Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Доказательство теорем существования и непрерывной зависимости от начальных условий Здесь строится такое сжатое отображение полного метрического пространства, что его неподвижная точка определяет решение данного дифференциального уравнении.
1. Последовательные приближения Пикара. Рассмотрим дифференциальное уравнение ж = е(1, е), заданное векторным полем о в некоторой области расширенного фазового пространства К"~ (рис. 214). 296 Глава Л' Назовем отобралсением Пикара отображение А, переводншее функцию у: 1 ~ — 1 ж в функцию А<р: 1 г — > ж, где (А~р)(1) = жо + / о(т, ~р(т)) гЬ.. м Геометрически переход от ~р к А~р (рнс. 215) означает построение по кривой (у) новой кривой (Ау), касательная которой при каждом 1 параллельна данному полю направлений, но не на самой кривой (А~р) тогда Аш было бы решением, — — а в соответствуюшей точке кривой (1о).
Имеем у решение с начальным условием с=:о (оэ = Аго). у(со) = то Вдохновлянсь теоремой о сжатых отображениях, рассмотрим последовательность приближений Пикара ~р, Аоо, Алло, ... (начав, скажем, од=то). М) Ад) Рис. 216. Приближение Пикара для уравнения й = 1(1) Рис. 217. Приближение Пика- ра для уравнения й = л Пгимвг 2. и = е, со = 0 (рис. 217). Сходимость приближений в этом Пгимвг 1.
е = 7(г) (рис. 216). (А~р)(С) = ее + ( Г(т)йт. В этом случае со уже первый шаг приводит к точному решению. 297 З 31. Доназатеяаство теорем существования случае можно усмотреть непосредственно; в точке 1 Чг = 1, 1ж/ Ат=1+1, о ~г 1+~П+т)аг =1+1+ —, 2' о А~~р = уг А у=1+1+ — +...+ — ' 2 ''' о!' 1пп А со=с. ЗАмечАние 1. Таким образом, два определения экспоненты ухв 1г 1) е' = !пп (1+ — ~, 2) е = 1+ 1+ — +...
я — гсс Х 2 соответствуют двум способам приближенного решения простейшего дифференциального уравнении х = ок способу ломаных Эйлера и по- следовательным приближениям Пикара. Исторически исходное опреде- ление экспоненты было просто." 3) е«есть решение уравнения х = и с начальным условием тП)) = 1. Длн доказательства сходимости последовательных приближений мы построим полное метрическое пространство, в котором отображение Пикара сжато.
ЗАмечАние 2. Аналогичным образом можно доказать сходимость приближений для уравнения я = Аш. Причина сходимости последовательных приближений в общем случае заключается в том, что уравнение а = Йх «самое плохоем последовательные приближения для любого уравнения сходятся не медленнее, чем для некоторого уравнения вида х = Йш. Глава Ь' Вначале напомню некоторые факты из курса анализа. 2. Предварительные оценки.
1) Нориса. Будем обозначать норму вектора ж евклидова пространства К" через ~ж~ = гг(х, ж). Пространство К" с метрикой р(ж, р) = = ~ж — у~ — полное метрическое пространство. Отметим два важных неравенства: неравенство треугольника [ж+ И[ < [ [+ !и[ и неравенство Шварца' 2) Векторный интеграл. Пусть у: [о, Б) — ь Кк — вектор-функция со значениями в й", непрерывная на [а. Ь). Вектор-интеграл ь Х = / у(ь) м' ьС мэ определяется обычным образом (с помощью интегральных сумм).
Лемма. Доклзлтельстно. Сравним интегральные суммы с помощью неравенства треугольника: ~ 2 у(бь)сл;~ < 2 [~(1ь)[~Ь;~, что и требовалось доказать. Напомним доказатезьство этих неравенств. Проведем через векторы и и й евкзидове пространства двумерную плоскость. Эта плоскость нзсаедует из Н евкзидову структуру. На евкзидовой плоскости оба неравенства известны иэ эзементарной геометрии. Тем самым эти неравенства доказаны и в любом евкзидовом пространстве, например в Н . В частвости, мы доказази без всяких вычислений, что ь ь ь в,р; < 2 из 2 уз, / улль~ < (' тзоь/ йзаь '=1 з=1 *=1 ь / У(б) «1 о ь / [У(б)[ 11 . о 299 3 31. Докоэвтеластво теорем существования 3) Норма оператора.
Пусть А: Кш — э и" — линейный оператор из одного евклидова пространства в другое. Мы будем обозначать его норму через (Ах) )А) = впр ееи" 10 И Тогда )А + В! < )А(+ )В), )АВ! < )АОВ). (2) Множество линейных операторов из К в К" становится полным метрическим пространством, если положить р(А, В) = ~А — В). Р1 ~ р, Рис.
