Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика (Каменков Г.В., 1971 - Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика), страница 15

Преобразованную систему уравнений можно записать так: — = — х"'+ — ух — ' + ... + — у +Ха(х, у) Ых А0 А~ А~ »> а а а (1АО) — "- — 'ух"-'+ ... + —" у +у)'*(х, у) »> а а где Х*, уУ*, представляют члены высшего порядка. В случае, когда а = = — 1+ В,/Аз — целое положительное число, эти функции удовлетворяют неравенствам ) Хв)т. М(хв + У') х!пх, )Ув)(М(хв-(-~) ' х)пх. Функцию Четаева, отвечающую системе уравнений (1.40), можно представить в виде У = хвв — у' Производная в(У/Л в силу уравнений (1.40) представится так: У' = 2йхм- ! ( — ' хт -1- — ' ухт ' -1- ...

-1- — т ут -(-Х*~— (— Ь вЂ” 2ув ~ — ' хт — ' + — ' ухт — -' + ... + — ут — ' + Ув) гВ, В, в В„ ~ а Ь Л Рассмотрим область 0: х э О, )у! ( хв. В этой области, очевидно, У э О. Если число й выбрать так, чтобы выражение (йА, — В,)/Л было больше нуля, то производная в(УЯ! в области 0 будет величиной положительной, за исключением точки х = у = О, где она будет нулем. Действительно, в области 0 знак производной определяется членом Мв ~1 .з» ~.т-! Ь а последний при (ЙАо — В,)/Л 0 представляет положительную величину. Таким образом, построенная функция У удовлетворяет всем условиям теоремы Четаева, из которой следует, что невозмущенное движение неустойчиво.

$10. Теорема 7. Пусть правые части уравнений (1.37) таковы, что уравнение Р=хУ(т! уХ! ! — 0 не имеет вещественного решения, кроме очевидного х = у = О. Тогда вопрос об устойчивости невозмущенного движения решается знаком выражения Х(т!(сова, в(п В) сов а+г"(т! (сов В, з!по) в!па /=Р(сояО, я(пО У(т)(сов В, з)па) сов  — Х!т! (сова, з(па) ипВ о Именно: при ( «= 0 движение асимптотически устойчиво, а при ( ~ 0— неустойчиво. Действительно, преобразуем систему уравнений (1.37) с помощью подстановки х = гсоя О, у = гя!п О. Переменные г и 8 будут удовлетворять уравнениям — =Хсоя 8+У гйпО = г Р, +г"'+!Рв+...

ог а! г — = Усов 8 — Хя!п О=ему,+гт+! Я, +... «(В о! где для сокращения письма положено Х=Х(т)+Х(т+!(+..., 1'=у(т)-(-у(т+!!+... исключая ! из уравнений (1.41) получим ог в аа — =ей, +г Яв+... 70 (1.42) где Я„К„... — рациональные функции от з(п 8 и соз О, знаменателями которых служат различные степени выражения Р=У<"') (соз8, в(пО)сов9 — Хе") (соз8, з(пО)з(п9 не обращающегося в нуль нн при одном вещественном значении 8.

Рассмотрим сначала случай, предусмотренный теоремой 7, когда Я Х< )( Е, в<па)сова+К<")( Е, зипз) в<па „ )'<и) (сов з, в<па) сова — Х<~) (сова, Мп 9) з(п В о .7,(0) =~(Л,— д> (О о р=ге-' <е) где 7,(0) представляет непрерывную периодическую функцию для всех вещественных значений О. Очевидна, что задача об устойчивости по отношению к переменной г эквивалентна той же задаче по отношению к переменной р. Переменная р будет удовлетворять уравнению — „",' =др+Н,(О) р +... (1.43) где Н,(0), ... — непрерывные периодические функции 9. Функция Ляпунова, отвечающая этому уравнению, будет иметь внд Г=р Производная <<И<(1 запишется так е и' мр.~в р ~ ...< р(<~ — о(<в — в<вв1р 'в<ив, и е<х о е х [1-~-р — ' Р (<в — в<шв4....~ а Нетрудно видеть, что знак производной при достаточно малом р определяется членом р"'дР(со59, 5<п 0) Если условимся рассматривать значения р ) О, то знак У' будет тот же, что и знак произведения лР.

Функция же г' при этом будет определенно- положительной. Следовательно, при дР~О невозмущенное движение неустойчиво, а при лР ~ Π— асимптотически устойчиво. Переходим к случаю, в котором вл ~=) Я, (О=О о Производя замену е р= р( — (я,дн) о 7) Уравнение (1.42) показывает, что за исключением очевидного решения г = О все другие решения будут для достаточно малых г сохранять знак своего начального значения, а поэтому, не уменьшая общности задачи, переменную г можно считать положительной.

