Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика (Каменков Г.В., 1971 - Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика), страница 9

Нужно отметить, что второе преобразование может нарушить тождество ~,(х) ев ~,(х) = — ... =— О, но, как нетрудно сообразить, функция Ях) остается тождественно равной нулю. Если мы имеем дело с последним случаем и если, в частности, в результате второго преобразования Цх) ~ О, то наинизшая степень а, разложения этой функции будет меньше чисел а,~о и дальнейшие преобразования, аналогичные указанному, числа а, не изменят и неравенства а ш > а, не нарушат. Может случиться, что в результате второго преобразования сохранятся тождества ~з (х) = ~г (х) = 0 тогда, очевидно, будем также иметь ЦО(х) = — О, ДО(х) О Применяя к системе уравнений (0.1) указанное преобразование достаточное число раз, мы получим новую систему дифференциальных уравнений,. которая по структуре правых частей может быть отнесена к одной из трех категорий: 1 19(х) Оу 11(х)ФО В этом случае будем иметь Цо(х)=0, сс,<о)а,+К ( =д ..., л) где К вЂ” произвольно заданное целое положительное число.

и 10(х) ФО Этот случай характеризуется неравенствами ~су~о) ~~р+К (!=1, ..., л, !=0,1...„К) И1. ~,(х) !,(х)=0, !э"~(х)=1г"~(х)= — 0 (~=к ..., л) Может случиться, что в результате наших преобразований выражение. для 1'(х, у, х„..., х„) будет удовлетворять некоторым дополнительным условиям. В случае 1 эти дополнительные условия могут принять вид й,)~х,+К (8=ц!, ..., К) (1.3) где К вЂ” произвольно заданное целое положительное число. х — $+х»а ()(»а о) д —. т) + х»а ~1(»е о) (1.5) где $ и т) — новые переменные, а у(* о) и о'(»'о) — голоморфные функции переменных х„..., х„, подлежащие нашему определению.

Нетрудно видеть, что в преобразованной системе члены, независящие от переменных х„...,х„, останутся без изменения и если (7(»'') и ~l(»'') ,выбрать, согласно равенствам др<»,. о) ~~Р [р<,х»+ ... +р„,х„+Х;„,(х,...., х„))=Я(' о) дх! д<)(».. о) (р; х + ... -1- р<„х„+ Х, (х(, ..., х„)1 — И»" о) = 0 дх! ! =1 (1. 6) где Х<,(х„..., х„) — значения функций Х((х, у, х„..., х„) при х = у = О, то число й, в преобразованной системе увеличится по крайней мере на единицу. Первое уравнение системы уравнений (0.1) в результате нашего преобразования примет вид — =ц — й,х — ри(" ) — х ° + ' (Х,— Х!.) <<! ьо дх! ! =! Если теперь произвести замену дС<(»„О) р,=ц — й,х"- ди(»' ) — ' У ' (Х,— Х,„) дх! <=! разумея под х и у выражения (1.5), то получим систему уравнений, в которой члены, независящие от х„..., х„, хотя и изменят свое значение, числа ао или а! останутся без изменения.

Проделав указанные преобразования достаточное число раз, мы получим новую систему, аналогичную (0.1), в которой число й, удовлетворяет неравенству Ао -> с<, + К в случае [ или йо)по+К вЂ” в случае 11. С1(итая это преобразование выполненным и переходя в полученной системе к прежним обозначениям, вводим новую замену: х = $ + ух»* У(» ° '), у = т) + ух» Г» (1.7) В случае 11 могут иметь место неравенства яз) с<о+К (о=о,), ..., К) (1.4) Если установлено, что правые части уравнений удовлетворяют этим дополнительным условиям, то вопрос об устойчивости, как увидим, будет решаться непосредственным рассмотрением уравнений, полученных указанными преобразованиями из уравнений (0.1). В противном случае будут необходимы некоторые дополнительные преобразования. Мы сейчас покажем, что систему уравнений (0.1) всегда можно преобразовать так, чтобы условия (1.3) нли (1.4) выполнялись. С этой целью произведем замену переменных х, у по формулам Функции И» °" и Р»» '> выберем, согласно равенству (1.6), с заменой Я<»,, о> на <><» >> 1<<»,, о> на 1!<»„<> Вновь полученная система уравнений по структуре будет отличаться от предыдущей лишь правой частью одного первого уравнения, которое запишется в следующей форме: — =т) — <о>уох» '()<» '> — х» у<» <>у(х, у, х„..., х„)— д1 д! а<><» — ух»* '~' (Х,— Х; ) дх! ! =! В правой части этого уравнения можно считать х и у выраженными через $, т), х„..., х„по формуле (1.7).

Палее, если положить у„=т) — й,у'х' — ' И» '>— ,"-, аи<» <> — х» И» '>1'(х, у, х», ..., х„) — ух»* '«т (Х,— Х,„) ах, ! ! в случае 1 или й!) ао+К (1.8) — в случае 11. Предположим теперь, что все числа я>(1' = О, 1, ..., 1т — 1) удовлетво. ряют неравенству йд) а»+ К <>=о, 1, „,, д В в случае ! или Й>) ао+К (1=0, 1...

