Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Пусть М вЂ” гладкое многообразие. Касательным к М в глочне х вектором С называется класс эквивалентности выходящих из и кривых; две кривые (рис. 248) 71г1 — гМ, тз:™ эквивалентны, если их изображения на какой-либо карте ухуз: Х вЂ > г1, ~р'узг à †> Сг эквивалентны.
Заметим, что понятие эквивалентности кривых не зависит от выбора карты атласа (см. й 5): из эквивалентности на карте ул следует эквивалентность на любой другой газч так как переход с одной карты на другую, узгзч есть диффеоморфизм. Множество векторов, касательных к М в и, имеет структуру линейного пространства, не зависящую от выбора карты (см. 2 5). Это линейное пространство называется насательнылг пространстволг н М ах и обозначается Т,М.
Его размерность равна размерности М. Касательное расслоение — частный сзучвй векторного расслоения; ешь белее обшее понятие рзссзоеннве пространство. Все зтн понятия относятся к числу всновных в топОлогии и в анализе, нв мы агрзнвчнмся лишь нвсзтезьным расслоением, которое всвбенно ввжно Лзя теаряи ваыяяавеииых дифференциальных уравнений. З 34. Касательное расслоение. Векторные поля иа миогообрагии 329 Рис.
248. Касательный вектор Пгимкг 1. Пусть М" подмногообразие аффинного пространства ьч~ ~рис. 249). Тогда Т,М" можно представить себе в виде и-мерной плоскости в )К~, проходящей через х. Прн этом, .однако, следует помнить, что касательные пространства к М о разных точках х, у ие пересекаютст Т М П Т„М = ю. ТМ с лсс)„ х, Рис. 249. Касательное пространство Рис. 2ВО. Координаты касательно- го вектора 2. Касательное расслоение. Рассмотрим объединение касательных пространств к многообразию М во всех его точках ТМ = Ц Т М. ебы Множество ТМ имеет естественную структуру гладкого многообразия.
Действительно, рассмотрим какую-нибудь карту на многообразии М, и пусть (хы ..., х„): И' -+ 11 С К" (рнс. 250) — локальные координаты в окрестности Иг точки х, задающие эту карту. Колкий вектор С, касательный ь М е точке х Е Иг, задается набором своих компонент ((ы ..., С ) в указанной системе координат.
Именно, если у: 1 -+ М вЂ” кривая, выходншая нз х по направлению С в момент га. то С; = — хПТ(С)). Таким Н Вс «=«о образом, вснкий вектор С касательный к М в одной из точек области Иг, задаетсн набором 2н чисел (хы ...,х„), (~ы ..., с ) и координат «точки Глава б приложения» к и п «компонент» С,. Мы получили карту части множества ТМ: «р) Т«т — ) К ", «))(с) т (зм ..., з, р) ..., Гя). Различные карты ТМ, соответствующие разным картам атласа М, согласованы (класса С' ~, если М класса С'). Действительно, пусть (Уы ..., Уч) — дРУгав локальнаЯ система кооРдинат на М и (Уы ..., У1„)— компоненты вектора в этой системе; тогда У)=У)(з»)- -)к )) у =~( )»1 («=1 . ° о) " Гау,~ 1=1 дз) гладкие функции от за и ~1.
Итак, множество ТМ всех касательных к М векторов получило структуру гладкого многообразин размерности 2п. Определение. Многообразие ТМ называется касательным расслоениел«' многообразия М. Существуют естественные отображения «': М -+ ТМ (нулевое сечение) и р: ТМ вЂ” + М (проекция): з(а) есть нулевой вектор Т М. а р(С) есть та точка х, в которой ( касается М (рнс. 251). ЗАДАЧА 1. Докажите, что отображения «, р дифференцируемы, что з является диффеоморфизмом М на «(М) и что р о «: М » М вЂ” тождестоеипое отображение.
Прообразы точек к Е М при отображении р: ТМ -+ М называютсн слоял«и расслоении ТМ. Каждый слой имеет структуру линейного пространства, Многообразие М называется базой расслоения ТМ. 3. Замечение о параллелизуемости. Касательное расслоение аффинного пространства Ж~ или его области (Г имеет еще дополнительную структуру прямого произведения: ТП = С х К".
Действительно, касательный вектор к (Г можно задать парой (к, д) где к Е С), а ~ вектор линейного пространства П«, длн которого указан линейный изоморфизм с ТзС (рис. 252). Можно выразить зто иначе, сказав, что аффинное пространство параллели»авена: для касательных векторов к области Ст пространства КЯ в разных точках к и у определено равенство.
»Мы будем исоеяьзоэзть это краткое нззэзние эместе более педантичного термина лростраястзо яяс«тел»мого расслоения. з 34. Касательное расслоение. Векторные поля на многообразии 331 М х Рис. 251. Касательное рас- слоение Рис. 252. Параллелизованное и непа- раллелизуемое многообразии Касательное расслоение многообразия вовсе не прямым произведением, и, вообще говоря. нельзя делить равенство векторов. приложенных в разных образия М. Положение здесь такое же, как с листом Мебиуса (рис. 253), который является расслоением с базой окружность и слоем прнмая, но не являетсн прямым произведением окружности на прямую. Рис.
