Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика (Каменков Г.В., 1971 - Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика), страница 5

+ )'д (х, у. х„ ..., х„) йй! л! — =р,дх,+ ... +р!йхй-1-Х!(х, у, хд, ..., х„) Имея в виду построение функции Четаева, преобразуем систему уравнений (7.2) с помощью замены уд = уд+ухй~+й„ /д ) 1 Выполняя преобразование, получим — =уд ( хй+'-1- ... !дх а, Ш а,-1-! — "' = а, х" + ... + у, (а, х' + ...) +)'д (х, у„х„..., х„) ФУнкцию У'д опРеделим из УРавнениЯ й — '(рпх,+ ... +р,„х„)=х,'+ „, +х„' ! 1 Числа й и у подберем так, чтобы число ай было нечетным и ай положительным. Если мы имеем дело с первым случаем, т. е.

а, «< (а, — 1)/2, то число а, выйдет не менее а, + 1. В случае ад = (а, — 1)/2 число а будет равно а,. В этом случае число а, будет иметь знак, одинаковый со знаком а„который в случае четного ад можно считать положительным. Возьмем функцию Четаева в виде суммы двух функций 1! = ху, + 1', (х„..., х „) Производную от функции У можно записать в виде У'=х,з+ ... +х„а+у',+ху,фт(х, у,)+ +а0х~ +1 +х" +' ф,(х, у )+2„ф„х,х, где ф,(х, у,) и ф~,— суть голоморфные функции переменных х„уы х„..., х„, обращающиеся в нуль, когда эти переменные делаются нулями.

Функ- ция ф,(х, у,), являясь голоморфной функцией переменных х, у„может быть представлена в виде фт (х, у,) = Ах'*+А„хч + '+ ... + +у, (В„х'-(-В„ч.1 х" +'+ ...)+у,'(...)+ ... Коэффициент А в случае а, ( (а, — 1)/2 имеет значение А=— а, О1+! В случае а, = (а, — 1)/2 будем иметь А=а,+6 где Ь есть корень уравнения (а,+1)й' — а,й — а,=О Очевидно, что в обоих случаях можно считать число А больше нуля.

Рассмотрим в области х) О, у,) О область УУ' ) О. Если положить хУэ+ Ут(хм ..., х„) =аз то производную У' можно записать в виде У'=х',+ ... +х„а+у,з+ез(Ах~ +А,х' +'+...+у (В„х'+...)+ ...)+ 1 а хча+~+хае+~ ф (х, у )-(-~фи х, х, Из этого выражения производной можно заключить, что область УУ' =- О ограничена областью У = О, а этого вполне достаточно для неустойчивости невозмущенного движения. $ В. Все случаи„которые осталось нам рассмотреть, относятся к предположению, что а, ( О, а0 — нечетное, причем а, и ат удовлетворяют одному из условий: 1) а,) — ' или 1,(х) — О 2 ~0 — з 14( 11) 2 Полагая аэ = 2л, — 1, условия 1) и 2) можно переписать в виде 1) а,)лт — 1 или /,(х)— = О 2) а,=л,— 1, а',+4л,а, О Не уменьшая общности задачи, можно считать а, = — 1. Введем в рассмотрение ляпуновские функции Зп и Сз Р), удовлетворяющие условиям: Сзэ"~ О+л,Вп'0=1 аСз 0 — = — Вп0, л0 25 Преобразуем систему уравнений (4.1) в наших предположениях с помощью подстановки х=гС29, у= — ! Бп 9.

После элементарных преобразований получим г2л~ — 1 .— у(х2ла — ! +1: +2' ) (8.1) Гла+1 — Г2л~ Х(Х2л~ — 1+2' +2 ) дО д! Если в уравнениях (8.1) положить х, = ... = х„= О и исключить из полученных уравнений 1, то получим одно уравнение, которое при условии 1) примет вид — = гк Я2+ 22 Йл+ ...

дО (8.2) Если мы будем иметь делос условием 2), то из уравнений (8.1) аналогичным путем получим — =г)!!+гкк!2+ ". НО = Рассмотрим случай а!)п2 — 1 или 12(х) — О Будем искать решение уравнения (8.2) под видом ряда к=с+с'и,+с'и,+ ... где и, и и, — независящие от с функции 9, удовлетворяющие уравнениям дик дил дО дΠ— = ߄— = Ял+ 2и2)22 Предположим, что первая непериодическая функция имеет индекс 2п2, тогда она, очевидно, будет иметь вид Р) и, =99+о где я — отличная от нуля постоянная, а о — некоторая периодическая функция 9.

Замечая, что задача об устойчивости по отношению к переменным х, у вполне эквивалентна задаче об устойчивости по отношению к переменной г, которую мы можем считать положительной, введем замену г=г+гки,+г'и,+ ... +г"' — 'и, !+г"'2о Очевидно, что в смысле устойчивости переменная г может заменить переменную г. Построим функцию 1' = — гл'+ 1~2 (х1, ..., х„) 1 !11 определив функцию У2 из уравнения л (Рмхт+" +Р!л хл) й" (х1 + "'+хл ) ! 1 дк! (8.4) Производная функции У согласно уравнениям (4.1) в нашем предположении будет иметь вид Г=й(г +'!л -'!+х,'+ ...

+х,')+ л л +г2'" 12+22р(хк, ..., х„, г, 9)+ ~ '5, 'ф„х,х, 1-1 л-! Если гп,(й, то задача об устойчивости будет решаться знаком й. В случае д(0 невозмущенное движение будет устойчиво, в случае л)0— неустойчиво. Может случиться, что т,)й или все функции и, выйдут периодическими. В этом случае функция Ляпунова, записанная уравнением (8.4), задачи об устойчивости не решает. Допустим, что мы имеем дело с условием тз ) й или все и, †периодические функции 9.

