Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Составим интеграл У(х, г) = ~ ~(х, т) дт, х Е С, ~го, г) С Т. зо Еслиз сС,' из ЕС",тоУсС". Действительно, любая т-я частная производная функции Р по переменным х; и й содержащая дифференцирование по г, выражается через Зч и частные производные функции у порндке меньше т. а потому непрерывна; всякая же т-я частная производная по переменным х„непрерывна по условию. Глава «' ДОБАЗАтнлъстно теогемы. Имеем с Е(С, е) = з+ ( и(т, 8(г, е)) Йг. м Обозначим у(т, з) = е(г, и(г, е)) и будем применять лемму.
Находим при1<р(| ЕЕСР ПС' =»ЕЕС». Согласно теореме Т„, имеем и Е Сл при р < г. Последовательно получаем дЕС =.»лЕС ~...=»ЕЕС Но, согласно с| 31, и Е Со (решение непрерывно зависит от (е, |)). Теорема Т,' доказана. ЗлдАЧА 1. Докажите, что если праван часть дифференциального уравнения (1) бесконечно дифференцируема. то и решение зависит от начальных условий бесконечно дифференцируемо| оЕС =.'»ИЕС ЗАмечАние. Можно также доказать, что если правая часть о аналитична (разлагается в сходящийсн к и ряд Тейлора в окрестности каждой точки), то и решение и аналитически зависит от |с и й Дифференциальные уравнения с аналитическими правыми частями естественно рассматривать как при комплексных значениях неизвестных. так и (что особенно вал|но) при комплексных значениях времени.
Об этой теории см., например, книгу В.В.Голубева «Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений» (Мл Гостехиздат, 1950). 5. Теорема о выпрямлении. Эта теорема — - очевидное следствие теоремы Т, 'Перед доказательством вспомним два простых геометрических предложения. Пусть Ь» и Тз — два линейных подпространства третьего линейного пространства Т (рис. 228). Подпространства Тч и Гз называются траясверсалънмл«и, если их сумма есть все пространство Г | Гч+Т з = Ь. Например, прямая в Вз трансверсальна плоскости, если пересекает ее под ненулевым углом. 232. Теорема о дифферекцируемости Предложение 1.
Для каждого *к-мерного надпространства Кь в К" найдется трансверсальное ему (и — 1)-мерное (притом даже среди Сь координатных плоскостей пространства К"). Рис. 228. Прямая Е1 трвисверсальив плос- кости Ег в простран- стве К~ Доказательство см. в курсах линейной алгебры (теорема о ранге матрицы). Предложение 2. Если линейное отображение А: Е -о М отображает какие-либо деа трансеерсальных надпространства на трансаерсальные, то оно — на есе пространство М.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. АЕ = АЕ1+ АЕг = М. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ О ВЫПРЯМЛЕНИИ: НЕАВТОНОМНЫЙ СЛУЧАЙ (см. гл. 2, 2 8, п. 1). Рассмотрим отображение С области прямого произведения К х К" в расширенное фазовое пространство уравнения х= о(г, х), С.~н а=и — — Е, С.~н,, „е = о+ е. заданное формулой С(г, х) = (г, у(г, х)), где фг, х) решение уравнения (1) с печальным условием у(1о, х) = х.
Покажем, что С в окрестности точки (1о, хо) — выпрямляющий диффеоморфизм. а) Отображение С дифференцируемо (класса С" 1, если о Е С") по теореме Т„'. б) Отображение С оставляет 1 на месте: С(1, х) = (1, у(1, х)). в) Отображение С, переводит стандартное векторное поле е (х = О, С = 1) в данное поле: С,е = (1, о) (так как у(1, х) — решение уравнения (1)). г) Отображение С е окрестности точки (йо, хо) диффеоморфизм. Действительно, сосчитаем сужения линейного оператора С,~ы на трансверсальные плоскости К" и К~ (рис. 229).
