Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 50
Текст из файла (страница 50)
С ростом й гь быстро растет (рис. 208). Заметим также, что для уравнения (3) в неустойчивом случае величина з растет неограниченно. В реальных системах колебания достигают лишь конечной амплитуды, так как при больших ш само линеаризованное уравнение (3) теряет силу и нужно учитывать нелинейные эффекты. 4. Вычисления. Злдлчп 1. Найти вид областей устойчивости на плоскости ес ы для системы, описываемой уравнением (4) й = — /(1)а, /(1 + 2н) = /(1), /(1) = ог+е прк 0(Г<н, е (( 1. ы — е крк н(2 <2гь Рвшкнив.
Ич решения предыдущей задачи (1 и. 3) следует, что А = АгАг, где ( и г/и) сп = совины еп = шцпчоы Поэтому граница зоны устойчивости имеет уравнение ) Сг А) = ~2сгсе — (ыг/ыг + игг/ыг)егег ( = 2. Так как е « 1,имеем игг/игг = (ог + е)/(ы — е) 1. 288 Глава Я Введем обозначение ач/ыз + ьгз/гзг = 2(1 + Ь). Тогда, как легко сосчитать, гл = 2сз/шз + 0(с~) << 1.
Пользуясь соотношениями 2сгсз = соз 2нс + соз 2наг, 2шзг = сов 2кс — соз 2нюг перепишем уравнение (5) в виде — Ьсоэ2яс+ (2+ Ь) сов 2яаг = ж2 или соз2ггш = (2+ Ьггоз2не)/(2+ Ь), (бг) соз 2зш = ( — 2+ г1 сов 2нс)/(2 + Ь). (6з) В первом случае соз2льг 1. Поэтому положим ог = гг+а, ~а~ << 1: сов 2ньг = соз 2яа = 1 — 2вза + 0(а ). Перепишем уравнение (бд) в виде соз 2ньг = 1 — (1 — соз 2хс) Ь 2+ г2 или 21гза + О(а ) = Ьн с + О(с ). Подставлян значение гл = (2с~/ьг~) + 0(сз)г находим а = шс~/ьг~ + о(ез), т.е. ьг = к ~ аз/Аз + о(сз) (рис.
209). Аналогично решается уравнение (6з); в результате получаем ы = зг~с/(нлг) + о(г), зг = 1+1/2. Рис. 209. Область неустойчивости для уравнения (4) Злдлчл 2. Может ли верхнее, обычно неустойчивое, положение равновесия маятника стать устойчивым, если точка поднесл колеблется в вертикальном направленииу 328. Линейные ураенен л с периодическими коэффициент ми 289 Рвшинив. Пусть длина маятника 1, амплитуда колебаний точки подвеса а « 1, период колебаний точки подвеса 2т, причем в течение каждого полупериода ускорение точки подвеса постоннно и равно тс (тогда с = 8а/т ). Оказывается, при достаточно быстрых колебаниях подвеса (г « 1) верхнее положение равновесии становится устойчивым.
Уравнение движении можно записать в виде й = (ы т сч )л (знак меняется через времн т), где ы~ = л/1, п~ = с/1. Ксли колебании подвеса достаточно быстры, то о > ы (сч = 8а/(1т )). Аналогично предыдущей задаче, А = АзАм где ЬЬ Ь зЬЬ '- (Ьаьйт сЬЬ. / созйт й япйт ) — йз(пйт созйг "=(-. ' ) Условие устойчивости ~ сгА! < 2 имеет поэтому вид ~2сЬЬтсозйт+ (Ь/й — й/Ь) зЬЬтэшйт~ < 2. (7) Покажем, что условие это выполнено при достаточно быстрых колебаниях точки подвеса, т.е.