253. Расслоение, не являю- щеесл лрнмым произведением Рис. 254. Теорема о еже Определение. Многообразие ЛХ называетсн лараллелизованным, если в его касательном расслоении введена структура прнмого произведения, т.е. задан диффеоморфизм ТМ = Ы" х л1", линейно переводящий Т М в х х к~.
Многообразие параллелизуемо, если оно может быть параллелизовано. Пгинвг 1. Любая область в евклидовом пространстве естественно параллелизована. Злдлчл 1. Докажите,что тор То параллелизуем, а лист Мебиуса нет. Теорема*. Из сфер Я" аараллелизуемы только следующие три: Вг, Яз, Яг. В частности, двумерная сфера непараллелизуема: ТЯз ф Яз и Яз 332 Глава 5 (Отсюда вытекает, например, что ежа нельзя причесать: хоть одна игла будет перпендикулнрна поверхности (рис. 254).) Читатель, решивший задачу в конце 2 33, легко докажет непараллелизуемость Я~ (указание: КР ф Яз х Я~). Параллелизация окружности Я~ очевидна.
Параллелизовать Я~ — поучительное упражнение (указание: оз — это группа, а именно группа кватернионов с модулем 1). Полное доказательство сформулированной теоремы требует довольно глубокого проникновения в топологию; оно было получено относительно недавно. Аналитики склонны считать все расслоения прямыми произведениями и все многообразия параллелизуемыми. Этой ошибки следует остерегаться. Рис.
255. Производная отображения г' в точке з г У(т) И Рис. 256. Касательное отображение 4. Касательное отображение. Пусть 1: М -+ Х гладкое отображение многообразия И в многообразие Аг (рис. 255). Обозначим через 1"„индуцированное отображение касательных пространств. Оно определяетсн, как в 2 6, и является линейным отображением одного З 34. Касательное расслоение. Векторные поля на многообразии 333 линейного пространства в другое: ~..: Т„М -1 Т,(.)М. Пусть х пробегает М. Предыдущая формула определяет отображение ('„.: ТМ -+ ТД(, У„~т м = );. касательного расслоения М в касательное расслоение Ж. Это отображение дифференцируемо (почему7) и линейно отображает слои ТМ в слои ТЖ (рис.
256). Отображение 1, назывеется касательным отображением к Г (употребляетсн также обозначение ТГ: ТМ -+ ТЖ). Злдлчл 1. Пусть Г": М -э Я и К: Ж -+ К гладкие отображения, 8 о 1: М -э К вЂ” их суперпозиция. Доказать, что (8 о 1), = (л,) о (1,), т. е. что %,'; - /™.;,.(; М вЂ” — К ТБРминОлОГическОе ЗАмечАние. В анализе эта формула называется правилом дифференцирования сложной функции, в алгебре — функториальностью (ковариантной) перехода к касательному отображению. 5. Векторные поля.
Пусть М гладкое (класса С*и~) многообразие, ТМ вЂ” его касательное расслоение (рис. 257). о(х) Тк1, (р к х Рис. 258. Поле скоростей Рис. 257. Векторное поле Глава 5 Определение. Векторное поле (класса С') и на М есть гладкое (класса С") отображение и: М вЂ” ~ ТМ такое, что отображение р о и: М -+ М вЂ” тождественное: диаграмма коммутативна, т. е. р(е(т)) = з. Злмкчлник. Если М вЂ” область пространства ст" с координатами яг, ..., ж„, то зто определение совпадает со старым Я 5).
Однако в новом определении никакая специальная система координат не участвует. Примвр. Рассмотрим семейство Вл вращений сферы Я вокруг оси Ясч' на угол ~ (рис. 258). Каждая точка сферы з с Вз описывает при вращении кривую (параллель) и имеет скорость — В Влж а Т,Вз с с=о Мы получаем отображение и: Яз -+ ТЯз; очевидно, ре = Е, т.е. и векторное поле на В~. Вообще, если 8с: М -+ М вЂ” однопараметрическая группа диффеоморфизмов многообразия М, то возникает векторное поле фазовой скорости на М, точь-в-точь как в ~ 5.
Вся локальнал теория (нелинейных) обыкновенных дифференциальных уравнений немедленно переносится на многообразии, так как мы позаботились своевременно (в х 5) о независимости основных понятий от системы координат. В частности, на многообразия переносится основная локальная теорема о выпрямлении векторного поля и локальные теоремы существования, единственности, непрерывности и дифференцируемости по начальным условиям. Специфика многообразия проявляетсн лишь при рассмотрении нелокальных вопросов. Простейшими из них являютсн вопросы о продолжении решений и о существовании фазового потока с данным полем фазовой скорости.
~употребляется также термин сечение насаснельноео расслоения. З35. Фазовый поток, эоданныа векторным полем ЗЗ5 З 35. Фазовый поток, заданный векторным полем Доказанная ниже теорема является простейшей теоремой качественной теории дифференциальных уравнений: она дает условия, при которых имеет смысл ставить вопрос о поведении решений дифференциального уравнения на бесконечном интервале времени. Из втой теоремы вытекает, в частности, непрерывность и дифференцируемость решения по начальным данным в целом (т.е. на любом конечном интервале времени).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
