Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения, страница 10

Устойчивость нулевого решения Возникает естественный вопрос, какое отношение наша теорема о решениях линеаризованного уравнения (3) имеет к исходной задаче о поведении решений нелинейного уравнения (2), т. е. к задаче о фазовых кривых, близких к циклу? ЗАДАЧА 1. Доказать, что если Л > 1, то цикл неустойчив и фазоаые кривые, начавшиеся вблизи цикла, являются разматывающимися спиралями, удаляющимися от него; если Л < 1, то цикл устойчив и фазовые кривые, начавшиеся в его окрестности, являются наматывающимисн на цикл спиралнми. Иными словами, е случаях, когда мультипликатор отличен от 1, линеаризация приводит к правильному суждению об устойчивости цикла.

С другой стороны, если Л = 1, то, хотн решения уравнения (3) и периодичны, было бы 3 3. Линейные уравнелил неверно распространять этот вывод с линеаризованного уравнения (3) на исходное уравнение (2), длн которого близкие к У = О решения, вообще говори, не периодичны, и об устойчивости цикла нельзя судить по линеаризованному уравненная Указвние.

Рассмотреть функцию последования Ф, заданную решениями х уравнении (2) и сопоставлнющую начальному условию У = д(О) при Х = О значение Ф(У) = р(Т). Доказать, что линеаризацин Ф в точке 1 = О есть оператор монодромии. ЗАдАчА 2. Исследовать устойчивость предельного цикла г = 1 для системы, заданной в полярных координатах уравнениями г = (гз — 1)(2х — 1), х = 1 (где х = тсозх).

3. Линейные неоднородные уравнения. Определение. Линейным неоднороднылг уравнением первого порядка называется уравнение (4) ду/их = 1(х)у + у(х). Под решением понимаетсн решение, определенное на всем интервале определения функций 1 и у. Теорема. Если известно одно частное решение линейного неоднородного уравнен я, у = 1о1(х), то все остальные решения меют вид у = 1ох(т) + ~ре(х), где ро — решение однородного уравнен я (1); всякая функция указанного вида удовлетворяет неоднородному уравнению (4). ДОКАЗАтвльство. Пусть А: Ег — + Ез — линейный оператор (рис. 43).

Решении ~ро однородного уравнения А1зо = О образуют линейное пространство Кег А С Еы Образ 1ш А = АЕд образует линейное надпространство в Ез. Если д Е 1т А, то решении неоднородного уравнении А~р = д образуют в Ех аффинное подпространство ю1+ Кег А, параллельное Кег А. В нашем случае А1о = йр/йх — ~у.

Это линейный операторт, поэтому утверждение нашей теоремы вытекает из алгебраической теоремы о решении линейного неоднородного уравнения. Пространства Ь1 и Ьз можно выбирать по-разному. Например, можно считать, что П1 один раз непрерывно дифференцируемые, а Уг непрерывные функции. Глава 1 Длн нахождения частного решения к л и+к л можно воспользоваться методом «вариао ции постоянныхм л д Метод вариации постоннных часто 2 употребляется при изучении влинния все- Рис. 43.

Пространство решв- возможных возмущений. Рассмотрим, наний линейногонеоднородного пример, движение планет вокруг Солнца. уравнения В первом приближении, не учитывая притяжении планет друг другом, мы приходим к независимому движению планет по кеплеровым эллипсам. Зто— решение невозмущенных уравнений движения. Учет возмущаьощего влияния планет друг на друга можно провести так: считать, что планеты совершают кеплерово движение, но параметры кеплеровых эллипсов слегка меннютсн со временем1. Таким образом, величины, бывшие постоннными в невозмущенном движении, рассмвтриваются теперь как функции времени.

Дифференциальные уравнении, описывающие изменения (вариации) этих постоннных, часто бывает проще решать или исследовать, чем исходные уравнении. В частности, в применении к линейным неоднородным уравнениям, где роль невозмущенной задачи играет однородное уравнение, а роль возмущения неоднородность, метод вариации постоннных приводит к явной формуле для решения. В этом случае никакой малости возмущении не требуется. Мы уже знаем, что вснкое решение однородного уравнения (1) имеет вид р = сор(ш), где с — произвольная постояннан, а оо — какое-либо ненулевое решение. Постараемся подобрать функцию с = с(з) так, чтобы р = с(ш)ьо(т) было решением неоднородного уравнения (4).

Теорема. Решение линейного неоднородного уравнения (4) с начальным условием р(зо) = 0 существует, единственно и дается формулой о=) о /пои()~Фо)а. ио оНапример, колебании вксиеитриситета орбиты Земли — одна ив причин наступлении ледников. 'З 3. Линвйвыв уравнения ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Подстановка у = с(х)уо(х) в (4) дает с'у»+ сор' =,Гохр+ д. Но оо — решение однородного уравнения (1). Значит, оо' = ау» и Подставлян вместо ~р известное решение однородного уравнении, получаем (после внесения у(х) под интеграл) формулу (5), что и требовалось доказать. 4. Функция влияния и 6-образные неоднородности. Формула (5) имеет простой «физический смысл».

