Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения, страница 61

Если поле скоростей потенциально, т.е. функция С периодична, то стационарное решение дается расцределеннем Гиббса и(х) = Се При малых е эта распределение сосредоточено вблизи минимума потенциала. Если функция С стремится к — ас на — аа, то стационарное решение имеет вид Оно сосредоточено вблизи такого локального минимума потенциала, для которого превышение максимального значения потенциала на полуоси левее этага минимума над этим минимальным значением максимально.) 12 (А. А. Давыдов).

Ннвалюцией назынаетсн диффеоморфизм, квадрат которого — тождественное преобразование. Инволюцин плоскости называется допустимой относительно векторного полн, если неподвижные точки инволюции образуют кривую и под действием инволюции векторы поля в точках этой кривой меняют знак. Докажите, что в окрестности неособой точки поля все допустимые инвалюцин общего положения эквивалентны (переводятся друг в друга сохраняющими каждую фазовую кривую полн диффеаморфизмами).

(Решение этой задачи доставлнет нормальную форму рз = х урввнш ния, не разрешенного относительно производной, в окрестности нерегулярной тачки общего положении (она найдена Л. Дара н Ю. Бродским). Уравнение Образца~ экэа.неяациояяыз задач 3О1 Е(к, у, р) = О определяет поверхность в трехмерном прострвнстве. В нерегулярной точке ее касательная плоскость вертикальна (касаетсн оси р). В окрестности нерегулнрной точки общего положения возникает инволюция (она переставляет близкие точки пересечения поверхности с вертикальной прямой).

Эта инволюцин допустима относительно векторного полн. касательного к интегральным кривым уравнения на поверхности. Приведение инволюции к нормальной форме эквивалентно нормализации уравнения локальным диффеоморфизмом плоскости (з, у)]. 13 (продолжение). Пусть неподвижнан кривая инволюции, допустимой относительно векторного поля с особой точкой типа фокус, седло или узел, проходит через особую точку, причем модули собственных чисел седла нли узла различны. Докажите, что любые две такие инволащии эквивалентны в окрестности особой точки, если касательные к их неподвижным кривым в особой точке не разделены собственными направлениями. [Эта теорема Давыдова доставляет нормальную форму (р — яз) = у уравнения общего положения, не разрешенного относительно производной, в окрестности нерегулярной точки, в которой плоскость Пу = рйк касается поверхности Г = О; я единственный модуль (инвариант относительно диффеоморфизмов) возникающего «сложенного фокуса, седла или узла», образованного проекциями интегральных кривых на плоскость (щ, 3)].

Решения задач 12-13 доставляют также нормальные формы семейств траекторий медленного движения в теории релаксационных колебаний общего положении при двух медленных переменных. В этой теории в трехмерном пространстве. расслоенном на вертикальные прямые над «плоскостью медленных переменных» задано два векторных поля: одно («быстрое») вертикально, а другое («возмущающее») произвольно. Нули быстрого поля образуют «медленную поверхностьк Плоскости, натянутые на векторы обоих полей, высекают на медленной поверхности поле направлений «медленного движенияк Речь идет о семействе проекций интегральных кривых этого полн с медленной поверхности на плоскость медленных переменных. Критические значения проектирования медленной поверхности наплоскость медленных переменных образуют (в системе общего положения) дискриминантную кривую с отдельными точками возврата.

В окрестности общей точки этой кривой семейство проекций диффеоморфно семейству полукубических парабол (у — с) = з~ (это следует из нормальной формы задачи 12). В отдельных точках гладкости дискриминантной кривой семейство проекций диффеоморфно сложенному фокусу, седлу нли узлу (задача 13). Кроме того.

в системе общего положения встречаются отдельные точки гладкости дискриминантной кривой, в окрестности которых семейство можно описать следующий образом. Занумеруем интегральные кривые Образцы энэ э«енационных задач параметром с и рассмотрим семейство их проекций на плоскость (х, у) как поверхность в трехмерном пространстве с координатами (х, у, с)„разбитую на линии с = согшС. Эта поверхность диффеоморфна (локально) поверхности «сложенного зонтика« и = о~ш~, разбитой на линии и+ о + ш = сапам Наконец, в окрестности точки возврата дискриминантной кривой семейство проекций описывается анвлогичным образом при помощи разбиения поверхности «ласточкиного хвоста« (к, е, иы Л -~-пЛ«-~- иЛ -~-«а имеет кратный корень) на кривые и = сапам Последнее семейство проекций, в отличие от описанных раньше, имеет бесконечное число модулей даже относительно гомеоморфизмов плоскости (х, у) (в случае сложенного зонтика модулей нет с точностью до бесконечно-дифференцируемых диффеоморфизмов, но в аналитическом случае появлнетсн бесконечное число независимых модулей).

