Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика (Каменков Г.В., 1971 - Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика), страница 7

В случае яРд ( О движение будет асимптотически устойчиво, в случае ИРд ) Π— неустойчиво. В обоих случаях можно построить знакоопределенную функцию Ляпунова со знакоопределенной производной, причем знакоопределенность будет следовать из рассмотрения членов (и + й)-го порядка, независимо от произвольно заданных членов высшего порядка, а этого достаточно для решении задачи об устойчивости интегралов уравнений (2.1). В случае й М задача об устойчивости аналогичным способом не решается по той причине, что наличие членов х' уд~ 1~~д ° д*~, Х„( 0 (х, у) (д; ь м 1- м .( И д~ + д'д+ к + ~ в уравнениях (2.1) не дает права делать заключение ознакоопределенности производной от функции У=У,+У, В этом случае к уравнениям (2.1) необходимо применить преобразование 5 1, в результате чего мы получили бы новые числа А„и Ж .

В случае й„( й(„задача будет решаться вышеизложенным способом. Случай й ~ Ф потребует дополнительного преобразования. Если задача об устойчивости решается конечным числом членов в уравнениях (2.1), то мы в конце концов придем к соотношению й ~ Ж. Теорема 111.

Если 1) Р0(х, у) = хУ,< > — УХд< > — знакопеременная или знакопостоянная функция; з4 2) Хоов1/х(0 и У«оа1/У(0 пРи Условии г«=0, то невозмУщенное движение асимптотнчески устойчиво. Уравнениям (2.4) можно придать вид — г рж + г +1)7~+ г г '««+г + 4«г+ егг Ж «1 ер1 (2.7) 1~, =Р,(СОЗО,З!ПО), )7,=ХХ,1 '+уу,ма1 с заменой х = соз О, у = з)п 9.

Если Це — знакопеременная функция от 9, то функция Ляпунова, отвечающая системе уравнений (2.7), будет иметь вид в р - ° р ( — 1 же,ее) Ъ Полная производная от функции У по времени в силу уравнений (2.7) запишется в форме] в р'- е 'е р( — )же.ее)реж,— жерре- е'е.е.... о Функцию Гт'(9) подберем так, чтобы зк Ц ~ Л%17 г(9=0, 2) И,— Ар1'у(О о Первое условие выполняется в силу знакопеременности функции ф„ второе условие — в силу того, что Щ может обращаться в нуль только в области )7« ( О.

Если е',ре — знакопостоянная функция, то функции Ляпунова можно придать вид в р-ж р( — 1жее>ее) о где АР (9) — удовлетворяет условиям 1)С 79(9)г(В=О, 2) И, О,М(О о Условие 2) выполняется в силу второго условия теоремы 1П (Яа О только при гсе (О). Литература 1. Г. В. Каменкое. Об устойчивости движения в одном особенном случае. Сб.

«Тр. Казанск. авнан. ин-таз, 1935, № 4, 2. А. 34. Ляпунов. Общая задача об устойчивости движения. ОНТИ, 1935. 3. А. М. Лялркае. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения. Метем. сб. 1893, т. Х'е'11, вып. 2. 4 Н.

Г. Чеглаее. Одна теорема о неустойчивости. ДАН СССР, 1934, № 9. 5. Г. В, Дам«нное. Исследование одного особенного, по Ляпунову, случая задачи устойчивости движения. Сб. «Тр. Казанск. аннан. ин-та», 1935, № 3. ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ' ПРЕДИСЛОВИЕ В настоящей работе исследуются те свойства движения материальной системы, которые принято называть устойчивостью и неустойчивостью. Если термину «устойчивостьа приписывать значение, которое дано Ляпуновыма, то поставленная проблема сводится к исследованию интегралов систем дифференциальных уравнений возмущенного движения вида (1) где Х„Х„..., Մ— известные вещественные функции вещественных пере меиных х„,.„х„, г, обращающиеся в нуль при х, = ...

= х„= О. В дальнейшем изложении я буду предполагать, что эти функции в области, достаточно близкой к началу координат, разлагаются в ряды по целым положительным степеням переменных хм ..., х„. Многие задачи механики приводятся к исследованию таких систем дифференциальных уравнений возмущенного движения, в которых коэффициенты разложения правых частей являются или постоянными величинами, или периодическими функциями времени 1 с некоторым общим вещественным периодом ш. В этих двух предположениях и будет вестись дальнейшее исследование.

