Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика (Каменков Г.В., 1971 - Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика), страница 4

9 3. Прн решении поставленной задачи нам придется пользоваться, кроме соображений Ляпунова, одной во многих отношениях интересной теоремой Н. Г. Четаева (а!, формулировка которой следующая. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы что: 1) для некоторой допускающей бесконечно малый высший предел функции У(х„..., х„) существует область, где УУ' ) 0; 2) и если для некоторых значений величин х„..., х„, численно сколь угодно малых в этой области (УУ' ) 0), возможно выделить область, где некоторая функция Ю ) О, на границе которой Ф' = 0 — ее полная производная по времени суть одного какого-либо определенного знака, то невозмущенное движение неустойчиво.

Если рассматриваемая в теореме область УУ' ) 0 ограничена поверхностью У = 0 (область У ) 0 лежит внутри области УУ' ) 0), то за функцию Ж' теоремы Н. Г. Четаева можно взять У. Нетрудно видеть, что общие теоремы Ляпунова о неустойчивости [Ч являются частными случаями этой теоремы. 9 4. Допустим, что рассматриваемая задача об устойчивости приводится к исследованию уравнений д)х — =у Ж вЂ” У (х у)+ ~ х Я ° +у ~~'„х Я + ...

и ... -1-У ~ х»ф» "'>+...+'г'д(х, У, х„..., х„) !л — р, х + ... -[-р;„х„-[-Х, (х, у)+Х,д (х, у, хд, ..., х„) (д=1, ..., л) дх> Первый случай, который нам надлежит рассматривать, характеризуется тождествами !» (х) = гд (х) = ... = ~>д (х) ~ О, Д!) (х) = [д(') (х) = ... = ~,(!) (х)~ О Од > 2, т > 2, )=1, .„л) (4.2) Мы увидим, что во всех случаях, которые может представить система уравнений (4.1) при условии (4.2), невозмущенное движение неустойчиво. Рассмотрим вначале тот случай, когда все Я!»») тождественно обращаются в нуль.

Функция Четаева, отвечающая системе уравнений (4.1), строится весьма просто и имеет вид У = ху+ ))д (х„..., х„) Функцию Уд определим из уравнения (рцх,+...+р;„х„) — ' =х', +... +х»„ По свойству корней характеристического уравнения функция $'д выйдет определенно-отрицательной квадратичной формой переменных хд, ..., х„. Производная функции 1~ в силу уравнений (4.1) будет иметь вид Г =у»+х»д-(- ...

-(-х'„+ху ~ч„' х»я!» !)+я(х, у, хм ..., х„) »=», где Й=х[)'»(х, У)+)хд[+х У' ~ х»(,"!!'')+ ...+У'" 2' ,х» Я!» "'> + »=», »=» + ~~Э' — ' [Х!»(х, У)+Хц(х, У, х„..., х„)1 дх» Но это выражение в силу условий (4.2) н тождеств Я!» ю = О может быть представлено а л И=>ру»+ ~ ">, '>р„х>х, >=! 3 ! если под д[>„>р>, будем разуметь некоторые голоморфные функции, уничто- жающиеся прн равенстве нулю всех х, у, х,„..., х„. Поэтому производная У' будет знакопостоянной функцией, большей нуля. Очевидно, что область И~' ~ О ограничена поверхностью У' = О, и, следовательно, мы имеем дело с условием теоремы Четаева, по которой следует неустойчивость невозмущенного движения. Предположим теперь, что Я!»а») — А !»а.

О) д +.4 !»е. 0) х + +А !»д, 0) х Пусть А,!»" ») = [> Ф О. Положим х, = гд + [>у, х> = г> (1 =2, ..., л>, тогда уравнения (4.1) примут вид Их — =у !(! 20 йу ~Ю оо — = 1'оо+ро«о у+ ',~„хоЯ<о ° о<+у ~~Р~ хоЯ<о М + ... и о-оа о о, 00 ... + у ,'~ хоя<о "и+уд* « — '=- р<дг<+... +рдо г„+ рр<д у+ Хмо (х, у)+ Х<,(х, у, г„..., г„) (4.3) Полагая поэтому х = и+ х„у =у,, г, = х;, получим систему уравнений: = уд Ии о ад =(рох оо+бдхоо0+ '+ ...)уд+ ~~ х< е<(и, уд)+у' но< ди — =<1,дхд+ ...

