Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика (Каменков Г.В., 1971 - Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика), страница 3

5 2. Допустим, что рассматриваемая задача об устойчивости приводится к исследованию уравнений (1.1). Нетрудно видеть, что, вводя вместо у новое переменное у,, задачу эту, если угодно, можно привести к исследованию а Работа впервые опубликована в сб. етр, Каааиск. авиаи. ии-та», 1935, № 4. 15 $1. Эта задача заключается в исследовании на устойчивость интегралов системы дифференциальных уравнений, когда характеристическое уравнение„соответствующее данной системе, имеет два нулевых корня в предположении, что все остальные его корни обладают отрицательными вещественными частями.

Различные случаи, которые может представить система дифференциальных уравнений в этом предположении, подразделяются на два существенно различных класса в зависимости от числа групп решений, соответствующих нулевым корням. К первому классу мы отнесем те случаи, когда нулевым корням отвечает одна группа решений. Система дифференциальных уравнений в этом предположении преобразуется к виду уравнений того же вида, что и система (1.1), с той только разницей, что первое уравнение этой системы преобразуется к виду ах — =у,+Х(х, у, х, ..., х„) где Х(х, у, х„..., х„) — произвольно заданная голоморфная функция, раз- ложение которой по степеням х, у, х» ..., х„не содержит членов ниже вто- рого порядка.

Это преобразование достигается заменой у=у,+Х(х, у, х,, ..., х„) Представим члены высшего порядка в правых частях системы уравне- ний (1.1) в следующей форме: Ой ОО У=1;(х, у) + ~~~ хьфь '>+ у ~ х'Я>» '>+ ... «» ь=ь| ОО ) ут ~ч, хь(»ь,~> 1 О СО Х,=Хм(х, у)-)- ~ч'., х> Р>» э> + у ~ х> Р>>> '>+ > = >е с->, +у~~ ~ч~ х>Р,(>, ~~>+„. +Х, т Уэ(х,у) =й(х)+у1 (х)+у'й.(х)+" Х>,(х,у)=Ц'> (х)+уД'>(х)+у'Ц'>(х)+... ~, (х) = а, х" + ..., ~, (х) = а, х' + ...

Ц» (х) =- а, <» х"' '+ ..., ~,»> (х) =а,<» х' ' '+ ... Здесь Ям П и Р>м П вЂ” суть линейные функции переменных х„ ..., х„, а У, и Ха — голоморфные функции переменных х, у, хм ... х„, обращающиеся в нуль при х, = ... = х„= О и содержащие в своем разложении переменные х„, ..., х„в степени, не ниже как во второй. Если систему уравнений (1.1) преобразовать к новым переменным ум ..., у„по формулам х, = у, + х, (х, у) у = >, ..., а> (2.1) разумея под х,(х, у) корни уравнений р„х, + ... +р,„х„+Х, (х, у, х„..., х„) (;= >, „,, л) (2.1') то для функций >м гм ..., ~ь и Д», 11»>, ..., ~д<» могли бы получить иные выражения.

Но нетрудно заметить, что если в результате преобразования ~,(х) вышла тождественно равной нулю, то и все функции Д'>(х) тоже будут тождественно равны нулю. Если Цх), не обращаясь в нуль тождественно, имеет наинизшую степень разложения ам то наинизшая степень разложения функций >о»>(х) будет больше ао.

Допустим, что над системой уравнений (1.1) наше преобразование выполнено. Применяя к таким образом полученной системе уравнений вторичное преобразование по тем же самым формулам (2.1), получим для функций 1 (х) и Ц»(х) некоторые новые выражения.

Но нетрудно убедиться, что если в результате первого преобразования Ях) получилась тождественно равной нулю, то тоже будет и после второго преобразования; при этом числа а1»> будут больше а,. Если в результате первого преобразования функция >,(х), не будучи тождественно равной нулю, имела наинизшую степень разложения а„то она такой остается и в результате второго преобразования, причем числа а,»> будут больше ао. !6 Если, кроме того, в результате первого преобразования мы имеем неравенство ад(ао, то в результате второго преобразования ад не изменит своего значения и неравенство а, ( а, сохранится; если же в результате первого преобразования мы имели бы ад ) ао, то вторичное преобразование число а, могло бы изменить, разумеется, с соблюдением этого неравенства.

Не исключается и тот случай, когда в результате первого преобразования функции До(х), ~д(х), ~о(х) и т. д. обращаются тождественно в нуль. В этом случае, очевидно, функции Ц>>(х) выйдут тождественными нулями, Если второе преобразование нам даст Го(х) = Цх) = О, то Д»(х) и Д»(х) выйдут тождественными нулями. Нужно отметить, что второе преобразование может нарушить тождество г (х) = 1о(х) = ... = О, но, как нетрудно сообразить, функция ~о(х) остается тождественно равной нулю.

Если мы имеем дело с последним случаем и если ~д(х) Ф О, то наинизшая степень разложения этой функции а, будет меньше чисел а,1'> и дальнейшие преобразования, аналогичные указанному, числа а, йе изменят и неравенства а,>'> ) а, не нарушат. Может случиться, что в результате второго преобразования сохраняется тождество го(х) = ~д(х) =-и О, тогда, очевидно, и Цд>(х) — О и >>1»(х) ~ О.

