Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика (Каменков Г.В., 1971 - Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика), страница 8

+дт»г»+г з 1 »в Ц=!, ..., ») (2) где Х„Х„..., Х„, Я„Е„..., г".» — суть голоморфные функции переменных х„..., х„, г„..., г», обращающиеся в нуль, когда все эти переменные делаются нулями; притом функции Х, не содержат в своих разложениях членов ниже второго порядка, а функции Я~ если и содержат члены первого порядка, то только независящие от величин г„..., г». Коэффициенты р„„д;»вЂ” суть некоторые постоянные. Тогда, если х„ ..., х — суть корни уравнения Ри —" Рм ° Ры р„р„— х ... р,„ б(х)= =0 Р! Р~ъ ." Р а т„..., т» — корни уравнения Ч»! — т Ч!» " Ч!» 921 Ч2» ~ ''' !1»» Г»(т) = если при этом вещественные части х, отличны от нуля и одного и того же знака и если между величинами х, и тт не существует никаких соотношений вида (3) т,х»+ ...

+т„х„=чт В 1, „., ») где все т, были бы целыми неотрицательными числами, удовлетворяющими условию т! + ... + т„=> О, то всегда найдется одна определенная система голоморфных функций г„..., г» переменных хм ..., х„, удовлетворяющих системе уравнений (2) и обращающихся в нуль при л»= ... =х„=О.

Примечание. Определение величин г„..., г„под видом рядов, формально удовлетворяющих уравнениям (2), можно осуществить лишь при усло-. вии (3), не налагая дополнительных условий на корни уравнения Л(х) = О. Предпринимая настоящее исследование, я поставил перед собой цель— решить проблему устойчивости движения в особенных, по Ляпунову, случаях более общего характера. В главе ! исследуется проблема двух нулевых корней определяющего уравнения, при этом дается полное решение задачи Ляпунова и исследуются общие случаи задачи двух нулевых корней с двумя группами решений. В обоих случаях рассматривается система (а + 2)-го порядка'(а Ф 0).

Глава 11 посвящена решению задач с одним нулевым корнем и парой чисто мнимых корней определяющего уравнения при а остальных с отрицательными вещественными частями. В главе 111 решается задача двух пар чисто мнимых корней, нри этом рассматривается система уравнений (л+ 4)-го порядка. В главе 1!! рассматривается общая задача, когда определяющее урав-нение имеет л! нулевых корней, 2л чисто мнимых и д корней с отрицательными вещественными частями.

гллвл ! ДВА РАВНЫХ НУЛЮ КОРНЯ Пусть предложенная система дифференциальных уравнений возмущенного движения есть система (п + 2)-го порядка и пусть соответствующее ей определяющее уравнение имеет два нулевых корня и и корней с отрицательными вещественными частями. Различные случаи, которые может представить система дифференциальных уравнений в этом предположении, подразделяются на два существенно различных класса в зависимости от числа групп решений, соответствующих нулевым корням. К первому классу мы будем относить те случаи, когда нулевым корням отвечает одна группа решений.

Система дифференциальных уравнений в этом предположении преобразуется к виду — = у+ Х(х, у, х„, ..., х„), «х «!Е «!х! — =рпх,+ ... -)-р,.„,'х„+Х! (х, у, хм ..., х„) (ОЛ) (г=!...., и) Исследование на устойчивость нулевого решения этой системы представляет задачу Ляпунова, решенную им в том частном случае, когда п = О, т. е.

когда исследуемая система есть система второго порядка. Случаи второго класса характеризуются двумя группами решений, отвечающих нулевым корням. Задача в этом предположении приводится к ис- 39 Вся глава 1! посвящена исследованию уравнений возмущенного движения с периодическими относительно ! коэффициентами; при этом решаются те же случаи, что и в предыдущих главах.

Вся глава 1, как уже указано было выше, посвящена проблеме устойчивости при двух нулевых корнях определяющего уравнения. Считаю необходимым остановиться здесь на этом вопросе подробнее. Еще Ляпуновым проблема двух нулевых корней совершенно отчетливо поставлена в план его исследований, в общем случае, для систем высших порядков(Р), стр.

285). К сожалению, однако, в опубликованных трудах этого творца математической теории устойчивости движения никаких следов общего решения этой задачи не удалось обнаружить. Мне кажется, что те трудности проблемы, на которые указывал Ляпунов ([»1, стр, 283), в значительной степени устранились со времени получения Четаевым его общей теоремы о неустойчивости.

Суть этих затруднений заключалась в невозможности применения развитой Ляпуновым «второй методы» к некоторым случаям данной проблемы. Поэтому-то я и приписываю столь важное значение теореме Четаева, являющейся значительным развитием этой методы. Из главы 1 будет ясна невозможность в некоторых случаях построения функций Ляпунова, тогда как функция Четаева строится без всяких затруднений.

