Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика (Каменков Г.В., 1971 - Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика), страница 11

Рассмотрим теперь функцию )'т 6, ч) = Рт'($, Ч)+Раб, Ч) где гт($, т1) является постоянно-положительной функцией, обращающейся в нуль в области Р + т!' ~ е'лишь при т1=0. Функция г",' ($, т1) при условии Ч = 0 обращается в голоморфную функцию переменной $ с младшим членом атт зт 1а,+!! (а, + 1)' Следовательно, т',($, т1) является знакоопределенной положительной функцией переменных а, т!. Функцию Ляпунова, отвечающую системе уравнений (1.17), при наших условиях можно представить в виде т' = $', ($, Ч) + 'к'т (хм ..., х„) где к',(хм ..., х„) — квадратичная форма, удовлетворяющая уравнению ~~ — '(рмхт+...+р,„х„)= — (хт'+ ...

+ х„') т=! ~т дх! По свойству корней определяющего уравнения эта форма выйдет определенно-положительной. Полная производная функции к' по времени в силу уравнений (1.17) будет иметь вид 0 )"= — Ч'+ — 'Чй! (9+2(Ч+ЧЫ,ЧП вЂ” ' ~.'» Ь'Р1а "+ дч д1 ~, , 50 ( т> ъг~ рр!«, >>+ +>>» ~~~ ~ »л«р!», о> ( ~ч~~в рР!»,>>+ + «=«, дь ь «=»в +~ — '"'+2(ц+'Рл,ц)) ~(+ — "' )~ ~ ~ Г«Я!«+ д>> дЧ Ь»=«, «в ~ ! «в, ~.~ „~«т вв [вв,ч>>>«„,, »=«, с-! дх в + ~в' $«Я>!» О>+ ... — х!» —...— х„» » «в Покажем, что это выражение представляет знакопостоянную отрица- тельную функцию переменных $, >), х„..., х„.

Рассмотрим выражение — >)>р>ф=[2>)+2т>>г" ($, >))+»» '1>)(а>йлв ( ) дч [ дч 1 Мы видим, что в области, достаточно близкой к началу координат, знак этого выражения определяется членом 2а>тД", который прн а! ~ О пред- ставляет отрицательную величину. В силу того, что разложения функций Р!" 4> н Я!» ~> начинаются с членов не ниже второго порядка, заключаем, что выражения вв вв 'с~„'рр!«, а> ~' »«>э!», !» «=«в «=«в на знак производной влиять не будут, Не уменьшая общности задачи, мы можем предположить, что числа й>, Й„А„А4 больше числа а„.

В силу этого члены вв вв «в вв »л«Р!«, >> „» Ч~~~ ~»л«Р!«, в> « ~чв~ »л«Р!«, »> « '~" ал»Р!». М »=«в «=*, «=«. «=«в вв вв вв вв »«,>>!», >> П» ',«Р, $~О>«, «> >)» ~Ч~; »«>>!«, З> >)4 ~' »л«С>!», 4> »=«, «-«, «-«, »=«, на знак производной не влияют, так как в области, достаточно близкой к на- чалу координат, выражение — х!» — ... — х„'+ 2а!»' $л определяет знак независимо от вышеуказанных членов. Выражения вв О Чт ~чР»«р!», л> т)т т; »л«у«, ло (лв > 4) «= «,л «лв не влияют на знак производной по той же причине, что член — »4 опреде- ляет знак производной независимо от ннх.

Члены ~ч„' — '1Ч>р«п>6)+>)'М'6)+" + я Рй," "+ дх! «в ~; э«хв,!«, >>+ » «в могут быть представлены в виде л л »»ь" б 6* >), х„..., х„) + Х Х >р» х, х> >=! /= ! 5! Здесь О = 0 при х, =- ... = х„ = О, а тр„ = 0 прн $ = т) = х, = ... = = х„ = О. Следовательно, эти члены не изменят знака выражения — х,э — ... — х„'+ 2а, т)тзав На основании изложенного знак производной определяется совокупностью членов 2ат т)э $а~ — т1' — х,' —...

— хпт Отсюда заключаем, что прн ат ( 0 н четном а, производная Р' представляет знакопостоянную отрицательную функцию переменных $, т), х „..., х„. Таким образом, мы имеем знакоопределенную функцию 'т'($, т), х„..., х„) производная которой в силу дифференциальных уравнений (1.17) является знакопостоянной функцией обратного знака с т'. Следовательно, при а, ( 0 и четном а, невозмущенное движение устойчиво. Нетрудно заметить, что система уравнений (1.17) имеет решение 3 = $„т) = х, = ...