+<1<„х„+а<дУд+Х'д (4.4) где <1„= р;, + 5и(хо), Г и Х' — суть голоморфные функции переменных и, у„х„..., х„, разложение которых по степеням этих переменных начинается с членов не ниже второго порядка. Уравнения (4.4) в силу этих условий имеют характеристическое уравнение, у которого вещественная часть одного корня имеет знак, одинаковый со знаком выражения ро ход +Ьд ход +' Полагая х, сколь угодно малой положительной величиной, приходим к заключению о неустойчивости невозмущенного движения. й 5.

Рассмотрим второй случай, который может представить система уравнений (4.1). Этот случай характеризуется тождествами <'о(«)= — О, д'о«~(х)= — О (<=1, ..., а) В отличие от первого случая здесь 1д(х)=ад«о + ..., ад+О. Уравнениям (4.1) в этом предположении можно удовлетворить решением у=хд =хо= ...

=х„=О х=«о~ Следовательно, в результате замены х = и + х, уравнения (4.1) примут вид ни — =у ау о о —" =(а, х," + ...) у+ ~ х, е, (и, у) + г'о (5.1) а< 2< где по-прежнему д<о(х) О д<о<<д (х) — О 1д(х) или тожДественно Равна нУлю, илн имеет виД <". (х) = сх + с, х" + ' + ..., г > йо Уд' и Х„' остаются голоморфными функциями переменных х, у, г„..., г„, уничтожающимися вместе со своими первыми производными по переменным гд, ..., г Очевидно, что систему уравнений (4.3) можно удовлетворить решением хо у=г,=г,= ...

=г„=Π— ' =а!!х!+ ... +а!„х„+а! у+Х!" где д!, = Р!. + 6!.(хр). Пои достаточно малом х, среди корней характеристического уравнения, соответствующих этой системе, найдется один корень, знак вещественной части которого определяется членом а,х,' . Остальные и корней знака вещественной части не изменят. Если предположить, что а, — нечетное или при ат четном а, ) О, то (и + 1)-й корень будет иметь положительную вещественную часть, а следовательно, невозмущенное движение неустойчиво. Если ат — четное и ат ( (О, то вещественная часть (и + 1)-го корня будет отрицательная. Следова-' тельно, система уравнений (5.1) будет иметь (и + 1)-й корень с отрицательной вещественной частью и один нулевой корень. Задача об устойчивости в случае одного нулевого корня полностью решена Ляпуновым [!). Применяя его метод исследования к системе уравнений (5.1), приходим к заключению, что при четном а, и а, ( О невозмущенное движение устойчиво.

$ 6. Переходим теперь к случаю, когда )р(х) неравна нулю тождественно. Пусть гр(х) =а,хр + ... Предполагая, что указанные выше преобразования уже выполнены, возьмем функцию У =- У, (х, у) + У, (х,, ..., х„) Функцию У, определим из уравнения — у+ [Ур — гр(хН вЂ” = ар у дУ! дУ! дх ду предполагая, что при х = О, Уд(О, у) = у.

Функцию У, определим из уравнения (Рихт+ " +Р! х~)=ар(х!~+" +х~~) ~ар дк! ! ! Производная У', вычисленная согласно уравнениям (4.1), при указанном ' выборе функций У! и У, примет вид р л У'=а,(ур+х,р+ ... +хр„)+!р(х)+хр !р!+ур!рр+ ~я~~ ~чз~ !р!рх!х, 8=1 р=! где !рр, !р„!р„являются голоморфными функциями переменных х, у, х„..., х„. Поэтому если а, — число четное, полученное выражение У' представляет знакоопределенную функцию х, у, х„..., х„.

