Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Индекс окрулгности достаточно большого радиуса в построенном поле равен п (ориентации как в задаче и. 1). «Аккураткая фармулировка и дпказвтвльвтво сформулированных утвэржлэиий требуют иэквтарвй топологической техники: гвмвтвпий, гвмвлвгий или чэгв-нибудь в этвм роде (далээ мы вослвльзуэмся в этой целью формулой Грина). См., например, книгу Н.
Стиирода и У. Чика, «Пэрвыэ попятил тополвгии» (Мз Мир, 1967). »Можно также рассмотреть более абщий случай., когда 77 — любая плоская область, вграиичэииая простой замкнутой кривой Я. Глава б В самом деле, формула ог(г) =г" +ь(аггв +...+а„), 0<1<1, определяет непрерывную деформацию исходного полн в поле г". Пусть г > 1+ ~аг~ + ... + ~а„!. Тогда г" > )аг)г г + ...
+ ~а„). Поэтому на окружности радиуса г во все время деформации нет особых точек. По свойству 2 индекс этой окружности а исходном поле и в поле г одинаков. Но в поле г" он равен п. Лемма доказана. По предыдущей теореме внутри круга радиуса г есть особые точки векторного поля, т.е. корни нашего уравнения. Теорема доказана. Примкр 3. Докажем следующую теорему о неподвижной точке: Теореме.
Всякое гладкое' отображение Г": Р -+ Р замкнутого круга в себя алеет хоть одну неподвижную точку. Будем считать, что на плоскости круга Р введена структура линейного пространства с началом в центре круга (рис. 264). Неподвижные точки отображении г' это особые точки векторного поля ( ') = У( ')— Предположим, что особых точек в Р нет. Тогда их нет и на окружности. Лемма. Индекс окружности круга Р в поле о равен 1. Действительно, существует такая непрерывная деформация полн о в поле — х, что но все время деформации на окружности нет особых точек (например, достаточно положить ог(х) = гу1х) — х, О < б < 1).
Поэтому индексы окружности в полях оо = — х и пг = и одинаковы. Но индекс окружности ~х~ = г в лоле — х легко сосчитать непосредственно: он равен 1. Лемма доказана. По теореме примера 1 внутри круга есть особая точка полн о, т.е. неподвижная точка отображения Г". Гэга теорема справедлива длл любого непрерывного отображении, но мы здесь считаем все отбраженин гладкими н докажем теорему (см. п. 7) только в этом предположении.
343 136. Индексы особых точек векторного пола Рнс. 264. Отобра- Рнс. 266. Индексы простых особых точек равны х1 жение круга в себя 4. Индекс особой тачки векторного поля. Пусть Π— изолированная особая точка векторного поля на плоскости, т.е. пусть в некоторой окрестности точки О нет других особых точек. Рассмотрим окружность достаточно малого радиуса с центром в точке О; предположим, что плоскость ориентирована и что ориентация на окружности выбрана положительной (как в п. 1). Теореме. Индекс окружности достаточно малого радиуса с центром в изолированной особой точке О не зависит от радиуса окружности, лишь бы он был достаточно мал.
В самом деле, две такие окружности можно непрерывно продеформировать одну в другую, не проходи через особые точки. Заметим также, что вместо окружности можно было бы взять любую другую кривую, обходящую вокруг О один раз в положительном направлении. Определение. Индекс какой-нибудь (и тогда любой) достаточно малой положительно ориентированной окружности с центром в изолированной особой точке векторного поля называется индексом особой точки. ПРимеРы.
Индексы особых точек типа узел, седло н фокус (нлн центр) равны +1, — 1, +1 соответственно (рнс. 265). Особая точка векторного поля называется простой, если оператор линейной части поля в этой точке невырожден. Простые особые точки на плоскости — это узлы, седла, фокусы и центры. Таким образом, индекс простой особой точки равен всегда м1.
Глава 5 Злдлчл 1. Построить векторное поле с особой точкой индекса н. Указание. См., например. задачу и. 1. Злдлчл 2. Докажите, что индекс особом точки не зависит от выбора ориентации плоскости. Указание. При изменении ориентации одновременно изменяются и положительное направление обхода окружности, и положительное направление счета числа оборотов. 5.
Теорема о сумме индексов. Пусть Р компактная область на ориентированной плоскости, ограниченная простой кривой Я. Ориентируем кривую Я, как полагаетсн ориентировать границу Р (т.е. таки чтобы область Р оставалась при обходе слева). Это значит, что репер, образованный вектором скорости обхода и вектором нормали, направленным внутрь Р, должен задавать положительную ориентацию плоскости. Пусть нв плоскости задано векторное поле, не имеющее особых точек на кривой Я и имеющее лишь конечное число особых точек в области Р. Теорема. Индекс кривой Я равен сумме индексов особых точек полл, ленсащих внутри Р.