Эта проблема встала передо мной в связи с задачей динамической устойчивости самолета еще в 1931 г., но попытка получить общее решение с помощью только теорем Ляпунова успеха не имела. Тем не менее данное исследование в основном опирается на идеи, первоначально развитые Ляпуновым, и в особенности на результаты, полученные Четаевым. следованию на устойчивость нулевого решения системы дифференциальных уравнений вида —" = Х(х, у, х„..., х„), — =)'(х, у, х„., х„) г(у яхг — =рых,+ ...

+р1„х„+Х,.(х, у,х„...,х„) 0-1, „.,«) В уравнениях (0.1), (0.2) под функциями Х, )', Хг подразумеваются голоморфные функции переменных х, у, х„..., х„, разложение которых по степеням этих переменных начинается с членов не ниже второго порядка. $1. Допустим, что рассматриваемая задача об устойчивости приводится к исследованию уравнений (0.1). Нетрудно видеть, что, вводя вместо у новую переменную уы задачу эту, если угодно, можно привести к исследованию уравнений того же вида, что и система (0.1), с той только разницей„ что первое уравнение этой системы преобразуется к виду бх — =ух б( Это преобразование достигается заменой у,=у+Х(х, у, х,, ..., х,) Представим члены высшего порядка в правых частях системы уравнений (0.1) в следующей форме: СО О ° 0 У=);(х„у)+ ~ хаЯ(а '1+у ч), ха()1' "+...+у' ~'„хаЯ" "+...

а=а, а=аг а-*, Х1 — — Х 1ш(х, у)+Х~(11(х, у, хы ..., х„) (1=1, ..., «) (0.2) где 'г'з (х, у) = уз (х) + уух (х) + уя у (х) + ... Х (з) (х, у) = Цг) (х) +уутг'1 (х)+уЯ'1 (х) -1-... (з(х)=азха + ..., У",(Х)=а,Х« +... И т. Д. Ц'1(х) = аа(г)ха'"+..., 1,1'1(х)=а,1г)ха("+... и т. д. (1=1, ..., «) Я' 11 — голоморфные функции переменных х„..., х„, Х,(ы — голоморфные функции переменных х, у, х„..., х„, обращающиеся в нуль при х, = =х, = ... = х„= 0 и содержащие в своих разложениях переменные х, у, хы ..., х„в степени, ие ниже, как во второй. Если систему уравнений (О.!) преобразовать к новым переменным у„..., у„по формулам х,=у,+и,(х, у) (1.1) разумея под иг(х, у) корни уравнений р„и,+ ...

+р,„и„+Х,(х, у, и„..., и„)=0 (1=1, ..., «) (1.2) то для функций)„(ы ... и (а(г), )т1", ... можно было бы получить иные выражения'. Но нетрудно заметить, что если в результате преобразования )а(х) тождественно равна нулю, то и все функции уо(г) (х) тоже будут тождественно нули. Если уо(х), не обращаясь в нуль тождественно, имеет наинизшую степень разложения а„то наинизшая степень разложения функций )е1г> (х) будет больше аз. Допустим, что над системой уравнений (0.1) наше преобразование выполнено.

т Здесь мы не меняем обозначений для функций(как я старой, так и н преобразованных системах; легко видеть, что речь идет лишь об аналогичных функциях, играющих по структуре правых частей одну и ту же роль ао всех системах. 40 Применяя к таким образом полученной системе уравнений вторичное. преобразование по тем же самым формулам (1.1), получим для функций Ях) и Яп (х) некоторые новые выражения. Но нетрудно убедиться, что если в результате первого преобразования ~,(х) получилась тождественно равной нулю, то тоже будет и после второго преобразования, при этом число агп>' будет больше а,. Если в результате первого преобразования функция Ях), не будучи тождественно равной нулю, имела наинизшую степень разложения а„то она такой остается (неравной нулю) и в результате второго преобразования, причем числа а,<0 будут больше а,.

Далее, если в результате первого преобразования мы имеем неравенство а, ( а„то в результате второго преобразования а, не изменит своего значения и неравенство а, ~ а, сохранится; если же в результате первого преобразования мы имели бы а, )~ а„ то вторичное преобразование число а, могло бы изменить, разумеется, с соблюдением этого неравенства. Не исключается и тот случай, когда в результате первого преобразования функции Ях), 1,(х), 1,(х), ...обращаются тождественно в нуль. В этом случае, очевидно, функции Д'>(х) станут также тождественно- нулями. Если при этом второе преобразование нам даст ),(х) = !,(х) — = О, то До(х), Д'>(х) будут также нулями.