Решении задач 12 и 13 описывают также особенности семейств асимптотических линий на поверхности трехмерного пространства (семейство полукубических парабол в общей точке параболической линии и сложенный фокус, узел нли седло в отдельных точках касания асимптотического направления параболической линии). Предметный указатель Автоколебавия 50, 163 Алгебра Ли 135 Атласы 318, 319 Аттрактор 51 Ваза расслоения 330 Вариации 101, 307 — постоннных 56, 290 Вектор касательный в точке 75, 328 скорости фазовой 69 Веса переменных 89 Возмущения малые 56, 101, 106, 163, 264, 290 Выпрнмление поля векторного 111, 334 направлений 96 Геодезическая 358 Гиперповерхность 142 начальная 142 Гипотеза Пуанкаре 326 Гладкость 16 — многообразия 317 Голономия 30 Гомеоморфизм 225 Гомоморфизм 16, 225 Градуирование 90 Граница множества 109 Группа абстрактная 63 диффеоморфизмов 67 квазиоднородных растяжений 89 коммутативная (абелева) 64 контактная 150 однопараметрическая 65 преобразований 62 линейных 67 симметрий 84 стационарная 130 Движении медленные 361 Действие группы 63 Диаграмма Ламерея 31 — Ньютона 87 Диффеоморфизм 67 -- контактный 150 — многообразия 325 — сопрнгающий 82 Дифференцируемость 16 -- многообразия 317 Зависимость линейная рациональная 237, 251, 270 Задача Кеплера 155 Коши 142 Штурма — Лиувилля 280, 359 Закон тяготения 119 Зонтик сложенный 362 Изометрин 62 Инволюция 360 Индекс кривой 339 особой тачки 343 Луедзаеткььй указатель Интеграл первый 136 — — зависящий от времени 139 локальный 138 Канал звуковой 357 Карты 318 Квазимногочлены 176, 252 Квота отлова 25 Колебания вынужденные 50, 61, 259 — главные (собственные) 251 слабо нелинейные 263 Коммутатор 135 Компакт 108 Комплексификацин 192 — линейного уравнения 202 Координаты аффинные 318 -- локальные 328 — однородные 318 тангенциальные 126 Кривая Лиссажу 251 — Михайлова 262 — двойственная 127 дискриминантная 126 -- интегральная 16, 28 — логистическая 24 — параметризованнан 325 — фазовая 28, 66 замкнутан 129 Лемма Адамара 156 — Морса 156 Лестница Ламерея 31 Линеаризация 52, 166 Линии асимптотические 362 геодезические 357 — параболические 362 — уровня энергии 153 Лист Мебиуса 88, 331 Ломаные Эйлера 183, 305 Маятник 34, 103, 113.

152, 161, 190, 208, 264, 273, 282 Метод комплексных амплитуд 258 — малого параметра 106 Мираж 357 Многообразия аналитические 319 дифференцируемые (гладкие) 317 ориентированные 319 связные 323 — топологические 319 Множитель интегриру ющий 94 Модель Лотка — Вольтерра 29, 45, 360 Монодромин 30, 53 Мультипликатор 53, 61 Норма 172, 298 оператора 169 Образ вектора 72 -- векторного поля 77 фазового потока 82 Овеществление 193 Оператор Лапласа 95 — диагональный 174 — комплексно сопряженный 195 нильпотентный 175 производящий 180 Определитель 184 — Вандермонда 273 -- Вронского 270 Орбита 64 Отображение Пикара 296 Пуанкаре 30 — Уитни (сборка) 75 Лредмеглнмл указатель 365 — дифференцируемое (гладкое) 72, 324 — за период 282 — касательное 333 — локально эквивалентное 99 — невырожденное 99 — сжатое 293 Оценка априорная 157 Параллелизация 331 Плоскость двойственная 126 — контактная 124 Поворот гиперболический 68 — зллиптический 207 Подмногообразия 326 Подмножество инвариантное 203 — компактное 322 — открытое 322 Поле векторное 18 — — на многообразии 328 — — фазовой скорости 69 направлений 18, 125 — — квазиоднородное эйлерово 90 контактных плоскостей 124 — — зйлерово 83, 87 Положение равновесия 19 Последовательность Коши 171 Фибоначчи 192 — возвратнал 247 Постоянная Липшица 38 Поток фазовый 66 уравнения 70 Преобразование Лежандра 126 множества 62 Приближения Пикара 296 последовательные 295 Признак Вейерштрасса 172 Проблема Рауса — Гурвица 234 Продолжение решений 108, 117, 157 Произведение прямое 40 Производная Ли 133 — отображении 74 — по направлению вектора 132 — — полн 133 Пространство аффиное 11 -- евклидово 11 — касательное 73 — координатное 11 — линейное 11 метрическое 170 — нормированное 172 полное 170 -- проективное 318 расслоения 330 — расслоенное 328 струй 123 — фазовое 12 расширенное 28 Процессы зволюционные 12 Прямая проективная 88 Равновесие безразличное 32 устойчивое 229 Размерность многообразии 324 Распределение Гиббса 360 Расслоение векторное 328 — касательное 328 Режим автоколебательный 31, 165 стационарный 26 Резонанс 260 параметрический 286 Решение уравненин 18 я-го порядка 113 — — общее 210 периодическое 60 Предяетпнып указатель Свойство групповое 66, 177 Седло 42 Сечение расслоения 330 Симметрия векторного полн 83 Система механическан консервативнан 151 — уравнений Гамильтона каноническая 119 Ньютона 119 — — автономная 127 — — в вариациях 306 Скобки Пуассона 135 След оператора 185 Слой расслоения 330 Спираль логарифмическая 200 Степень отображения 350 Структура дифференцируемая 76 — контактная 124 — линейная 75 — многообразия 318 Сфера Милнора 326 Теорема Клеро 358 — Лиувилля 94, 276 Штурма 277 — Эйлера 87, 90 единственности 37, 100, 116, 303 — о выпрямлении 96, 310 — о дифференцируемости 101, 117, 307 — о неявной функции 99 — о продолжении 108, 117, 157 сравнении 279 — существования 37, 100, 116, 303 Теория бифуркаций 49 — возмущений 106 катастроф 50 Траектории 66 Узел 42 Уравнение и-го порядка 113, 256, 270 -- Бессели 271 Ван-дер-Поля 165 — Гамильтона — Якоби 150 — - Клеро 123, 126 Лапласа 95 — Лотка-Вольтерра 29, 45.