Для доказательства заметим, что индекс кривой обладает следую- 8 щим свойством аддитивности. рассмотрим две ориентированные кривые у,, уз, проходящие через одну точку. Можно образовать новую ориентированную кривую уг + уз. пройди сначала ут. а потом 'уг. Лемма. Индекс кривой ух+ уз равен сумме индексов кривых уг и уз. Рис. 266.
Индекс кри- Действительно, вектор полн сделает и, вой 3 равен сумме ин- оборотов при обходе кривой у1 и еще нз ободексов кривых у1 и тз ротов при обходе кривой уз, итого пг + нз оборотов. Лемма доказана. Теперь разобьем Р на части Р; так. чтобы внутри каждой из них было не больше одной особой точки поля (рис. 266), а на границах чтобы особых точек не было. Ориентируем 345 З36. Индексы особых точек векторного пола кривые ум ограничивающие этн части, как полагается ориентировать границы (рис. 266); тогда но лемме (пс(»»»» = шс) Я+ ~~» пк)ду г у где бд — замкнутая кривая, представляющая часть границы области л1б находнщуюся внутри В и пройденную два раза в разные стороны.
Индекс каждой кривой бу равен О, так как эта кривая стягивается в точку, минуя особые точки полн (см. и. 8). Индекс кривой гй равен индексу той особой точки, которую эта кривая охватывает (или О, если в области Агб охватываемой этой кривой, особых точек нет). Теорема доказана.
ЗАДАЧА 1. Пусть р — многочлен степени и от комплексного переменного г, Г» область на плоскости переменного г, ограниченная кривой Я. Предположим, что на кривой Я нет корней многочлена. Докажите, что число корней многочлена внутри 1» (с учетом кратностей) равно индексу кривой Я в ноле е = р(г), т.е. числу оборотов вокруг О кривой р(Я). Злмвчлнин.
Мы получаем тем самым способ решения проблемы Рауса — Гурвнна (см. 3 23): Найти число н корней данного многочлено в левой колунлоскостни. С этой целью рассмотрим полукруг достаточно большого радиуса в левой нолунлоскости с центром в точке г = О и с диаметром на мнимой оси. Число корней в левой полунлоскости равно индексу границы этого полукруга (если его радиус достаточно велик и у многочлена нет чисто мнимых корней).
Длн вычисления индекса кривой Я достаточно сосчитать число о оборотов образа мнимой оси, ориентированной от †» к Ьч вокруг начала координат. Действительно, легко проверить, что и =1пйЯ=о+ —, 2' так как образ полуокружности достаточно большого радиуса п отображении р делает приблизительно и/2 оборотов вокруг начала координат (тем точнее н/2, чем больше радиус). В частности, все корни многочлена степени и лежат в левой полуплоскости, если и только если точка р(Ы) кри игменении1 от — со до+ос обходит нач ло координат и/2 раэ (в сторону от 1 к»). Глава й 6. Сумма индексов особых точек на сфере. Злдлчя*1. Докажите, что индекс особой точки векторного полн на плоскости сохраннетсн при диффеоморфизме.
Таким образом, индекс — понятие геометрическое, не зависящее от системы координат. Это обстоятельство позволяет определить индекс особой точки не только на плоскости, но и на любом двумерном многообразии. Действительно, достаточно рассмотреть индекс особой точки на какой-нибудь карте: на других картах он будет тем же самым. Пгнмвг 1. Рассмотрим сферу хз + уз + лз = 1 в евклидовом трехмерном пространстве.
Векторное поле скорости вращения вокруг оси з 1х = у, у = — х, д = 0) имеет две особые точки: северный и южный полюсы (рис. 267). Индекс каждой из них равен +1. Предположим, что на сфере дано векторное поле, имеющее лишь изолированные особые точки. Тогда их конечное число, так ьак сфера компактна. Теорема*. Сумма индексов всех особых точек по я на сфере нв зависит от выбора поля. Из предыдущего примера видно, что эта гулька равна 2.
Идкн доклзлткльствм Рассмотрим карту сферы, покрывающую ее всю, кроме одной точРис. 267. Векторное ки, которую мы назовем полюсом. В евклидовой поле на сфере имев плоскости втой карты рассмотрим координатное щее две особые точки векторное поле ем Перенесем это поле на сферу. индекса 1 Тогда получим поле на сфере (не определенное в одном лишь полюсе), которое мы но-прежнему будем обозначать через ем Рассмотрим теперь карту окрестности полюса. На плоскости втой карты мы также можем нарисовать векторное поле на сфере е1 не определенное лишь в одной точке О. Как оно будет выглядеть, показано на рис. 268. Лемма. Индекс замкнутой кривой, обходящей один раз точку О в построенном иоле яа плоскости, равен 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