= х„= 0 Если положить х=3+$,, у=т) то получим новую систему вида — =у(1+тр,($,)+...)+Х(х,у, х„...,х„) И» —" =урт($е)+...+Г(х, у, хм ..., х„) ау тт»т — = у,т х, + ... + д,„х„+ д, у+ Х, где Х, г, Хт — голоморфные функции переменных х, у, х„..., х„, содержащие в своих разложениях члены не ниже второго порядка. При достаточно малом $т среди корней определяющего уравнения, соответствующего этой системе, найдется один корень, знак вещественной части которого определяется членом аД,» . Кроме этого корня, определяющее уравнение будет иметь и корней с отрицательными вещественными частями н один нулевой корень. Предполагая 5т достаточно малым, рассмотрим вопрос об устойчивости по отношению к величинам х, у, х„ ..., х„.

Мы замечаем, что при аД,» ) 0 имеет место неустойчивость, а при аД,а ( 0 мы встречаемся с задачей, решенной Ляпуновым, яз исследований которого следует, что при этом условии имеет место устойчивость. Изложенное в 2 3 приводит нас к следующей теореме. Теорема 2. Пусть определяющее уравнение имеет два нулевых корня с одной группой решений прн и остальных с отрицательными вещественными частями. Система дифференциальных уравнений возмущенного движения приведется тогда к внду (0.1).

Если в результате преобразования х,=у,+и,(х, у) где ит(х, у) — корни уравнений рпит+...+рт„и„+Хт(х, у, и„..., и„)=0 (т=1, ..., а) 5» мы получим систему уравнений, в которой функции ),(х), ДО(х) тождественно равны нулю, и если при этом имеет место условие а, <,'сс,и> О= 1 " и) то при нечетном а, невозмущенное движение неустойчиво, прн четном а, и а, ) 0 невозмущенное движение также неустойчиво, при четном а1 й а, ( 0 невозмущенное движение устойчиво.

Лри,ясчаяие 1. Если в результате преобразования мы получим а,) сс,а1 то к преобразованной системе необходимо применить указанное преобразование еще один раз и тогда условия ~хх ~~ я„и~ будут выполняться. Лримечание 2. Преобразования, связанные с увеличением чисел йз, й„я„..., как мы видели, не изменяют величин а, и а„так как у нас а, < (а,~'>; следовательно, для решения конкретных задач эти преобразования выполнять не следует. $4.

Переходим теперь к случаю, когда в уравнениях (1.!0) ~з(х) неравна нулю тождественно. Пусть 1о(х)=аох~~'+", аорто Возьмем функцию Ляпунова в виде у=$' (х, у)+К,(х„..., х„) Функцию 1', определим из уравнения — у + [У,— )".,(Х)[ — =а,у др, ду, дх ду и заставим ее обращаться в у при х = О. Функцию Г, определим в виде квадратичной формы из уравнения л ~ч', — ' (ра х, + ... + р,„х„) =- а, (х,' + ...

+ х'„) , дх~ Производная функции У в силу уравнений (1.10) будет иметь вид Г =а (у'+х,'+ ... +х„')+ ~,(х)+у'Ч",+х"вЧ",+ ~ ~ Чхмх,хт Г 1/ 1 где Ч'„Ч'„Ч'н являются голоморфными функциями переменных х, у, х„ ..., х„, обращающимися в нуль при х = у = хт = ...х„= О. Поэтому если а, число четное, выражение Г' представляет знакоопределеиную функцию переменных х, у, х„..., х Принимая во внимание, что функция Г может принимать любой знак, заключаем о неустойчивости невозмущенного движения. Рассмотрим случай: а, — нечетное и а, ) О. Останавливаясь на прежнем выборе функции К„подчиним $', условию уничтожаться при х = О. Очевидно, что при этом условии д)'~/ду можно представить в виде — =а,х[1+и(х, у)[ дГ, ду где и(х, у) — голоморфная функция, обращающаяся в нуль при х = у = О, 53 Производная функции 1! в этом случае запишется в виде У'= ао(до+хд'-[- ...

+х„о) +похе(х)+до Ч', +хо+' Ч'о-[- о х + ~ ~!', Ч'ддхдх! ! !! ! Поэтому при нечетном а, и а, ) 0 рассматриваемая функция будет внакоопределенной. Функция же У, как и в первом случае, может принимать значения любого знака. В силу этого можно заключить, что при нечетном ао и положительном ао невозмущенное движение неустойчиво.

