Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 52
Текст из файла (страница 52)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Равномерно сходящаяся последовательность непрерывных функций сходится к непрерывной функции. Если допредельные функции удовлетворили неравенству (4), то и предельная функция удовлетворяет неравенству (4) с той же постоянной С. Заметим, что пространство М зависит от трех положительных чиселс и', Ь', С. 7. Сжатое отображение А: ЛХ -ь М. Определим отображение А: М -+ М, полагал' (А(с) (1, а) = ~ о(т, щ + (с(т, щ)) с(т.
со сПри сравнении с отображением Пикара п. 1 следует иметь в виду, что мы теперь ищем решение в виде и -Ь Ь. зоз 131. Доказательство теорем еутееспвовакин Благодаря неравенству (4) точка (т, а+ Ь(т, сс)) принадлежит конусу К и, следовательно, области определения поля о. Теорема. Если значение о' достаточно лсазсо, то формула (5) задает сжатое отображение пространства М в себя.
ДОЕАзАтельство. 1. Покажем, что А ссереводит М в себя. Функция АЬ непрерывна, так как интеграл непрерывно зависящей от параметра непрерывной функции непрерывно зависит от параметра и от верхнего предела. Функции АЬ удовлетворяет неравенству (4), так как / о(...)дт ~Сдс /(АЬ)(1, сс)/ < ( С~с — Ц. со со Итак, АМ С М. 2.
Покажем, что отображение А сжато: 'йАЬс — АЬо)) < ЛйЬс — Ьзй, О < Л < 1. Длн этого оценим значение АЬс — АЬз в точке (с, а). Имеем (рис. 223) (АЬ, — АЬз)(С, сс) = / (ос — оз) дт, Рис. 223. Сравнение ос и ос со ~ос(т) — ссг(т)~ ( В Ьс(т. а) — Ьз(т. сс)~ ( Й~~~Ьс — Ьа(~. Согласно лемме п. 2 с с йьс — Ьзй ат < о а ВЬ1 Ьг!! ° !(АЬч — АЬз)(с, сс)/ < со При Еа' < 1 отображение сжато. Теорема доказана. 8. Теорема существования н единственности. Следствие. Пусть прав я часть о дифференциального уравнениа (3) непРеРывно диффеРенииРУема в окРестности точки (Со, ао) где ос(т) = о(т, а + Ь;(т, а)), с = 1, 2. Согласно теореме п.
4 функция о(т, а) при фиксированном т удовлетворяет условию Липшица с постоянной Е (по второму аргументу). Поэтому 304 Глава 4 расширенного фазового пространства. Тогда у точки го есть такая окрестность, что в этой окрестности определено решение уравнения (3) с начальным условием 1о(1о) = ш, где ш -- любая достаточно близкал к Шз точка, причем зто решение непрерывно зависит от начальной точки ш. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сжатое отображение А, по теореме Ц 30, имеет неподвижную точку Ь Е М. Положим у(И ш) = ш -1- )1(1. ш). Тогда ду(1, ш) = в(1, у(1, ш)). у(1, ш) = ш+ ~ о(т, у(г, ш)) г1т, ЗАДАЧА 1.
Доказать теорему единственности. РкшЕНИЕ 1. Положим Ь' = О в определении М. Из единственности неподвижной точки сжатого отображения А: М з М следует единственность решения (с начальным условием ~р(1о) = то). РЕШЕНИЕ 2. Пусть Чз~ и уз — — два решения с общим начальным условием 1о,(го) = 1оз(ге), определенные при ф — ЬЦ < а. Пусть О < о' < о. Положим ЦззЦ = пшх ~Ьз(1)Ц Имеем н-м1< ' о (~) Ч з(1) — ( е(т, Ч (т)) ( Чзз(г)) д При достаточно малом а точки (т, ьз (г)) и (г ьз (г)) лежат в ц н где е с 1лр Г'. Поэтому Цф 1с Ц ( Г,ОЪз Ьз Ц ~~куда прн г Р ( 1 вытекает Цср, — ЧззЦ = О. Итак, решении ~рм ~р в некоторой окрестности точки ге совпадают.
