Длн систем З28. Линейные уравнен я с периодическими коэффициентами 283 Лемме 2. Преобразования д"'~ образуют группу Кбг = Ак. Кроме ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно лемме 1 дать' = Ят ПоэтомУ К,",ть' = И„'тт ь'фт = Коуо"т ( жйт Полагая ч = Т, находим Ко = Аф~, откуда по индукции Кок~ = А". Лемма доказана. Всевозможным свойствам решений уравнения (1) соответствуют аналогичные свойства отображения А за период. Теорема.
1) Точка хо есть неподеижн я точка отображения А (Ахо = хо) тогда и только тогда, когда решение с начальным условием х(О) = хо есть периодическое, с периодом Т. 2) Периодическое решение х(1) устойчиво по Ляпунову (асимптотически устойчиво) тогда и только тогда, когда неподвижная точка хо отображения А усгпойчива по Ляпунову (асимптотически устойчива)~. 3) Если система (1) линейна, т.е.
о(1, х) = У(()х — линейная функция х, то отображение А линейно. 4) Если, кроме того, след линейного оператора У(1) равен нулю. то отображение А сохраняет объем: с1е(А = 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Утверждения 1) и 2) вытекают из соотношения 8~~+а = 8'А и из непрерывной зависимости решении от начальных условий на отрезке [О, Т~. Утверждение 3) вытекает из того, что сумма решений линейной системы есть снова решение. Утверждение 4) вытекает из теоремы Лиувиллн. 2. Условия устойчивости.
Применим доказанную теорему к отображению А фазовой плоскости хы хз на себн, соответствующему системе (2). Так как система (2) линейна и след матрицы правой части равен О, получаем Следствие. Отображение А линейно и сохраняет площади (с(е( А = 1). Для устойчивости нулевого решения системы уравнений (2) необходима и достаточна устойчивость отображен я А. ~иеяядаижкая точке ез отображения А называется усжайчкеай ло Лялуяаау (соотаатстееияо асамяжажяческа устпойчавай), если че > О Вб > О такое, что из [е — ка) < б вытекает )А е — А ез( < е для есет О < и < со сразу (соатватстаеиио ежа А" е — А ез — ь О яри п — ь сю).
284 Глава Я Злдлчл 1. Доказать, что поворот плоскости устойчивое отображение, а гиперболический поворот — неустойчивое. Изучим теперь подробнее линейные отображения плоскости на себя, сохраняющие площадь. Теорема. Пусть А — матрица сакра яющего площадь линейного отображения плоскости на себя (с1е1 А = 1). Тогда отобр жение А устойчиво, если ~ 1гА~ < 2, и неустойчиво, если )сгА~ > 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Лы Лг — собственные числа А. Они удовлетворпют характеристическому уравнению Л вЂ” 1гАЛ+ 1 = 0 с вещественными коэффициентами Тг Ль + Лг — — ФТА, ЛдЛз = с$е1 А = 1.
Корни Лы Лг этого вещественного квадратного уравнения вещественны при (1гА~ > 2 н комплексно сопряжены при ~ 1гА~ < 2 (рис. 206). В первом случае одно из собственных чисел больше, а другое меньше 1 по модулю; отображение А есть гиперболический поворот и неустойчиво. Во втором случае собственные числа лежат на единичной Рнс. 206. Собственные числа монодромин окружности: 1=Л,Л =Л,Л, = ~Л,~ .
Отображение А эквивалентно повороту на угол о (где Ль г = с*'"), т.е. становится поворотом прн соответствующем выборе евклидовой структуры на плоскости (почему?). Итак, оно устойчиво. Теорема доказана. Таким образом, весь вопрос об устойчивости нулевого решения системы (2) свелся к вычислению следа матрицы А.
К сожалению, вычислить этот след явно удается лишь в специальных случаях. Его всегда можно найти приближенно, численно интегрируя уравнение на отрезке 0 < 1 < Т. В важном случае, когда ы(1) близка н постоянной. помогают простые общие соображения. 3. Сильно устойчивые системы. Рассмотрим линейную систему (1) с двумерным фазовым пространством (т.е. с п = 2). Такан З28. Линейные уравнен я с периодическими коэффициентами 285 система называется гамильтоновой, если дивергенция е равна нулю.