Применяя к системе уравнений (1.1) указанное преобразование достаточно большое число раз, мы получим новую систему дифференциальных уравнений, которая по структуре правых частей может быть отнесена к одной из трех категорий. 1 ~о(х)яяО ~д(х) Ф О В этом случае будем иметь 1о>»(х)=О, а,д'> ) ад+я О=1, ..., о) где й — произвольно заданное, положительное целое число. 11. 10(х) Ф О. Этот случай характеризуется неравенствами ао1 > )ао+й (1 1 " о) Ш.

1о(х) =гд(х) аооО, >о>д> (х).=!>1»(х) оиО, а ">)аз+ И или ~о(х)=~д(х)= ... =1 (х)яооО Д» (х) = Р,1» (х) = ... = 7 1'> (х) = — О а + »" = а +1+ Й Может случиться, что в результате наших преобразований выражение для У(х, у, хд, ..., х„) будет удовлетворять некоторым дополнительным условиям.

В случае 1 эти дополнительные условия могут принять вид Яо)ад+Я (о=О, 1, ..., и) где лд — произвольно заданное, целое положительное число. В случае П могут иметь место неравенства Я )ао+й 1 =О, 1,..., и) Если установлено, что правая часть уравнений (1.1) удовлетворяет этим дополнительным условиям, то вопрос об устойчивости, как увидим, будет решаться непосредственным рассмотрением уравнений. В противном случае будет необходимо некоторое предварительное преобразование. Мы сейчас покажем, что систему уравнений (1.1) всегда можно преобразовать так, чтобы дополнительные условия выполнялись.

С этой целью произведем замену переменных х, у по формулам Х = и+Хьо У>О О>, у О+ХО РО 2 зок. 3>до дл! д>,!»„о> (р„х,+...+р,„х„) — с1!» '> — О ! ! Х дгУ!»„о> (р„х,-)-...+р,„х„) — у!" '>=О дх! (2.3У то число й, в преобразованной системе увеличится по крайней мере на единицу. Первое уравнение системы уравнений (1.1) в результате нашего преобразования примет вид где вместо х и у следует подставить их выражения через и и о согласно (2.2) Если теперь произвести замену !»,.

а> у,=у — й,х» ' у(1!» о> — х»~ У Х, дх! ! ! разумея под х и у выражения (2.2), то получим систему уравнений, в которой члены, не зависящие от х„..., х„, хотя и изменят свое значение, но числа ао или а> останутся без изменения. Проделав а>+ й — йо раз указанные преобразования, мы получим новую систему, аналогичную (1.1), в которой число Йо удовлетворяет неравенству !со:.и +Д в случае ! 1го)ао+й в случае!1 Считая это преобразование выполненным и называя новые переменные буквами х и у, вводим новую замену: х=и+ух» И» '>, у=о+ух» у!» '> (2.4г Линейные формы И» '> и >!!»' '> переменных х„...,х„выберем, согласно равенствам (2,3), с заменой Я!» о>, (У!»'о> и У!"''> на Я!» '>, (У!» ° >> и у!» ° '> соответственно. Преобразованная система будет отличаться от системы уравнений (1.1) лишь структурой правой части одного первого уравнения, которое запишется в следующей форме: — "=у — И,ух» — '1!!» ° '> — х» (У!» '> г'(х, у, х„...,х„)— д>>>~" — ух» ч' Х, ааа дх! !=! В правой части этого уравнения можно считать х и у выраженными через и, о, хд, ..., х„по формуле (2.4).

Если теперь положить д>>!»" >> у! у — й>уох»'-! (У!» '> — х» Р» ° '> 'г' — ух» ~ Х! дл! >8 где и и о — новые переменные, а у!' '> и у!»'о> — суть линейные формы от переменных х„..., х„, подлежащие нашему определению. Нетрудно видеть, что в преобразованной системе члены, ие зависящие от переменных х„..., х„, останутся без изменения и если линейные формы у» о> и 1Г!» ш выбрать согласно равенствам то получим систему, аналогичную системе уравнений (1.1), в которой число й, увеличено по крайней мере на единицу. Повторяя указанное преобразование достаточно большое число раз, мы, очевидно, будем иметь неравенства лд ) Сад+я — в случае 1 йд) сде+й — в случае 11 (2.5) Предположим, что все числа й, (э = О, 1, ..., т — 1) удовлетворяют неравенствам и,) <хд+й — в случае ! й,) Ссе+Й вЂ” в случае !! Если теперь положить х = и + у'" х'~ 1!(' ' "), 2' 19 и в преобразованной системе переменную э заменить на у„по формуле у — у )д у~+' хлад ' (11 ад ) яду"' — ! х ед у(/(аа ) л дад подразумевая под (д' ' ' и У' ' "1 линейные функции переменных х„..., х„, удовлетворяющие уравнениям (2.3), с заменой 11!а с1, У!а '> и ()!а'') на (1'» ' ', У"»' ' и Я'~~'"' соответственно, то в преобразованной таким образом системе, число й„ увеличится по крайней мере на единицу.

Применяя указанное преобразование достаточно большое число раз, мы получим систему уравнений, в которой число А будет удовлетворять неравенствам (2.5) при произвольно заданном числе й. Полученные уравнения и послужат точкой отправления для дальнейших исследований, Нетрудно видеть, что задача об устойчивости по отношению к новым пе. ременным вполне эквивалентна задаче об устойчивости по отношению к прежним переменным.