Локальнан теорема единственности доказана. 9. Другие применении сжатых отображении. ЗАЛАЧА 1. Доказать теорему об обратной функции. Указание. Достаточно обратить С'-отображение с единичной линейной частью у = з + 1з(е), где ~р'(О) = О, в окрестности точки О Е И" (общий случай сводится к етому линейной заменой иоординат). Мы видим, что у при фиксированном ш удовлетворяет уравнению (3), а при 1 = 1о — начальному условию д(1о, ш) = и. Функция и непрерывна, так как гг 6 М.
Следствие доказано. Итак, мы доказали теорему существовании для уравнения (3) и предънвили решение. непрерывно зависящее от начальных условий. 305 3 31. Доказательство теорем существования Ищем решение в виде и = у+ 14(д). Тогда получаем длн ер уравнение Ф(у) = — ю(у+.р(у)). Следовательно, искоман функция хр является неподвижной точкой отображения А, определенного формулой (Аер)(у) = — ~р(у + ер(у)). Зддлчл 2. Доказать, что ломанан Эйлера стремится к решению, когда ее шаг стремитсн к нулю. Ркшнннк. Пусть яд = и + Ьд — ломаная Эйлера с шагом Ь и началом нд(ге, и) = и (рис. 224). Иными словами, при 1 ф ге -~- кЬ вЂ” Кд(1 ) =е( (1) йд(е(1) *)) где е(1) = 1е -ь йь, й — целан часть (1 — 1о)/ь.
Отличие ломаной Эйлера от решения у можно оценить по формуле п. 3 430: Рис. 224. Ломаная Эйлера Л~(Ап -и ((. Но (Айд)(й и) = / е(т, нд(т, з)) йт, йд(1, а) = / е(е(т), уд(е(т), и)) <1г. м м При Ь -э 0 разность подынтегральных выражений равномерно по г, ~т( ( ии, стремится к 0 (вследствие равностепенной непрерывности е). Поэтому '0АЬд — яд(~ -э 0 при Ь -э 0 и ломанан Эйлера стремится к решению. Задача*3. Рассмотрим диффеоморфизм А окрестности точки 0 в К~ на окрестность точки 0 в К", переводнщий 0 в О. Предположим, что линейнан часть А в 0 (т.е. линейный оператор А,е. К~ -+ К") не имеет собственных чисел с модулем 1. Пусть число собственных чисел с ~Л~ < 1 равно ти а с (Л~ > 1 равно гпе.
Тогда А,е имеет инвариантное подпространство К (входнщий ус) и инвариантное падпространство К + (выходящий ус), точки которых стремятсн к 0 нри применении Аме, где 17 — э Ч-оо (длн К вЂ” ) или Ж -+ — оо (длн Кще) (рис. 225). 20 Заказ геИ17 Отображение А (в подходящей метрике) сжато, потому что производная функции у в окрестности точки 0 мала (ввиду условия 1р~(0) = 0). ЗО6 Гласа д Доказать, что исходное нелинейное отображение А тоже имеет о окрестности точки 0 инаариантные подмногообразия М~- и Мт" (входящий и выходящий усы), касающаеся а 0 надпространств К"*— и И'"ч; А" ю -+ 0 при Х -+ +со на М~ при Ж вЂ” ~ — оо для к Е М ч). Го А., М'А Рис. 225. Усы отображения и его линейной части Указание. Взять какое-либо подмногообразие Го размерности огч (скажем, касающееся Ит+ в 0) и применить к нему степени А.
Методом сжатых отображений доказать сходимость полученных приближений Гя = ААГо, Х -+ +ос, к М ЗАДАЧА *4. Доказать существование входящего и выходнщего усов у нелинейного седла а = о(а), о(0) = 0 (предполагается, что ни одно из собственных чисел оператора А = о. (0) не лежит на мнимой оси). 2 32. Теорема о дифференцируемости В этом параграфе доказывается теорема о выпрямлении. 1. Уравнение в вариациях. С дифференцируемым отображением 1: Г -+ $' свнзано линейное отображение касательных пространств в каждой точке Точно так же с дифференциальным уравнением а=о(1,ю), жсогСгг", свнзана система дифференциальных уравнений < ж = о(1„щ), щ с Г С В", У = п„(1, т)У, Р Е ТкГА (2) называеман системой уравнений а вариан ях для уравнения (1) и линейная относительно касательного вектора р (рис.