когда с > л. Введем безразмерные переменные е, ри а/1=с «1, 8/с=и «1 Тогда Ьт = 2ч/2сч/Г+ рз, йт = 2чГ2с~/1 — рз, Ь/й — й/Ь = 2рз ч-О(д~). Поэтому при малых е, р справедливы разложения с точностью о(с~+у~): сЬ Ьг = 1+ 4с~(1 Ц- д~) + 2е~/3+..., созйт = 1 — 4е (1 — р ) + 8е /3 +..., (Ь/й — й/Ь) зЬ Ьт яп йт = 16сз рз ч-... Итак, условие устойчивости (7) принимает вид 2(1 — 16е + 1бе /3+8е р +...)+16е и <2. 19 Заказ гвИ17 Пренебрегая малыми высшего порядка, находим (2/3)16е~ > 32рзез или д < с/ч/3, или еще л/с < а/(31). Это условие можно переписать в виде )ч' > т/3/32оЛ/о 0.,3ы(/а, где /ч' = 1/(2т) — - число колебаний точки подвеса в единицу времени.
Например, если длина мантника 1 = 20см, а амплитуда колебаний точки подвеса а = 1см, то )ч' > 0,31ч/980/20 20 43 (колебаний в секунду). В частности, верхнее положение равновесия устойчиво, если число колебаний подвеса в секунду больше 50. 290 Глава Я В 29. Вариация постоянных При исследовании уравнений, близких к уже исследованным, «невозмушенным» уравнениям, часто полезен следующий прием. Пусть с — первый интеграл «невозмушенного» уравнения. Тогда для близких «возмушенных» уравнений функция с уже не будет первым интегралом. Однако часто удается узнать (точно или приближенно), как меняются со временем значения с(у(1)), где ~р решение «возмущенного» уравнения.
В частности, если исходное уравнение -- линейное однородное, а возмущенное — неоднородное, то этот прием приводит к явной формуле для решения, причем в силу линейности уравнения никакой «малости» возмущения не требуется. 1. Простейший случай. Рассмотрим простейшее линейное неоднородное уравнение и = у(1), ж Е К", 1 Е 1, соответствующее простейшему однородному уравнению (2) Уравнение (1) решается квадратурой: 2.
Общий случай. Рассмотрим линейное неоднородное уравнение и = А(1)а+ Ь(1). ж Е К", 1 Е 1, (4) соответствующее однородному уравнению (5) л = А(1) з. Предположим, что мы умеем решать однородное уравнение (5) и х = у(1) — его решение. Выберем начальные условия с = р(го) в качестве выпрямляюших интегральные кривые уравнения (5) координат (с, 8) в расширенном фазовом пространстве (рис. 210). 291 З 29. Вариация постоянных В новых координатах уравнение (5) примет простейший вид (2).
Переход к выпрнмляющим координатам осуществляется линейным по х преобразованием. Поэтому в новых координатах неоднородное уравнение (4) примет простейший вид (1), и мы его сможем решить. 3. Вычисления. Будем искать решение неоднороднос о уравнения (4) в виде Рис. 210. Координаты точки с являютсн первыми интегралами однородного уравнения где Вс с В" — с В" — линейный оператор преобразования за времн от 1о до 1 для однородного уравнения (5). Дифференпирун по й находим со = Все + Все = АВсс+ Все = Аср + Всс. Подставлян в уравнение (4), находим всс = Ь(1). Итак, доказана Теорема.
Формула (6) дает решение уравнения (4), если и только если с удовлетворяет уравнению с = у(1), где уЯ = (яс) с1с(1). Последнее уравнение имеет простейший вид (1). Применяя формулу (3). получаем Следствие. Решение неоднородного уравнен я (4) с начальным условием ш(1о) = с имеет вид с , =.(.,у.-".") то ЗАМВЧАНИЕ. В координатной форме доквзанную теорему можно сформулировать так: Чтобы решить линейное неоднородное уравнение (4), зная фундаментпальную систему решений однородного уравнения (б), достаточно подстпавить е неоднородное уравнение линейную комбинацию решений фундаментальной системы, считая коэффициенты неизвестными функциями времени.