Если к системе уравнений (4.1) в этом предположении применить преобразование 99 2, 3, то числа пз, и й изменят свое значение на пзз и й„ причем Йз выйдет больше, чем Й. Если в результате преобразования будем иметь тз(л„то вопрос об устойчивости будет решаться знаком постоянной д; в противном случае необходимо применить указанное преобразование несколько раз до тех пор, пока не получим неравенство гп,( й,. Это неравенство будет указывать на то обстоятельство, что правые части системы уравнений (4.1) решают задачу об устойчивости членами л,-го приближения, члены же выше й;го приближения на устойчивость влиять не будут.

Может случиться, что какое бы приближение мы ни брали, задача об устойчивости этим приближением решена быть не может. Этот случай будет характеризоваться неравенствами т, ) й„и решение задачи нас приведет к бесконечному числу действий. К аналогичной задаче пришел Ляпунов при рассмотрении уравнений с парой чисто мнимых корней и парой нулевых корней.

Рассмотрим последний случай, характеризуемый условием сз,=п,— 1 Будем рассматривать лишь случай четного п„так как аналогичная задача в случае нечетного и, решена в 9 6. Преобразуем уравнение (8.3) с помощью замены е и=рву<в>, l(9)= ~ )сзс(9 о где и' (9) при условии четного п, представляет периодическую функцию 9. В результате преобразования получим КР Р Рз+Р Рз 1 ке Задача об устойчивости по отношению к переменной и эквивалентна задаче об устойчивости по отношению к переменной р. Но мы видим, что уравнение (8.5) имеет тот же вид, что и (8.2), поэтому задача об устойчивости в этом случае будет решаться так же, как и в предыдущем случае.

Литература 1. А. М. Пяпуноз, Общая задача об устойчиности движения, ОНТИ, 199б, 2. Н. Г. Четаев. Одна теорема о неустойчивости. ДАН СССР. !934, № 9. ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ОСОБЕННОГО СЛУЧАЯ ЗАДАЧ И ОБ УСТО ЙЧ И ВОСТ И ДВИЖЕНИЯ ' В статье Р) была решена задача Ляпунова [т а[ об устойчивости интегралов системы дифференциальных уравнений в том случае, когда характеристическое уравнение, соответствующее данной системе, имеет два нулевых корня с одной группой решений в предположении, что все остальные корни обладают отрицательными вещественными частями. В настоящей статье мы рассматриваем задачу двух нулевых корней характеристического уравнения с двумя группами решений. В этом случае система дифференциальных уравнений может быть преобразована к виду о'х — = Х, (х, д)+Х (х, д, х„..., х„) — "=)'а(х, д)+Уа (х, д, х„..., х„) од (0.1) — '=р;,х,+ ...

+рвах„+Хна)(х,д)+Х,*(х,д, х,, ..., х„) (т=!, ..., а) где Х„)'„Х,(а)„Ха, )'„Х,а, — голоморфные функции своих переменных, не содержащие членов ниже второго порядка. Кроме того, функции Х„, У„Х,а обращаются в нуль лишь при х, = ... = х„= О. 5 1. Докажем одно предложение, сводящее задачу построения функций Ляпунова и Четаева ['[ для системы уравнений (0.1) к задаче построения функций Ляпунова и Четаева для системы второго порядка. Представим функции Хе(х, д), У,(х, д), Х,~о~(х, д) в следующем виде: Х,(х, д)=Ха~"ч(х, д)+Хао"+ы(х, д)+ ...

1'а(х,д)=)'а'™'(х, д)+Уа~ +»(х, д)+... Х, <о) (х, д) = Х,(а') (х, д) + 'Х,("+ ') (х, д) + ... где ХЫ>„У"~„Х<'>, — суть формы 1-й степени. Можно утверждать, что преобразованием, не изменяющим задачи об устойчивости, уравнения (0,1) можно преобразовать так, что числа Й, будут удовлетворять неравенствам й,)т+Ы (; — ), „, и) где )т' — произвольно заданное целое положительное число.

Этого всегда можно добиться следующим образом. Из уравнений рцх,+ ... +ртах„+Х~~а~(х, д)+Х;"(х, д, х, ..., х„) =0 а Работа впервые опубликована в сб. «Тр. Каааиск. авиац, ин-та», !936, № 5. 28 определим х„ ..., х„ в зависимости от х, у и произведем замену х! =г!+х!(х, у) (г 1, ... л1 Нетрудно видеть, что в преобразованной системе числа Й, будут больше т. Если к полученной системе применить указанное преобразование вторично, то числа й, увеличатся еще по крайней мере на и — 1.

Нетрудно видеть, что вторичное преобразование членов и-го порядка не изменит. Применяя указанное преобразование достаточно большое число раз, мы в результате получим неравенство й, )и+И Совершенно очевидно, что Й-е преобразование не изменит членов (т+ +й — 1)-го порядка в Х,(х, у) и У»(х, у). Предположим, что над системой уравнений (0.1) указанное преобразование выполнено. Представим функции Х„и Ул в следующем виде: Х,(х,у, х,, ..., х,)=~х"*у»»Р!»»~)+Х!')(х, у,х...„х„) У (х, у, х„..., х„)=~х» у» Д!» ° » !+У!'>(х, у, х„..., х ) аи!» '! (Р!»+ ...