Находим: 312 Глава В Рис. 229. Производная отображе- ния С в тачке (вв,зв) Рис. 230. Построение диф- феамарфизма, выпрямля- ющего векторное поле ДОЕАзАтельстпо теОРемы О ВыпРЯмлении: АВтономный слУчАЙ (з 7, П. 1). Рассмотрим автономное уравнение а=е(м), щс(7СК". (6) Пусть вектор еа фазовой скорости в точке жа отличен от 0 (рис. 230). Тогда существует (Π— 1)-мерная гиперплоскость К" ~ С К", проходящая через щз, и трансверсальная еа (точнее, соответствующая плоскость в касательном пространстве Т,,(Г трансверсальна прямой К 1 направлении еа).
Определим отображение С области К х К" ~, где К" ' = (Я~, К = (1), в область К" формулой С(2, ~) = и(1, ~), где с лежит на К" вблизи жо, а н(2, ~) есть значение решения уравнения (6) с начальным условием ~р(0) = с в момент й Покажем, что в достаточно малой окрестности точки ф = жа, 1 = О) отображение С 1 выпрямляющий диффеоморфизм. а) Отобр жение С ди1вуеренцируемо (С Е С' ', если е Е С') по теореме ~т Плоскость К" и прямая с направлнющим вектором е + е трансверсальиы. Итак, С, есть линейное отображение Кв ы на К"~~, следовательно, изоморфизм (нкобиан С, в точке (2а, щ>) отличен от О). По теореме об обратной функции С локальный диффеоморфизм, Теорема доказана.
з32. Теорема о дифференциуусмости б) Отображение С з выпрямляющее, так как С„переводит стандартное векторное поле е (ц = О, 1 = 1) в С,е = о, поскольку я(1, ц) удовлетворяет уравнению (6). в) Отображение С есть локальный диффевморфизм. Действительно, сосчитаем линейный оператор С„~м „на трансверсальных плоскостях К" ' и К'. Находим С,~н — = Е, С,~н е = сс. Итак, оператор С,~м , переводит пару трансверсальных надпространств К ~ и К1 С К" в пару трансверсальных надпространств.
Поэтому С„~м линейное отображение К" на К", следовательно, изоморфизм. По теореме об обратной функции С вЂ” локальный диффеоморфизм. Теорема доказана. ЗАмечлние. Поскольку теорема о дифференцируемости доказана с потерей одной производной (о б С' =-~ у б С' ~), то и у выпрямляющих диффеоморфизмов мы также гарантируем лишь класс гладкости С' ~. В действительности построенный выпрямляюший диффеоморфизм имеет класс С"; доказательство приведено ниже. 6. Последняя производная. В теореме о дифференцируемости (п. 2) мы предполагали поле о дважды непрерывно дифференцируемым. В действительности достаточно однократной непрерывной дифференцируемости. Теорема. Если правая часть п(1, щ) дифференциального уравнения щ = о(1, щ) непрерывно дифференцируема, то решение у(1, щ) с начальным Условием П(1О, щ) = ю зависит от начальных Условий непРерывно дифференцируема: (7) о с С =-Ь Е б Сс.
Следствия. 1) ОЕС"=-~д'ЕС" прис>1. 2) Построенные в и. 5 вьтрямляюшие диффеаморфиэмы г раз непрерывно диффереицируемы, если а Е С". Следствии выводится из соотношения (7) дословным повторением рассуждений пп. 3,4,5. Доказательство же самой теоремы (7) требует некоторых ухищрений. Доклзлтельстао теОРемы. Начнем со следующих замечаний. Глава 2 Лемма 1.
Решение линейного уравнения у = А(1)у с непрерывно зависящей от 8 правой частью существует, непрерывно, определяется начальными условиями <Р(со) = уо однозначно и зависит от уо и 1 непрерывно. Действительно, доказательство теорем существования, единственности и непрерывности (3 31) использовало только дифференцируемость по х при фиксированном г (фактически даже только условие Липшица по х). Поэтому доказательство сохраняет силу, если зависимость от 1 предполагать лишь непрерывной. Лемма доказана. Заметим, что от уо решение зависит линейно, а от 1 — непрерывно дифференцируемо, поэтому принадлежит классу С по уо и 1 вместе.