Преобразуем уравнение (1.42) с помощью подстановки из уравнения (1.42) получим з:Р зО (О) 1 зН (8) 1 (1.44) где Н„И„... — непрерывные периодические функции 8 для всех вещественных значений последнего. Задача в этом случае будет решаться тем же способом, который был изложен в 5 6. Будем искать решение уравнения (1.44) в виде ряда р =с+с'из+сзиз+ ...

Первая непериодическая функция из в ряду функций и„ и„ ... будет иметь вид из — — л, О+о где о — периодическая функция 8. Если теперь положить р=г+гзиз+... +гзо то переменная г, которая в вопросе устойчивости может играть роль р или г, будет удовлетворять уравнению — =Язв" +ЛЯ'"+'+" Ю (1.45) Функция Ляпунова, как и в предыдущем случае, будет иметь вид У=а Производная НИЮ в силу уравнений (1.45) и (1.41) запишется так: з г'-м, ~г +'+„,) р[( — ц)з,~е~ 'заев, з е~х о " (1 + газ + ...) Знак У' будет определяться членом д, г (соз О, з! и 0) г"'+з-' (1.48) При достаточно малом значении ~г~ знаки г, р и г одинаковы.

Поэтому в силу сделанного предположения относительно г переменную г мы должны считать положительной. Но при этом условии знак выражения (1.46) будет определяться знаком произведения АР. Следовательно, если й',Р )О, невозмущенное движение неустойчиво, если же д, Р(0 — асимптотически устойчиво. Может случиться, что как бы велико число р мы ни брали все функции и„и„... будут периодическими. Если каким-ннбудь образом удалось это доказать и если вычисление ведется так, чтобы прн некотором вещественном значении 8 все функции и, уничтожались, то ряд р= с+с'и, +с'и, +.„ при достаточно малом с будет сходящимся равномерно для всех вещественных значений 8 и будет являться общим интегралом уравнения (1,44).

На основании этого можно заключить, что невозмущенное движение в этом существенно особенном случае устойчиво. $ 11. Все случаи, которые нам осталось исследовать в задаче двух нулевых корней с двумя группами решений, относятся к предположению, что уравнение г"=хТ<~> — уХ<~> =О Ч2 имеет вещественное решение, отличное от х = у = О, н для этого решения отношения Х<"'>/х = У<">/у неположительны. Теорема 8. Если прн всех вещественных решениях уравнения Р = хУ<"'> — уХ<'"> = 0 отличных от очевидного х = у = О, отношения Х<"'>/х = У<'">/у отрицательны, то невозмущенное движение аснмптотнческн устойчива.

Преобразуем систему уравнений (1.37) с помощью подстанавки х = = гсоз О, у = гз!и О, в результате которой получим уравнения гтрк ! >е+<1< ! га — ! Д ! га() (1.47) о'< ш где К =Х<">(сов 8, з!пО)созО+У<~> (сазО, з!пО)з!пО <',>,=Р(созО, з!пО)=У< > (соз8, з!и 0) созΠ— Х< >(созО, з!пО) з!и О Если прн всех вещественных значениях О, удовлетворяющих уравнению Я, =О, отношения Х<"'>>(соз8, з!пО)/созО=У<"'> (созО, з!пО)/з!пО отрицательны, то для тех же значений О будет иметь место неравенство Яо <О. Возьмем функцию о к=и р( !о<8>ае) о где <(> (8) — ограниченная периодическая функция с периодом 2я, удовлетворяющая условию ) р(0) (О=О (1.48) о При условии (1.48) функция У будет ограниченной и определенно-положительной.

Производная <(УЫ/ в силу уравнений (1.47) запишется в виде о г = <ои,— оо> о( — !оа)-~~ 'о.!-... о где 5„... — периодические функции О, Покажем, что, не нарушая условия (1.48), выбором функции <!>(О) выражение 9/~о — ф<;>о можно сделать отрицательным для всех вещественных значений переменной О. Пусть 0„0„..., ΄— значения О, для которых 9, = О. Не уменьшая общности задачи, можно положить одно из этих значений О, равным нулю (для этого уравнения (1.37) нужно преобразовать к виду (1.40)„где коэффициент В, = 0). Из условия теоремы следует, что функция Ко для этих значений О, будет отрицательной величиной.

Обозначим через ь наименьшее значение модуля функции Яо для всех значений О, при которых /то О. В силу условия теор мы эта значение будет отличным от нуля. Выберем функцию ф(О) так, чтобы в области положительных значений Ао выполнялось неравенство 9><(о ФЯо ( 0 (1.49) 73. Для этого достаточно предположить, что в области Яо ) 0 знак чр сов- шадает со знаком Цо и, кроме того, Щ ) 2Яощее/Ь. Будем далее предпо- лагать, что знак функции а(а совпадает со знаком Яо для всех значений О, лежащих в интервалах (О, е) и (222 — е, 2п), и что е — достаточно малая величина.