218. Условие Липшица рэ < 2рэ Рис. 219. Производная отображении 1 рз(Ах, Ау) < йрэ)зхц у) Чх, у Е Мы Отображение А удовлетворяет условию Лилшица, если существует постоянная В такая, что А Е уйр В. ЗАдАчА 1. Удовлетворяют ли условию Липшицв следующие отображении (метрика везде евклидова)2 1) у=х: хберц 2)У=эссх, х)О; (хпхэ)ЕП' 4)у=ф — хэ, хэйхе, 3) у = э~хе + т,ээ, х 1п х, О <т.
<1, 5)е= О х=б; б) у=х, хбО, !х~(1. 3. Условие Липшица. Пусть А: Мэ — + Мз отображение метрического пространства Мэ (с метрикой рэ) в метрическое пространство Мз (с метрикой рз) и В положительное вещественное число. Определение. Отображение А удовлетворяет условию Липшица с постоянной В (пишется: А б Ыр В), если оно увеличивает расстояние между любыми двуми точками Мэ не более, чем в В раз (рис. 218): Глава 4 ЗАДАЯА 2. Докажите, что сжатость ~ условие Липшица ~ непрерывность. 4. Диффереицируемость и условие Лившица. Пусть у: 11 -+ К" — гладкое (класса С', г > 1) отображение области 11 евклидова пространства Ио' в евклидова пространство К" (рис.
219). Касательное пространство к евклидову пространству в каждой точке само имеет естественную евклидову структуру. Поэтому производная у в точке ш 6 11 С К У,.: т.К" -ь т„.,К есть линейный оператор из одного евклидова пространства в другое. Очевидна Теорема. Непрерывно диуяуереяцируемое отображение у яа всяком еыпуялом компактном подмножестве И области Сь удовлетворяет условию Лившица с постоянной Н, равной верхней грани производной у яа И: Рис. 220. Из непрерывной дифферениируемости вытекает выполнение условия Липшица А = опр (~„!. не и ДОКАЗАткльство. Соединим точки ш, у Е И отрезком (рис. 220).
х(1) = ш + 1(у — ш), 0 < 1 < 1. По формуле Ньютона — Лейбница 1 1 У(у) — ~(ш) = / — "(Д(х(т))) дг = ~~„,~,1х(т) Йт. о о Из форльул (1), (2) и. 2 и из того, что 2 = у — ш, имеем 1 < / Ь)у — ш) Йт = л|у — ш), о что и требовалось доказать. Ь 31. Доказательство теорем сузиестеоеанин ЗАмечАние. Верхння грань нормы производной ~~,) на г достигаетсн.
Действительно, по предположению у Е С~, и, значит, производнан у, непрерывна. Следовательно, ) ~„~ достигает на компакте с, максимума 1,. Приступан к доказательству сходимости пикаровских приближений, мы рассмотрим их в малой окрестности одной точки. Длн описания этой окрестности мы используем следующие четыре числа. 5. Величины С, Х.
а'. Ь'. Пусть праван часть п дифференциального уравнения ф = п(г, ж) определена и дифференцируема (класса С", г > 1) в области Г расширенного фазового пространства: С С К~ х К". Мы фиксируем евклидову структуру в К" и тем самым в Т Ко. Мз гз гз Рис. 221. Цилиндр Ц и кпнус Ко Рнс. 222, Определение Ь(й к) Рассмотрим любую точку 11о, то) Е Г (рис. 221).
Цилиндр Ц=11,ж: )Ь вЂ” бо) <а, !ж — жо) <Ь) при достаточно малых а и Ь лежит в области Г. Обозначим через С и Л верхние грани величин )и! и )п,! на этом цилиндре'. Они достигаются, так как цилиндр компактен: )и! < С, )и,! < 1,. Рассмотрим конус Ко с вершиной (Ьо, жо), раствором С и высотой а'.
Ко = 1», ры ~1 — бо! < а', )ж — жо! < С)1 — 1о)). тнвездочкой здесь и далее обознечзетси производное (по к) при фиксированном С 302 Глава 4 Коли число и' достаточно мало, то этот конус Кв лежит внутри цилиндра Ц. Если числа а', Ь' ) 0 достаточно малы, то внутри Ц лежит также вснкий конус К, полученный из Ко параллельным перенесением вершины в точку (1в, ж)„где )а — ао) < Ь'. Мы будем считать, что а' и Ь' выбраны столь малыми, что К, С Ц. Решение ср ураввения (3) с начальным условием у(ьв) = ж мы будем искать в виде ср(1) = ш + Ь(1, ш) (рис. 222).
Соответствующал интегральная кривая лежит внутри конуса К . 6. Метрическое пространство ЛХ. Рассмотрим всевозможные непрерывные отображения сс цилиндра )ж — щс! < Ь', )1 — ьо~ < а' в евклидова пространство ш". Через М мы обозначаем множество таких отображений, удовлетварнющих еще условию (4) !Л(1, ж)~ < С!1 — 10! (в частности, п(1, кв) = О). Введем в М метрику р,полагая р(йс, (сг) = 1~(ьс — Ьг~! = спал ~(гс(1., и) — Ьг(1, ж)~. !е — со~<а' ~С вЂ” Се|<а' Теорема. Множество М, снабженное метрикой р, явлнвтсл полным метрическим пространством.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
