Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика (Каменков Г.В., 1971 - Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика), страница 2

Что касается вида коэффициентов )тз, тсз, ..., то это будут рациональные функции от з(п 0 н соз 8 со знаменателями, равными различным степеням функции У("'> (соз О, з1п О) соз 0 — Х("'> (соз 8, з(п О) з(п 8 Корень характернстнчного уравнения, соответствующий периоду 2п уравнения (2.5). имеет значение тл ехр ) 1(, з(8 о н всякий раз, когда интеграл, находящийся в показателе, не нуль, вопрос об устойчивости решается знаком этого ннтеграпа. Если 1(фе ) Π— движение неустойчиво, зя )(тс(0 ( Π— движение аснмптотнческн устойчиво, Предположим, что ) л,(е=о о Тогда е ~д (е о представляет функцию, периодическую с периодом 2п.

На основаннн этого можно утверждать, что лз-е приближение уравнений (1.1) представляет ннтегральные кривые в виде замкнутых циклов. Предполагая, что ) Я, (8=О о з При Рз — определенно-отрицательной асимптотической устойчивости по 0 соответствует неустойчивость по й а неустойчивости по 0 соответствует асимптотическая устойчивость по а 11 положим в уравнении (2.6) в г=рехр)Я,06 о Тогда получим — =р'Р,(6)+р'Р,(8)+ ...

д6 (2.6) Р,~е>-а, Р(( — 1)(й,ан) ~,-2,3,..6 о Здесь Р, представляют периодические функции с периодом 2п, Согласно исследованиям Ляпунова, будем искать интеграл в виде ряда, формально удовлетворяющего уравнению (2.6): р=с+с'и~+с'и,+... где и„им ... — функции 8, удовлетворяющие уравнениям йс,l>(О=Рм йи,(г(6=Р +2и Р,, ... Может случиться, что все функции и, (э = 2, 3, ...) при этом построении получаются периодическими, ряд при этом будет сходящимся, по крайней мере при с достаточно малом.

В этом случае мы, очевидно, получим консервативную устойчивость. Если некоторая из функций и, получится непериодической, то она, очевидно, будет иметь вид и, =у8+с где у означает отличное от нуля постоянное число, а с — периодическая функция 8. При том, если у ) О, невозмущенное движение неустойчиво„ если д' ~ Π— асимптотически устойчиво. Таким образом, теорема доказана Р). 3 3. Доказанные теоремы не решают задачи об устойчивости движения в том случае, когда правые части уравнений (1.1) удовлетворяют условиям: 1) У>~> =аХ<"> (а=сспм) или 2) Хиз> = Р (х, у) Х>и> У<"'> =Р(х, у) У>ь> и функция У = хУ<" > — уХ<э> — знакоопределенная. Возьмем систему уравнений (Их — = Х>"'> +Х>'"+'> — = аХ<~>+ Ус" +'> (сЕд с> а> (3 1) (3 2) Случай, когда Х' >(х, у) — функция знакоопределенная, очевидно, можно не рассматривать: движение будет неустойчивым.

Предположим, что Х~"'> не имеет множителя ах — у и Х<"'Чх можно сделать величиной положительной при условии ах — у = О. В этом случае уравнения (3.1) заменой х = х,, у = у, + ах, могут быть преобразованы к виду — "' =А,х,"+А,х,~-' у,+...+А у,~+Х,~" — "' = У,>" + '> (ь > В, ~И !2 Выражая из (3.2) производную <[уд<<дхд и заменяя у, = гх„получим уравнение х, — * = — г+(дхд+<р(х„г) (3.3) «Хд Из уравнения (3.3) получаем голоморфный интеграл г = с,х, + +сзхд' + ". Следовательно, уд = сдхд' + с,хд' + ... Первое из уравнений (3.2) после исключения у, принимает вид — ' = А, хд'"+ хд"'+ д »Р(хд) сд По предположению, Х<"'>/х можно сделать величиной положительной при условии ах — у = О; следовательно, А» можно сделать тоже положительным, а этого достаточно для неустойчивости невозмущенного движения Предположим теперь, что при условии ах — у = О, Х<" < = О.

Очевидно, что в этом случае об устойчивости по т-му приближению сказать ничего нельзя. Уравнения (3.1) приводятся в этом случае к виду сЛ=у,Х,< — д+Х,< + <, — '"'=У,< +»м (»,,», В (34) Ж «< Выбором Х,<"'+» >, У,<'"+» < можно движение всегда сделать неустойчивым, независимо от у,Х,< — О. Если т — четное число и в уравнениях (3.1) Х<"'д не содержит множителем ах — у или все равно, что в уравнениях (3.4) Х,<"с не содержит множителем у„ то движение неустойчиво. Условие, что К<"ч не содержит множителя ах — у — существенное; в этом случае, как мы выше убедились, по т-му приближению иногда можно сделать заключение о неустойчивости движения. Если Х<"'< содержит множитель ах — у, то по т-му приближению не только об устойчивости, но и об неустойчивости сказать ничего нельзя.