который выясняется следующим образом. Очевиден Пеипцип схпевпозиции. Если уо» и рз — решения линейных неоднородных уравнений А~р« = д» и Ауоз = дз, то уо» + уоз — решение уравнения Аор = д« + вз. Этот принцип позволнет при ресчете влияния всевозможных нозмущений разделить разные возмущения, вычислнть их влияние по одному и складывать эффекты возмущения (например, если бросить в воду два камин, то можно независимо рассчитать волны от каждого из них и сложить возмущения; при полете снаряда можно независимо вносить поправки на ветер н на отклонение плотности воздуха от табличной, и т.д.).

В применении к нашему неоднородному уравнению (4) роль возмущении играет функция я. Постараемся представить функцию д'в виде линейной комбинации «элементарных возмущений»; тогда решение будет такой же линейной комбинацией решений уравнений с элементарными возмущениями в качестве неоднородности я. Определение.

6-образной пвследоватвл»настаю называется последовательность 6, неотрицательных гладких функций, равных О вне стремящихся к 0 при Х -+ оо окрестностей и обладающих каждая интегралом, равным единице. 58 Глава 1 1» Пример такой последовательности легко построить (рис. 44). Физики говорят, что «предел последовательности 6, есть б-функция Дирака, равнан нулю всюду, кроме точки О, и имеющан интеграл 1м Конечно., функции Б с такими свойствами не Рис. 44. б-образная существует.

последовательность Тем не менее многие величины, в определе- ние которых входит функции 6;„, при 1«' — » аа стремятся к определенным пределам, которые и называютсн соответствующими величинами, вычисленными для д-функции. Например, длн любой непрерывной функции я 1пп ~ ~ Ья(х)д(х) Из: = я(О) (докажите!). Поэтому по определению б(ж)я(а) «)а = я(О). Точно так же, сдвиган все Ь, на ~ по оси т. находим Ь«в б(а — ОКЫ г)а = 8(1) т.е.

Б( — г) есть «д-функция, сасредоточеннан в точке 4». Последнюю формулу можно также воспринимать как представление любой гладкой функции д в виде «континуальной линейной комбинации» б-функций, сосредоточенных в разных точках дц с коэффициентами, равными значениям 8' в этих точках. Таким образом, произвольную неоднородность я в уравнении (4) можно разложить в континуальную линейную комбинацию «сосредоточенных в точке» неоднородностей вида сдвинутых 6-функций. Согласно принципу суперпозиции, длн нахождения частного решения уравнения (4) с произвольной неоднородностью достаточно знать это решение для в-образной неоднородности. 59 З 3.

Линейные уравнения Определение. Решение уравнения йу(г1х = ~(х)у+ 6(х — ~), ~ > О, Теорема. Функция Грина дается формулой 0 при х < С, Сй(х) = з' . ехр ) Д~) аС при х > С. (б) ЗАМЕЧАНИЕ. Пак объяснено выше, речь идет о пределе последовательности решении уравнений (7) г1У/дх = Г(х)У+ Йк(х — С), где (гз, ) есть й-образная последовательность, при Ж вЂ > оо. ЭВРИСТИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. При х < с решение равно нулю, так как неоднородность исчезает. При т > с решение совпадает с некоторым решением однородного уравнения, так как неоднородность исчезает. При х, близких к с, второе слагаемое в правой части уравнении (7) велико по сравнению с первым, позтому интеграл от йу/йх по малой окрестности точки С почти равен числу йд,(х — ~) ах = 1. Переходя к пределу при Дг -+ оо, видим, что скачок решения у(х) при переходе х через точку С равен 1, т.е.

при х > С функция Сз переменной х есть решение однородного уравнении с начальным условием у(с) = 1, что и требовалось доказать. гЭта функция называется также заяаздыееющей функцией Грина, во избежание смешания с функциями Грина краевых задач дяя уравнении выше первого порядка, которых мы тут не нвсеемся.

с начальным условием у(О) = 0 называется фуккцией влияния возмуще- ния в момент С ка решение в момент х (или функцией Гринах) и обо- значается так: у = Сз(х). ОО Глава 1 Это рассуждение можно сделать вполне строгим, но проще провести следующее МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Подставляя вместо у сдвинутую на 5 функцию 6, в формулу (5) для решения уравнении (4) и переходя к пределу при з'ч' -+ сю, получвем требуемое: г х г а,~,>= и /..р /логс ~ ( -гч = р /коз~).