В том случае, когда правые части системы уравнений (1) не зависят от времени, вопрос об устойчивости чаще всего решается исследованием уравнений первого приближения, т, е. тех уравнений, которые получены из системы (1), когда в правых частях ее отбрасываются члены выше первого порядка. Однако прием этот не всегда приводит к правильному решению вопроса, и во многих весьма важных, с точки зрения приложений, задачах механики исследование уравнений первого приближения задачи об устойчивости не решает. Случаи эти характеризуются тем, что определяющее (характеристическое) уравнение кроме корней с отрицательными вещественными частями имеет нулевые и чисто мнимые корни.

Несмотря на внешнюю частность этих задач, решение их представляет весьма большой интерес как с точки зрения общей теории устойчивости, так и с точки зрения приложений к механическим проблемам. Необходимость решения проблемы устойчивости движения в особенных случаях следует уже из того, что любая задача об устойчивости консервативных систем при- 'ге е уа ю.

ч.к,,, ~вю.ив. з А. М. Ляпунов. Общая задача об устойчивости движения. ОНТИ, 1935. В дальнейшем язложеняи ссылка на соответствующий параграф этого сочинения будет указываться цифрой в фигурных скобках. йв водится к исследованию системы дифференциальных уравнений, определяю. щее уравнение которой имеет нулевые и чисто мнимые корни. Придавая исключительно большое значение этой проблеме, Ляпунов рассмотрел и до конца решил два особенных случая задачи устойчивости движения: 1) определяющее уравнение с одним равным нулю корнем, 2) определяющее уравнение с двумя чисто мнимыми корнями. Рассматривая уравнения с периодическими коэффициентами, Ляпунов дал решение аналогичных задач; 1) характеристичное уравнение с одним равным единице корнем, 2) два мнимых корня с модулями, равными единице.

В более поздней работе Р! Ляпунов ставит задачу о двух нулевых корнях определяющего уравнения при и остальных с отрицательными вещественными частями, намереваясь ограничить свое исследование тем случаем, когда этим нулевым корням отвечает одна группа решений. При этом условии задача, поставленная Ляпуновым, приводится к иссле дованию системы дифференциальных уравнений следующего вида: — =У(х, у, х„..., х,) Иу — = у+ Х(х, у, х„..., х„), Ых йх~ и — = рцх + ...+у~„х„+Х;(х, у, х, ..., х„) у=1, В вышеуказанной работе дается решение этой задачи лишь в том случае, когда и = О. Задачу устойчивости движения в случае п Ф 0 в дальнейшем будем на- зывать задачей Ляпунова. Хотя Ляпунов и ограничился этими частными случаями, но метод, ко- торый он применил, допускает решение более общих задач, если в основа- ние этого метода положить две общие теоремы об устойчивости и неустойчиво.

сти. Теорема об устойчивости, доказанная Ляпуновым (16), формулируется так. Теорема. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что возможно найти знакоопределенную функцию У, производная которой в силу этих уравнений была бы или знакопостоянной функцией про тивоположного знака с У, или тождественно равной нулю, то невозмущен нос движение устойчиво.

Эту теорему в дальнейшем будем называть первой теоремой Ляпунова. Теорема о неустойчивости, доказанная Четаевым, имеет следующую формулировку Р!. Теорема. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что 1) для некоторой допускающей бесконечно малый высший предел функ ции У существует область, где УУ' ) О, 2) если для некоторых значений величин х, численно сколь угодно ма- лых, в этой области (УУ' ) 0) возможно выделить область, где некоторая функция )У ) О, на границе которой (Г = 0) значение полной производ- ной по времени Ж' суть одного какого-либо знака, 3) производная У', рассматриваемая как функция времени, в области (В' ) е) имеет точный низший предел, отличный от нуля, то невозмущенное движение неустойчиво.

Следствие. Если рассматриваемая в теореме область УУ' ) 0 ограни- чена У = 0 и при этом У' )~ О, то за функцию К теоремы можно взять У. Функции, удовлетворяющие этим двум теоремам, будем в дальнейшем соответственно называть функциями Ляпунова и Четаева. 37 Кроме этих двух теорем, я в дальнейшем буду часто ссылаться на теорему Ляпунова (30), формулировку которой считаю необходимым здесь привести. Пусть дана система уравнений с частными производными вида (р„,+ ... +Р„х +Х,) — =дз»г»+ ...