Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Если группа состоит из сдвигов вдоль примой, то уравнение с такой группой симметрий решено в ~ 1, стр. 18 (формула Барроу). Мы покажем, что общий случай сводится к этому подходящим диффеоморфизмом (т.е. разумным выбором локальных координат на плоскости).
Лемма. В окрестности любой яестациояарной точки действия однопарамвтричвслой группы диузузеоморузизмов яа плоскости можно выбрать координаты (и, о) так, что данная однопараметричвская группа диффеоморфизмов запишется в виде группы сдвигов: 8л(и.п) = (и+ ч,о) при достаточно малых ~и), (о~, (в~.
Эта формула означает, что координата о нумерует орбиты данной группы, а координата и на каждой орбите есть просто время движения (отсчитываемое от некоторой линии на плоскости). 85 з 6. Симметрии ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. г Проведем через данную точку О линию Г, пересекающую трансверсально (под ненулевым ™ углом) проходящую через нее фазовую кривую (8"О) (рис. 62).
Пусть и — координата точки Т(о) на этой линии, отсчитываемая от точки О. Рис. 62. ВыпрямлеРассмотрим отображение Ф плоскости (и, о) на на- нне однопараметрншу плоскость, переводящее точку с координата- ческой группы днфми (и, и) в 8ат(и). Это отображение диффео- феоморфнзмов морфизм окрестности точки (0,0) на окрестность точки О. Поэтому (и, и) — локальные координаты. В координатах (и, о) действие д' принимает нужный вид, поскольку 8'д = 8 ь Теорема следует из леммы.
так как в системе координат (и, о) наклон данного поля направлений не зависит от и. ЗАМЕЧАННЕ. Приведенное доказательство дает также метод явного интегрирования уравнения; в координатах леммы оно принимает вид ди/ди = !и(о) (линию Г нужно взять не касательной направлению денного полн в О). Практически не всегда удобно пользоваться именно этими координатами. Достаточно, чтобы линии и = сопл! были орбитами данной однопараметрической группы диффеоморфизмов; в качестве другой координаты вместо и можно взять любую функцию от и, скажем ж Важно лишь, чтобы преобразования 8 переводили линии г = сопл! друг в друга.
В системе координат (г,о) исходное поле направлений определит уравнение с разделнющимися переменными ди/иг = ш(и)/(г), где /(г) = ди/их. ЗАДАЧА 1. Пусть известна однопараметрнческая группа симметрии поля направлений в и-мерной области. Свести задачу интегрирования соответствуюшего дифференциального уравнения к нахождению интегральных кривых поля направлений в области размерности и — 1.
Указание. Пространство орбит группы симметрий имеет размерность и — 1. 3. Однородные уравнения. Определение. Уравнение называется однородным, если задающее его поле направлений на плоскости однородно, т.е. инвариантно относительно однопараметрической группы растяжений, 8'(х,р) = е"(х, у) (рис. 63). 86 Глава 1 Рис. 65. Интегральные кривые однородного уравнения Рис. 63. Поле направлений однородного уравнения Рнс. 64. Коорди- наты для реше- ния однородного уравнения Область определения такого поля — не обязательно вен плоскость: достаточно, чтобы это поле было задано в какой-либо области, инвариантной относительно растяжений (например, в угле).
Злдлчл 1. Какие из уравнений Ну/дх = у/х, х/у, 1пх — 1в у (х > О, у > О) однородны? Ответ. Все три. Теорема. Однородное уравнение ду/дх = г'(х, у) приводигпся к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой у = ох (т. е. переходом к координатам (х, о)) в области х > О. Если К вЂ” интегральная кривая однородного уравнения, то гомотетичная ей кривая е'Л тоже интегральная (рис. 65).
Таким образом, для исследования всех интегральных кривых однородного уравнения достаточно нарисовать одну кривую в каждом секторе плоскости. ДОКАЗАТЕЛЪСТВО. Орбиты группы растнжений — это лучи проходящих через О прямых (рис. 64). В качестве линии Г возьмем прнмую х = 1 с обычным параметром у на ней. Указанные в лемме координаты и н о это и = 1п т, и о = у/х. По замечанию п. 2 в координатах (х., о) переменные разделяются. ЗАДАЧА 2.
Решить уравнение ду/дх = д/х+ у /х, х > О. Рвшвнив. ду = одх -1- хдо, ду/дх = а + хдо/дх, еде/дх = о~, — 1/о = 1и х -1- С, у = — х/(!их -1- С). ч 6. Симметрии Злдлчл 3. Нарисовать интегральные кривые уравнения ду/дх = 2у/х + у~/х~. Ответ. См. рнс. 65. Определение. Функция / называется однородной степени г, если она удовлетворнет тождественному соотношению /1е'х) = е" /1х). Иными словами, однородная функция степени г — это общий собственный вектор всех линейных операторов (е")", с собственными числами е'". Оператор д* (действие диффеоморфизма я на функции) определен в 2 5, стр. 77. Пгимег. Нарисуем на плоскости р,у прямую р + Ч = г.