Д вЂ” 1) — в случае П, Если теперь положить х =-- $ + уа х»" у(»а' ~) ! (1.9) у — т) + уа х " >!! и в преобразованной системе переменную т) заменить на у, по формуле у, = Ч вЂ” йа у + ' х»а ' у(~а' а) — »<у~ ' х~а О~я' ~) у— (»я, а) к х» ~ч~~ д<>( я ) (Х, Х , =1 дх! подразумевая под о'( "' ) и У< "' ) голоморфные функции переменных х,, ..., х„, удовлетворяющие уравнениям (1.8), с заменой Я<»е ° о> на Я< л' ~), то в преобразованной таким образом системе число йк уве. личится по крайней мере на единицу. Применяя указанное преобразование достаточное число раз, мы получим систему уравнений, в которой число ка будет удовлетворять неравенствам (1.9) при произвольно заданном числе К.

Полученные уравнения и послужат точкой отправления для дальнейших исследований. 43 то указанная структурная разница в преобразованных системах пропадет, но чиало й, увеличится по крайней мере на единицу. Повторяя уиазаиные преобразования достаточное число раз, мы, очевидно, будем иметь неравенство й,>а,+К Нетрудно видеть, что задача об устойчивости по отношению к новым переменным вполне эквивалентна задаче об устойчивости по отношению к прежним переменным. й 2.

Допустим, что рассматриваемая задача об устойчивости приводится к исследованию уравнений — = у, —" =У,(х, у)+ ~~' х»<><»»>-[-« ~)' х»ф» '>+ л! ' л! »»ц »»а (1.10) — "' =р<<х,-[- ... +р, х„+Х<<»>(х, <>)+Х<<<>(х, «, х„..., х„) (<=!, ..., а) х, а<+К (в случае 1), А,)с<»+К (в случае П) (.=о, <, ..., К) Первый случай, который нам надлежит рассмотреть, характеризуется тождествами !»(х) ма!»(х) — О, !»<'>(х) = !»<'>(х) = — 0 (<= >, ", »1 (1.11) Мы увидим, что во всех случаях, которые может представить система уравнений (1.10) при условии (1.11), невозмущенное движение неустойчиво.

Рассмотрим вначале тот случай, когда разложение всех функций Я<»»» по степеням переменных х„..., х начинается с членов не ниже второго порядка. Функция Четаева, отвечающая системе уравнений (1.10), строится весьма просто и может быть принята в виде У=ху+У,(х„..., х„) Функцию У, определим из уравнения (р!»х<+ ... +>> „х„) х, + ... +х (1.12) дх! По свойству корней характеристического уравнения функция У, будет определенно-отрицательной квадратичной формой переменных х„..., х,.

Производная ЛЧй в силу уравнений (!.10) будет иметь вид !и< — =1<»+х»»+ ... +х„'+ху ~ х»<;><» '>(х„...,х„)+)т'(х, у,х„...,х„) »»~ где И=хУ,(х, д)+ х 1>» ~ х»ф» '>-[-р» ~ х»<><»»>+ ... + »=»~ »=»» + '~ — ![Х<<»>(х, у)+ Х <'>(х, у, х,, ..., х„Ц+х ~ч; х»Я<»»> гд<!'! х! »», Но зто выражение в силу условий (1.11) и в силу того, что разложение функций <;><»»> начинается с членов не ниже второго порядка, можно представить в виде л л )~=-фр'+ ч: ~ фтх х! ! ! / ! если под <[>, <[>>! будем подразумевать некоторые голоморфные функции, уничтожающиеся при равенстве нулю всех переменных х, у, х„..„х„.

Поэтому производная У' будет знакопосгоянной положительной функцией. 44 Очевидно, что область УУ' ) 0 ограничена У = 0 и, следовательно, мы имеем дело с условием теоремы Четаева, по которой и следует неустойчивость невозмущен ного движения. Если случится, что разложения функций Я(х э! содержат члены первого порядка, то соответствующее выражение для членов высшего порядка в производной У' будет иметь вид л л л Я = $д'+ ~ч~ '! »Р1»х! ха+ ~~'„х! У1(х) 1-1 1=1 » ! тдЕ вр И Ч»1! ИМЕЮТ тст жЕ СМЫСЛ, Чтс И В раЗОбраННОМ ВЫШЕ СЛуЧаЕ, а У,(Х)— голоморфные функции переменной х, обращающиеся в нуль при х = О.

Наличие членов х,У,(х) в выражении производной У' не дает права заключать о неустойчивости движения. Мы сейчас покажем, что преобразованием, не изменяющим задачи об -устойчивости, уравнения (1.10) можно привести к виду, для которого функция Четаева будет У=хд+Уг(х„..., хл) где Ух — квадратичная форма, удовчетворяющая уравнению (1.12), Зайишем с этой целью уравнения (1.10) в следующем виде: лх — = д, — = Ув(х,д)-1- '~~ х,Р,(х)+ ~ч'хэ дэ Я!" хв! л! л! — "' = рц хд + ...

+ р;„х„+ Х1!з! (х, д) + '~»', х, Р !'! (х)+Х!' (х, д, хм ..., х„) (!=1, ..., л; лв+лв > К) где Р,(х) и Р.<!!(х) — голоморфные функции переменной х, причем разложение функций Р,(х) начинается с членов не ниже ал-го порядка. Произведем замену переменной д, положив д = 11 + 'Я х, У, (х) 1=! Будем иметь — =Уз ~х, 1)+ ~ х, У!)+ ~~„х,Р,(х)+ ли, г л + ~ч', хх 1т~+ ~ч' х1У!) Я1х х ! — ~ х,— '1!)+ ~чг~ х»У! »вх Г 1 л — ~ч; У! ~ р1х хх -(- ...