360 — Матье 271, 285 — Ньютона 92, 119, 157 автономное 18, 104 — — дифференциальное 17 — в вариациях 106, 307 вековое 190 — взрыва 23 — гипергеометрическое Гаусса 271 — квазилинейное 144 -- квазиоднородное 89 линеаризованное 167 — линейное неоднородное 55, 256, 290 — — неоднородное 60 неоднородное с частными производными 144 однородное 51, 169, 198, 241. 266, 270, 281 — — — однородное с частными производными 141 — — с периодическими козффициентами 53 — -- с периодическими козффициентами 60 логистическое 24 Предлзеткиа указатель 367 малых колебаний 33, 114, 152, 190, 208, 249 †. неавтономное 266 — нелинейное 218, 229, 263 — — с частными производными 148 неразрешенное относительно производной 361 — однородное 85 - размножения 21 с конкуренцией 24 — разностное 115 разрешенное относительно старших производных 122 — с периодическими коэффициентами 281 — с разделяющимися переменными 43 — теплопроводности 93 -- характеристик 140, 146, 149 — эволюционное 18 Уравнения линейные однородные 179 Условие Липшица 38, 300 начальное 18, 116 — устойчивости 283 Устойчивость асимптотическая 231, 283, 359 по Ляпунову 229, 283, 359 сильная 285 Усы седла 228 Ферми-частицы 360 Фокус 201 — сложенный 362 Форма дифференциальная 20, 44 нормальная жорданова 222 симметричная 45 — уравнения, неразрешенного относительно производной 361 Формула Барроу 37 — Каркало 94 Ньютона — Лейбница 300 — Тейлора 174 Эйлера 181 Функторы 194 Функция Гамильтона 137 — Грина 59 — Дирака 58 Лнпунова 220 — влияния 59 гармоническая 95 -- квазиоднородная 91 однородная 87 — последования 30 собственная 280 Характеристика амплитуднофазован 262 эйлерова 353 Характеристики уравнения 140, 146, 149 Хвост ласточкин 362 Цикл 31, 359 — невырожденный 48 — — предельный 31 устойчивый 49 Цунами 357 Частота собственная 251 Эквивалентность потоков 82, 214 Энергия 152, 249 Арнольд Владимир Игоревич ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дизайнер М.

В. Батя Компьютерная подготовка С. В. Высоцкий А. В. Широйоков И. В. Рылова А. А. Давъсдов Компьютерная графика В. Г. Бактиев Корректор М. А. Ложкина Лицензия ЛУ № 056 от 06.01.98. Подписано к печати 20.02.00. Формат 60 х 84~/„о. Уел. печ.л. 21,39.

Уч. изд. л. 22,37. Гарнитура Сотрпбег Мойегп Иогпап. Бумага офсетная № 1. Печать офсетная. Заказ №И17. Отпечатано с готовых диапозитивов в Ижевской республиканской типографии, 426057, г. Ижевск, ул. Пастухова, 13. .