Лемма 2. Если линейный оператор А в лемме 1 зависит еще от параметра а, так что функция А(1, а) непрерывна, то и решение будет непрерывной функцией от уо, 1 и а. Действительно, решение можно построить как предел последовательности пикаровскнх приближений. Каждое приближение непрерывно зависит от уо, ги сь Последовательность приближений сходится равномерно относительно уе, 1 и а, меняющихся в достаточно малой окрестности любой точки (уо, го.
ыо). Поэтому предел — непрерывная функции от уо, Г и сг. Лемма 2 доказана. Применим лемму 2 к уравнению в вариациях. Лемма 3. Система уравнений в вариациях *. = е(1, *), у = в.(1, *)у имеет решение, которое определяется своими начальными данными одно- значно и зависит от них непрерывно. если только поле е класса С .
Действительно, первое уравнение системы имеет решение по теореме существовании 3 31. Это решение определено своими начальными условиями (го. хо) однозначно и зависит от них непрерывно. Подставим это решение во второе уравнение. Получим линейное уравнение относительно у. Его правая честь непрерывно зависит от 1 н — как от параметра — от начального условия хо рассматриваемого решения первого уравнении.
По лемме 2 это линейное уравнение имеет решение, которое определяется своими начальными данными уо и является непрерывной функцией от 8, уо и параметра хо. Лемма 3 доказана. Таким образом, уравнения в вариациях разрешимы и в случае в Е С .
Заметим, что в случае е б С мы доказали, что производнан решения по начальным данным удовлетворяет уравнению в вариациях (3). Теперь же мы не можем этого утверждать: ведь мы еще не знаем, существует ли такая производная. 315 532. Теорема о дифференцируемости Чтобы доказать дифференцируемость решения по начальным условинм, рассмотрим сперва частный случай. Лемма 4.
Если векторное поле о(г, х) класса С' равно 0 в точке х = 0 при всех г влзесте со своей производной о„то решение уравнения х = о(й х) дифференцируежо по начальник услоеиялз в точке х = О. Действительна, по условию )е(г, х)) = о()х~) в окрестности точки х = О. Оценим погрешность приближении и = хо к решению х = со(г) с начальным условием цз(го) = хп по формуле и. 3 3 30. при достаточно малых ~хо ~ и ~У вЂ” Уе ~ находим ~уз — хо~ < ~ о(т. хо) йг < ТС шах е(т, хо), 1 1-Л/ ' ' - .<« зь где константа ТС не зависит от хе. Итак, ~цз — хо) = о(~хе~), откуда следует,что у дифференцируемо по хе в нуле, что и требовалось доказать. А теперь мы сведем общий случай к специальной ситуации леммы 4: длн этого достаточно выбрать в расширенном фазовом пространстве подходящую систему координат.
Прежде всего, мы всегда можем считать рассматриваемое решение нулевым: Лемма 5. Пусть х = ~р(г) — решение уравнения х = о(й х) с правой частью класса С', злданной в области расширенного фазового пространстве И х К". Тогда существует С'-диффеожорфизи расширенного фазового пространство, сохраняющий время ((й х) ь — ь (г, хз(г, х))) и переводящий решение чо в хз = О. Действительно, достаточно сделать сдвиг хз = х — цз(г), поскольку уз 6 С~. Лемма 5 доказана.
В системе координат (г,хз) правая часть нашего уравнении равна 0 в точке хз = О. Покажем, что производную правой части по хз можно также обратить в нуль при помощи подходящей линейной по х замены координат. Лемма 6. В предположениях лелины 5 координаты (й хз) можно выбрать так, что уравнение х = е(г, х) будет эквивалентно уравнению хг = ез(й хг), где поле ог равно 0 в точке хг = 0 вместе со своей производной дог/Вхз. Притом функцию хг(г. х) можно выбрагпь линейной (не обязательно однородной) относитпельно х. Согласно лемме 5 можно считать, что ез(г, 0) = О. Чтобы доказать лемму 6 рассмотрим сперва ее частный случай: Лемма Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