Для определения этих коэффициентов получится тогда простейшее уравнение (1). 292 Глава Я ЗАДАЧА 1. Решить уравнение й+ ж = ~(г). Решение. Составим однородную систему двух уравнений: Х1 = Ш2 22 = и! Ее фундаментальная система решений известна: (шг = сов1, ег = — 8)п/); (зг = вш/) иг = сов с). По общему правилу ищем решение в виде лг = /1(/) сов /+ сг(1) вш/, зг = — сг(/) япв + сг(с) соей Длн определения сг и сг получаем систему с) сов б+ сг вш1 = 0) — сг яп1-)- сг сов г = / (1).
Следовательно, с1: / (/) 8(п / с2: / (/) сов й ОТВЕТ. 1 .(и = [с(О) - ) /(.) .. /, ... , .(О) + ) /( ) -.,Ь~ 2. С о о ГЛАВА 4 Доказательства основных теорем В атой главе доказываются теоремы о существовании, единственности, непрерывности и дифференцируемости решений обыкновенных дифференциальных уравнений, а также теоремы о выпрямлении векторного поля и полн направлений. Доказательства содержат также способ приближенного построения решений. В 30. Сжатые отображения Рассмотренный ниже метод отыскании неподвижной точки отображения метрического пространства в себя применнетсн далее для построения решений дифференциальных уравнений. А 1.
Определение. Пусть А: М -+ М отображение метрического пространства М (с метрикой р) в себн. Отображение М называется сжатым, если существует постоянная Л, 0 < Л < 1, такая, что р(Ах, Ау) < Лр(х, у) Чх, у Е М. (1) Рис. 211. Неподвиж- Пгимвг 1.
Пусть А: И" — г В" вещественная ная точка сжатого функция вещественного переменного (рис. 211) Если отображения производная А по модулю всюду меньше 1, то отображение А может и не быть сжатым. Но оно будет сжатым, если )А'! < Л < 1. Пгимвг 2. Пусть А: Н" — ~ К" — линейный оператор. Если все собственные числа А лежат строго внутри единичного круга, то в Н" существует такая евклидова метрика (функция Ляпунова. см. З 22), что А — - сжатое отображение. ЗАдАчА 1. Какие нз следующих отображений прямой (с обычной метрикой) в себя сжаты? 1) у = з1а х„2) у = а~хе + 1; 3) у = згссб х.
Злдлчл 2. Можно ли заменить знак < в неравенстве (1) на <? 294 Глава Л' 2. Теорема о сжатых отображениях. Точка:с Е М называется неподвижной точкой отображения А: М вЂ” г М, если Ах = х. Пусть А: М ь М вЂ” сзкатое отображение полного метрического пространства М в себя. Тогда А имеет неподвижную точку, и притом только одну. Для любой точки х из М последовательность образов точки х при применении А (рис. 212) х, Ах, Азх, Азх... сходится к неподвижной точке. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть р(х, Ах) = д. Тогда р(А"х. А" "'х) ( Л"д.
АХ = А !пп А"х = !нп Аа+зх = Х. в — з вв в >сО "" 2'б А х Ах ех Рис. 213. Оценка точнос- ти приближения х к непо- движной точке Х Рнс. 212. Последовательность образов точки х прн повторении сжатого отображении А Ряд 2 Л" сходится. Поэтому последовательность А"х. п = О. 1. 2..... в=о являетсн последовательностью Коши, Пространство М полно. Поэтому существует предел Х = Пгп А"х. Покажем, что Х вЂ” неподвижная точка А.
Заметим, что всякое сжатое отображение непрерывно (можно взнть д = е). Поэтому 295 З 30. Даиаэателастаа теорем ауи1естааааиил Покажем, что всякая неподвижнан точка 1' совпадает с Х. Действительно, р(Х, У) = р(А», АУ) < Лр(», У), Л < 1 =~ р(», 1) = О. 3. Замечание. Точки т, Ат, Азт.... называются последовательными приближениями к Х. Пусть и — приближение к неподвижной точке Х сжатого отображения А.
Точность этого приближения легко оценить через расстояние д между точками з и Ааа р(аа Х) < ибо Л+ ЛА+ Лза+... = ' (рис. 213). 1 — Л 10 с Рис, 214. Интеграль- ная кривая уравне- нил е = а(й е) Рнс. 215. Отображение Пикара А 3 31.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