226). Звездочка в формуле (2) (и в дальнейших формулах) означает производную по щ при фиксированном а Так, п,(с, щ) есть линейный оператор из К" в К~. 307 З 32. Теорема о дифференцируеяости Наряду с системой (2) удобно рассматривать систему х=и(»,х), хбГСК", (3) г = о„(», х)г, г: К" -+ К"', Система (3) получена из системы (2) заменой неизвестного вектора у неизвестным линейным преобразованием г. Мы будем употреблнть название уравнение в вариациях также и применительно к системе (3).
Рнс. 226. Решение уравнения в вариациях с начальным условием (х. у) ЗАмкчлник. Вообще, если дано линейное уравнение у = А(»)у. у е К", (2') то полезно рассмотреть ассоциированное уравнение 2 = А(»)г, % К" — ь К", (3') относительно линейного оператора г. Зная решения одвого из уравнений (2'), (3'), легко найти решения другого (как?). оЕС ~ПЕС (класса С по х). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. о е Сз =~ е, е С~. Поэтому система уравнений в вариацинх (3) удовлетворяет условиям из 2 31 и последовательность пикаровских приближений равномерно сходится к ее решению в достаточно малой окрестности точки »о. Выберем начальные условия ~ре = х (достаточно 2.
Теорема о диффереицируемости. Пусть правая часть о уравнения (1) дважды непрерывно диффереяцируема в некоторой окрестности точки (»о, хо). Тогда решение и(», х) уравнения (1) с начальныль Условием П(»о, х) = х гивисит от начального Условие х непРеРывно дифференцируемо, когда х и» меняготся в некоторой (быть может, меньшей) окрестности точки (»о, хо): Глава 4 близко к хв), фо = Е. Обозначим пикаровские приближения через <р„ (для х) и зр„(для з), т. е. положим ~~„.ь,(1, х) = х + / е(т, ьз„(т, х)) Йт, за зро ы(Х, х) = Е+ / е„(т, ~о„(т, х))ф„(т, х) дт. (4) (5) аа Заметим, что ар „= фо.
Из определений (4) и (5) индукцией по и заключаем, что ар„ьз, = фя ьы Поэтому последовательность (ф„) это последовательность производных последовательности (уз„). Обе последовательности (4), (5) равномерно сходятся (как последовательности пикаровских приближений системы (3)) при достаточно малом ф — 1о!.
Итак, последовательность (ар„) сходится равномерно вместе с производными по х. Поэтому предельнан функция й(1, х) = Пш ар„(1, х) непрерывно дифференцируема по х, что и требовалось доказать. ЗАмечАние. Одновременно доказана Теорема. Производная у, решех) у ния уравнения (1) ло начальному условию х удовлетворяет уравнению в вариациях (3) с начальн м условием г(1о) = Е: га д — а(1 х) =е(1,5'(1 х)), — й„(1, х) = о„($, д(Е, х))у,(т, х), у(то. х) = х, Ю*(1о х) = Е. Рис.
227. Действие преобразова- ния зв время от аа до а на кривую е фазовом пространстве и на ее касательный вектор Эта теорема объясняет смысл уравнений в вариациях: они описывают действие преобразований за время от 1о до 1 на касательные векторы к фазовому пространству (рис. 221). 3. Высшие производные по х. Пусть т > 2 —.
целое число. Теорема Т,. Пусть правая часть о уравнения (1) т раз непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки (уо, хо). Тогда решение у(1, х) уравнения (1) с нач льным условием ~(со, х) = х зависит 3Ой З 32. Теорема о дафферекцируемости от начального условия х т — 1 раз непрерывно дифференцируемц когда х и с меняются в некоторой (быть может, меньшей) окрестности точки (~о.
хо): о е С' к Ю Е С ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. о Е С' =ь о, Е С" з. Значит, система уравнений в вариациях (3) удовлетворнет условиям теоремы Т„ ы Поэтому теорема Т„, т > 2, вытекает из теоремы Т, д.. о е С" .=ь о, е С" ' =:ь д, е С; .=ь д е С;. Но теорема Тз доказана в и. 2. Итак, теорема Т„доказана. 4. Производные по х и 8. Пусть т > 2 — целое число. Теорема Т„'. Е условиях теоремы Т„решение ф1, х) является дифференцируемой функцией класса С' ~ по переменным х и б вместе: осС =ьЕЕС~ Эта теорема очевидное следствие предыдущей. Вот формальное доказательство. Лемма. Пусть З" функция (со зпачени ми в и"), опредвлекп и на прямом произведении области С евклидова пространства В и отрезка 1 па оси и У: СхТ-+В".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