Много- член ~ а, хгуч однородный степени г, если и только если показатели всех входнщих в него с ненулевыми коэффициентами одночленов лежат на этой примой 1называемой диаграммой Ньютона). Теорема (Эйлера). Чтобы функция / была однородной стелени г, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла соотношению Эйлера ') х;д//дхг = г/. Соотношение Эйлера означает, что / — собственный вектор оператора дифференцирования вдоль изображенного на рис. 61 эйлерова полн (поля фазовой скорости группы растяжений, е') с собственным числом г.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Соотношение Эйлера получается дифференцированием определения (1) однородной функции по в прн в = О. Соотношение (1) получается из соотношения Эйлера интегрированием дифференциального уравненин с разделяющимисн переменными, задаваемого соотношением Эйлера на каждой орбите группы растяжений: д//дх = г//х. Для того чтобы поле направлений уравнения ду/дх = Г(х, у) было однородным, необходимо и досгпаточно, чтобы правом часть была однородной функцией степени О. Например, годитсн отношение любых двух однородных многочленов одинаковой степени.
88 Глава 1 Злмнчлник. Переход от координат (х, у) к координатам (х, о = у/х) в области х ~ 0 и к координатам (и = х/у, у) н области у Р 0 назынаетсн сигма-процессом или раздутием тпочьи О. Эта конструкции имеет простой геометрический смысл: она означает переход от плоскости к поверхности, получающейся из нее выкидыванием начала координат и вклеиванием Рис. 66. Сигма-процесс вместо него целой проективной прямой.
Вот как это делается. Рассмотрим отображение (расслоение) аы (Из ~ 0) ь ИР~, определяющее праективную прямую . Отображение сг сопоставляет точке плоскости прнмую, соединяющую ее с нулем. График отображении ы (рис. 66) представляет собой поверхность Я в пространстве (Иг ~ 0) х ИР~. Вложение Иг ~ 0 в Из вкладывает этот график в произведение М = Из х ИР (диффеоморфное внутренности баранки.). ЗАдАчА 4.
Доказать, что замыкание графике н М представляет собой гладкукз поверхность. Указение. Уравнении у = пх, х = пу определяют гладкие поверхности. Эта поверхность Х (замыкание графика) состоит из самого графика и линии 0 х ИР (диффеоморфной окружности). Проектирование М на первый сомножителгч Из, определяет гладкое отображение поверхности Х на плоскость. Это отображение называется сдуаоиием. Оно переводит есю окружность 0 х ИР~ в точку 0 и диффеоморфно отображает остальную часть Х (т.е. график) на плоскость без точки. Задача 5.
Доказать, что поверхность Х диффеоморфна листу Мебиуса. Всевозможные геометрические обьекты, имеющие особенность в точке О, можно поднять с плоскости без точки на Х, пользунсь указанным выше диффеоморфизмом. При этом оказываетсн, что при переходе наверх (на Х) особенности упрощаются. Повторяя процедуру раздутия, можно, как говорят, разрешать особенности. Например, можно превратить любую алгебраическую кривую с особенностью в точке 0 в кривую. не имеющую особенностей. кроме точек обычного самапересечения.
Проеятиеной прямой называется множество всех проходящих через 0 прямых на плоскости. Вообще, проектнвное пространство П'"* есть множество прнмых, проходящих через 0 в И 89 з 6. Симметрии ЗАдАчА 6. Разрешить особенность полукубическай параболы хз = уз. Ответ. См. рис. 67. Прн исследовании векторных полей и Рис. 67. Разрешение особенполей направлений также полезно раздутие с центром в особой точке.
Выше мы видели, что в случае однородного полн направлений первое же раздутие приводит к уравнению с резделшашимися переменными. Злдлчл 7. Докажите, чта гладкое векторное поле на плоскости, равное 0 в начале координат, поднимается на поверхность Е в виде поля, гладко продолжающегося на еклеиваемунз при сигма-процессе окружность. 4.
Квазиоднородные уравнения. Зафиксируем на плоскости систему линейных координат (х,у) и зафиксируем два вещественных числа сз и Д. Определение. Группой квазиоднородных рас яжений плоскости называется однопараметрическая группа линейных преобразований 8»(х, у) = (са'х, ер"у). Числа сз и )з называются весами переменных х и у. (Наряду с «квазиоднородный» употребляются термины взвешенно-однородный. обобщенно- однородный).
Обозначение: о = пей х., Д = де8 у. Если сз = Д = 1„то (8') — обычная группа растяп«ений. Определение. Уравнение называется квазиоднородным (с весами гз, Д), если задающее его поле направлений на плоскости инвариантно относительно группы квазиоднородных растяжений. ЗАДАЧА 1. Подобрать веса так. чтобы поле направлений уравнения Иу/дх = — х/у было квазиаднорадным. ОтВет. а= 2, Д= 1. Теорема. Явазиоднородное уравнение ду(дх = Г(х,у) с весами денх = и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