Рассмотрим случай, когда ао — нечетное и ао — отрицательное. Допустим, кроме того, что а, ~ а,. В этом случае мы можем предположить, что числа й, и а,!'> удовлетворяют неравенствам й,>ао+ад+1, а<д!)ао+ад+1 (д=1, ...,х, о=0,1.,а!+ад+1) Определим функцию Р,(х, д) из уравнения — 'у+ — '[у)д(х)+уо)о(х)+ ...) =0 дх ду и заставим ее обращаться в у при х = О. Функция Р,(х, у) будет иметь вид Рд(х, д)=у+Ч" (х, у) причем Ч'(х, 0)= — — 'х'+! +... а,+1 Рассмотрим функции 0(х) и Н(х, у), определяемые равенством [у+Ч'(х, у)[~1+ — 1=0(х)+у[1+Н(х, у)[ (1,18) ду ! Младший член разложения функции 0(х), очевидно, совпадает с младшим членом разложения функции Ч'(х, д).

Определим теперь функцию Р,(х, у) из уравнения — у + — ' [у) д (х) + до~о (х) + ...[ = ад уо +" + ' — 2 у [1 + Н (х, у) [ ~ (х) дх ду Предположим, что Р,(0, д) = О. Найденная в этих предположениях функция Р,(х, у) будет иметь вид Р,(х, у) = — ' хо +!+У(х, у) ао+ ! где Н(х, у) не содержит членов ниже (а, + 2)-го порядка относительно переменных х, у, Возьмем функцию Ляпунова в виде *г'= [д+Ч'(х,у)[о+Р (х, у)+ Уд(х„..., х„) Функцию г'д определим из уравнения о др ~ — ' (р!, х, + ...

+ р,„х„) = а, (х о + ... + х„') х; Полная производная функции у' в силу уравнений (1.10) представится так: Г=2[у+Чг(х,у)[[1+ У 1)о(х) + — 'до(х)+ ду 1 ду + а уо,+о,+ ! 2у (1 + Н) ~о (х) + ~2 (у + Ч')+ ~1 + — 1 + — '1 Х ду ду ~ ОЭ О х ~ ч~~~ ~»«я<«, о>+у т~ (хй<><», !>+ . +а,(х о+ +» о)+ «=«в й=й, л + ~ — '(Х<о>(х, у)+Х<'>(х, у, х„..., х„)) ,Сей д»! ! 1 В силу равенства (1.18) выражение производной можно представить <в виде )/'=28(х)/о(х)+а,до+о+!+/о(х) — +>12(у+Ч)~! + — ~+ — ) Х дУ Г / дЧ''> дУ1 ду ду ~ ду ~ О х ~ '~ х«я<«о>+у ~чг~ х«я<» '>+...

+ай(х,'+...+х„')+ 1 «=«а «=«~ + ч>', д' ' (Х,<'>(, д)+Х, ' (х, у, ! д»! По предположению, а, с. а,, а функция /о (х) д(//ду не содержит членов виже (2а, + 1)-го порядка относительно переменных х, у. Поэтому если предположить, что числа А„йй, ..., Ао,+о,+! больше, чем ао+ а, + 1, то выражение производной можно представить в виде (/, а о +о + ! 2аоа! о+о+!+а (хо+ ..+х о) + 1 й ! - о + Я (х, у, х„..., х„) (1.19 где Я (х, у, х„ ..., х„) = — Я (х, у) + '~", х, Ч',(х, у) + ~ч' ,'~'„ Ч"„.х; х/ !=! ! ! /=! Функции Я(х, у) и Ч' (х, у) не содержат в своих разложениях членов ниже (а, + а, + 2).го порядка, а функции Ч"!/, зависящие в общем случае от всех переменных, обращаются в нуль при х = у =- х, = ...

= х„= О. Если теперь предположить, что а, — четное, то из выражения (1.19) можно сделать заключение о знакоопределенности функции Г. Следовательно, при а, (0 невозмущенное движение асимптотически устойчиво, а при а, = 0 — неустойчиво, В силу доказанного, мы можем сформулировать теперь следующее. Теорема 3. Пусть определяющее уравнение имеет два нулевых корня с одной группой решений при а остальных с отрицательными вещественными частями, Дифференциальные уравнения возмущенного движения приведутся тогда к виду (0.1). Если в результате преобразования х,. = у, +и, (х, у) >где и!(х, у) — корни уравнений р!>и»+...+р!„и„+Х!(х, у, и>, ..., и„)=0 (<=1 " и) з<ы будем иметь, что /о(х)=а,х' + ...фО />(х)=а,хо~+...ф,"0 и если 1) а, — число четное, то невозмущенное движение неустойчиво; 2) а, — число нечетное и а, ) О, то невозмущенное движение неустойчиво; 3) а, — число нечетное, а, ~0, а><ао, ай — число нечетное на,)0, то невозмущенное движение неустойчиво; 55 4) а, — число нечетное, ао ( О, а, ( а„а, — число нечетное и а, ( О, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.