Принимая во внимание, что функция У может принимать любой знак, заключаем о неустойчивости невозмущенного движения в этом случае. Рассмотрим случай, когда ар — нечетное и ар ) О. Останавливаясь на ,прежнем выборе функции Ур, подчиним У, условию уничтожаться при х = = О. Очевидно, что при этом условии дУ,/ду можно представить как — = а, х [1 )- и (х, у)) дУ! ду где и(х, у) уничтожается при х = у = О. Поэтому при а, нечетном и ар ) О рассматриваемая теперь функция У' будет знакоопределенной. Функция же У, как и в первом случае, может принимать значения любого знака.

В силу этого можно заключить, что при нечетном а, и положительном ар невозмущенное движение неустойчиво. 22 Рассмотрим случай, когда а, — нечетное и ао отрицательное. Допустим жроме того, что а, ( а,. Строим функцию У=У,(х, у)+Уо(х» ..., х„) Функцию У, определим из уравнения о — '(рцх,+ ... +р;„х„)= ао(ххо+ ... +х„') х! ! =! Функцию У! построим таким образом. Возьмем функцию гг(х, у) из уравнения — у+ — [Уо — [о(х)1-О ду! дУ! дх ду н подчиним ее условию обращаться в у при х = О. Очевидно, что Ро(х, и) будет иметь вид гх(х у) =у+ф(х у) причем ф (х, 0) = — " хо + ! 1 ао+ ! Рассмотрим выражение [у+ ф(х,у)1~1+ ' 1=8(х)+у[1+И(х, у)1 ду Младший член О (х), очевидно, совпадает с младшим членом ф(х, 0). Возьмем тепеРь дРУгУю фУнкцию Ро, УдовлетвоРЯющУю УРавнению — ' у+ — ' [Уо — [о(х)) =а, у'+"+' — 2у [1+Н(х, у)1 [о(х) дх ду и подчиним ее условию уничтожаться при х = О.

Функция Ро(х, у), очевидно, будет иметь вид р (х, у) = — хое+' + и (х, у) 2ао хо+ ! где и(х, у) не содержит членов ниже (ао+ 2)-го измерения относительно х, у. Построим функцию Ляпунова из суммы двух функций — У! и Уо: У, = г о (х, у) + Ро (х, у), Уо (хм ..., х„), У = У! + Уо Производная У' примет вид У вЂ” а уа,+о,+! ~о~! хоо+о,+! 1 а (хо1 1хо ) 1„ч(х у х х ) а,+1 где 5 = х" +' + ' ф, (х, у, х„..., х„) + +уо'+" +'!1!,(Х,у,х„..., х„)+ ~ ~ч„рор!ох! х, !=1 5 ! ор„оу„ф!, — суть голоморфные функции переменных х» ..., х„, х, у уничтожающиеся при х, = ...

= х„= х = у = О. При четном а, и при условии а! ( а, функция У' выйдет знакоопределенной того же знака, что и а„а зто значит, что при положительном и! иевозмущенное движение неустойчиво, при отрицательном а,— устойчиво. 23 Из всех возможных случаев нам осталось рассмотреть лишь те, когда при нечетном а, и отрицательном а, или ад, будучи менее а„ есть число нечетное, или а, а,. 5 7. Рассмотрим уравнение '~У ! о(й~ У) !дх у (7.1) выводимое из двух первых уравнений системы (4.1) с помощью исключения дд! и положением х, = ... = х„= О. Если а, ( (а, — 1)/2, то уравнение (7,1) имеет голоморфный интеграл, проходящий через начало координат, с младшим членом йд ха,+! а,+! В случае а, = (а, — 1)/2 и а,' + 4(а, + 1)а, ~ )О уравнение (7,1) имеет голоморфный интеграл с младшим членом /дхй +', где /д есть корень уравнения (сд +1)йд — а й — ай=О Полагая у = у, + у(х), где у(х) есть указанный интеграл, мы получим систему уравнений !дй — = у!+у(х) д!! У' = у, !р,'(х) + у,' !р, (х) + ...