Длн гамильтоновых систем, как указано вьппе, фазовый поток сохраняет площади: йе1 А = 1. Определение. Нулевое решение линейной гамильтоновой системы сильно устойчиво, если оно устойчиво и у всякой близкой линейной гамильтоновой системы нулевое решение тоже устойчиво. Из предыдущих двух теорем вытекает Следствие. Если ~ сг А~ < 2, тв нулевое решение сильно устойчиво. Ибо если ~ $гА~ < 2, то для отображения А', соответствующего достаточно близкой системе, тоже выполнено условие ~ сг А'~ < 2. Применим это к системе с почти постоянными коэффициентами.
Рассмотрим, например, уравнение 2(1 + (й)) (3) где а(1+ 2в ) = а(Ц, например, а(с) = соз1 (маятник, частота которого колеблется около ш с малой амплитудой и с периодом 2к)~. Каждую систему (3) будем изображать точкой на плоскости параметров е, ш (рис. 207). Очевидно, устойчивые системы с ~сгА~ < 2 образуют на плоскости (ш, в) открытое множество, так же как и неустойчивые системы с ! $гА! > 2. Граница устойчивости дается уравнением ! ФгА) = 2. Теорема. Все тачки аси ш, исключая целые и палуцелыв точки ш = У/2, к = О, 1, 2, ..., соответствуют сильно устойчивым системам (3). Таким образом, множество неустойчивых систем может подходить к оси ш только в точках ш = й/2.
Иными словами, раскачать качели малым периодическим изменением длины можно лишь в том случае, когда один период изменения длины близок к целому числу полупернодов собственных колебаний, — результат, всем известный из эксперимента. Доказательство сформулированной теоремы основано на том, что при г = О уравнение (3) имеет постоянные коэффициенты и явно решается. В случае а(Ь) = сов ь урввненне (3) наэывветсн уравнением Матье. 286 Глава Я Задача 1.
Вычислить для системы (3) с а = О матрицу преобразовании А за период Т = 2х в базисе (х, х). Решение. Общее решение: и = С1 соз ~Л + Сз аш хи Частное решение с начальным условием х = 1, х = О: х = — азз1цхи х = соаюй Рнс. 207. Область неустойчивости прн параметрическом резонансе Частное решение с начальным усло- вием х = О, х = 1: х = (з1позг)/оз х = совий соз 2ли з1н 2аоз/и) ОтВет. А = 1 — х з1ц 2хх соа 2их Поэтому (ФТА( = (2соз2ын! < 2, если ы ф к/2, й = О, 1, ..., н теорема вытекает из предыдущего следствия. Более внимательный анализ' показывает, что, вообще говоря (и, в частности, при а(1) = соз4), вблизи точек ы = й/2, й = 1, 2..., область неустойчивости (заштрихованная на рис.
207) действительно подходит к оси ы. Таким образом, при некоторых соотношениях между частотой изменения параметров и собственной частотой качелей (ы Й/2, Й = 1. 2,...) нижнее положение равновесия идеализированных качелей (3) неустойчиво и они раскачиваются при сколь угодно малом периодическом изменении длины. Это явление называетсн параметрическим резонансом. Характерной особенностью параметрического резонанса является то, что он сильнее всего проявляетсн в случее, когда частота изменения параметров р (в уравнении (3) частота и равна 1) вдвое больше собственной частоты ы. Замечание. Теоретически параметрический резонанс наблюдается при бесконечном наборе соотношений оз/п - й/2, й = 1, 2, ...
Практически наблюдаемы обычно лишь случаи, когда 1 невелико (й = 1, 2, реже 3). Дело в том, что 1Сы., например, разобранную ниже задачу 1 и. 4. З 28. Линейные ураененил с периодическими ноэфугициептами 287 а) при больших /с область неустойчивости подходит к оси иг узким языком и для резонансной частоты иг получаются очень жесткие пределы ( еь для а(1) = сову в (3)); б) сама неустойчивость слабо выражена при больших й. так как величина ~ гг А~ — 2 невелика и собственные числа близки к 1 при больших /с; в) сколь УгоДно малое тРение пРивоДит к Рис. 208. Влияние мало- тому, что для возникновения параметрическо- го трения на область него резонанса Й-го порндка имеется минималь- устойчивости ное значение амплитуды еь: при меньших е колебания затухают.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