Уравнения (3.1), как мы видели, в этом предположении преобразуются к виду (3.4). Соответствующим подбором Х„< +" < и У,< +»и интегралы уравнения (3.4) всегда можно сделать устойчивыми; для этого достаточно положить Х,<"'+» >=у,Х <"'+» -<>, 1~ <"'+»и= — хд»-< [Х «>+Х„<'"+» дд) Интегральные кривые уравнений (3.4) при таком подборе Х.<~+»О и У<„"'+»' образуют замкнутые циклы <» — х,»+ — у,'=С » 2 где й — любое целое четное число, большее 2. Полученный интеграл дает устойчивое изменение хд и у, при любом т. Рассмотрим последний случай, когда Х<"'д =- Р(х, у)Х<»>, 'г'<"'> = = Р(х, у)У<»', где Р(х, у) = О представляет систему прямых, проходящих через начало координат (особенные линии), и функция У = хУ<»<— уХ<»< — знакоопределенная. Можно показать, что т-е приближение вопроса об устойчивости и неустойчивости не решает.

Интегральные кривые, определяемые уравнениями т-го приближения, в этом случае образуют либо центр, либо фокус. В случае центра »й л«„,О+ у<ю О у<»д со» 9 — Х<»д з<п 9 о <з В случае фокуса значение интеграла отлично от нуля. При наличии особенных линий в обоих случаях движение будет устойчиво, если рассматривать уравнения т-го приближения (члены (гп+ 1)-го порядка и выше в правых частях отбросить).

Уравнения (1.1) при наших предположениях можно преобразовать к виду — ' = уьР,Х (з)+Х 'м+'), с(! Чтобы интегралы этих уравнений были неустойчивыми, независимо от членов т-го порядка, достаточно члены высшего порядка взять в виде У ( +О=у()г и ), Х ( +))=х12 +(+у,Х("'), 2п+1)п) Рассмотрим подробнее случай центра в и-м приближении и докажем, что членами высших порядков его можно преобразовать в узел.

Предположим, что уравнения преобразованы к виду — '=у,'Р Х (з)+Х ("'+') — "'=уззРзУ (з)+г' (м+').. 1 З е в ФуиКцня )г = Хгу.(З) — у,Х.(З) — ЗиаКООПрсдЕЛЕииая И зя ! У,(з) соей — Х,'а) згп 8 Члены высшего порядка определим таким образом: Х,("'+') =а,х,"+'+а,у,х,"+ ... Ув('"+1) = Ьз у1 х1'"+ Ьз уьз х1"-1+ ... + Ь„+ ( ух"'+ ( + Вз ух х1'"+1+ .. Уравнение з Р у (3] ! у (га+ !) ((я~ у,з Р Х (з) + Х ("'+ 1) заменой у, = гх,з приводится к виду х, — =аг+Ьхх+(р(х„г). !((з (3 5) ((х1 Соответствующим подбором ав и Ь, коэффициент а можно сделать положительным; при этом уравнение (3.5) определит интеграл, голоморфный относительно х,, х,' и произвольной постоянной с вида г = ф',(Х„Хьв, С) Все интегральные кривые, определяемые этим интегралом, проходят через начало координат, следовательно, имеем узел.

Если интеграл г' чь О, то аналогично можно преобразовать фокус в узел. Л итература 1. А. М. Ляпунов. Общая задача об устойчивости движения. Изд-во Харьковского матем. об-ва, 1892. 2. А. М. Ляпунов. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения. Матем. сб., 1893, т. ХЧ11, вып. 2. 3.

Н. Рс(псогв. Зпг 1ев сопгьез бецп(ез раг !ез еяпзнопз 4!!(егеп(!е!1ез. Зопгпа! де ща(Ьйща!!Ч нез ригез е! арр1!Чпеез, !885, 4 зег!е !. 1. 4. и. Рс(псагв, )Чо(е зпг 1ез ргорг Ы!ез без !опснопз Й((п!езраг !ез еяпанопз б!1(егепИе!!ез, Допгпа! бе 1'есо1е ро!п(есйп!йпе, 1878( !. ХХЧ111, (Ч 45. 14 ОБ УСТОИЧИВОСТИ ДВИЖЕНИИ В ОДНОМ ОСОБЕННОМ СЛУЧАЕ' Их .у ш л) — = у, — = )' (х, у, х„..., х„) с(х~ — = р„х, + ... + р,„х„+ Х, (х, у, х„..., х„) (1.1) (а=ц ..., и) Исследование на устойчивость интегралов этой системы представляет задачу Ляпунова, решенную им в том частном случае, когда а = О, т. ег исследуемая система второго порядка (т).

Случаи второго класса характеризуются двумя группами решений, отвечающих нулевым корням. Задача в этом предположении приводится к исследованию интегралов дифференциальных уравнений вида дх — = Х (х, у, х„..., х„), б) — =р,,х,+...+р,„х„+Х,(х, у, х,, ..., х„) — =)'(х, у, х„..., х„) бу (1.2) О=К..., и) В уравнениях (1.1), (1.2) под функциями Х, У, Х, подразумеваются голоморфные функции от переменных х, у, х„..., х„, разложение которых по степеням этих переменных начинается с членов не ниже второго порядка. В настоящем исследовании дается полное решение задачи Ляпунова.