Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика (Каменков Г.В., 1971 - Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика), страница 13

Переменная г будет удовлетворять уравнению — =угй>+Я,г>'>+> + ... +г'+'(Щ»+г2>1»+...) (1.27) где У, — непрерывные периодические функции О, а 2>1» — голоморфные функции переменных х„..., х„, коэффициентами разложения которых являются периодические функции О. Не уменьшая общности задачи, мы можем переменной г, а также и переменной г приписывать только положительные значения, Это следует из того, что правые части уравнений (1.25) обращаются в нуль при г = О, а правые части уравнений (1,27) — при г= О. Построим функцию Ляпунова в виде У = а+1'>(х>, ..., Х„) где )г, — квадратичная форма, удовлетворяющая уравнению йг, — '(рпх,+ ... +р,„х„)=у(ххй+ ...

+ха„) (1.28) Полная производная функции )г по времени представится так: )г = — — +д(х, + ... +х„')+ дх дй 3 д0 +У вЂ” "(,-+э(Р,ш>+.1, »+...)+Х, )= ° ьй' дх> =у(гй>+ — > 1 х ~.( ... -(-х„~) -(-Я(г, х, ..., х„, 8) где Я представится в виде й й Я = г>г+'йЧ' -1- '~', чй Ч'»х>х> > 1> 1 если при >р и Ч>» разуметь голоморфные функции переменных г, х„..., х„, обращающиеся в нуль при г = х, = ...

= х„= О. Поэтому производная б)г>>1> будет знакоопределенной функцией переменных г, х„..., хй и знак ее прн достаточно малых г, х, будет одинаков со знаком числа у. Таким образом, при у (О функция )г будет определенно-положительной, а производная ее определенно-отрицательной. Если у~О, то функцию (г всегда можно будет сделать величиною любого знака, как бы ни был мал предел, которого не должны превосходить величины г и х,. 61 Вследствие этого приходим к заключению, что при й'(О невозмущеиное движение асимптотически устойчиво, а при 8" ~ 0 — неустойчиво. Переходим ко второму случаю, когда а, = (ао — 1)12.

Уравнения возмущенного движения будут — "=ггд+г'го+ ... +г +' ро»+гя <0+г'И и<+ .) ""'< „дпх + .» „, х + .от+о(Р,<о< 1 .Р,<и+ ) 1 +Х,о(г, О, х,, ..., х„) (1.29) — =(1-<-а,8пОСз-О): — +г-(8(», 8)+ ИО + г" + О, (г, О, хд, ..., х„)) (< = <, ..., л) Рассмотрим вначале случай, когда Эо ~ Л,88= 8+0 о Как мы сейчас увидим, задача об устойчивости в этом предположении решается знаком постоянной 8'.

Введем замену е р = г ехр ~ (й — Яд) <<8 Согласно определению постоянной и, выражение е представляет периодическую функцию 8 с периодом 2ед; следовательно, и задача об устойчивости по отношению к переменной р эквивалентна задаче об устойчивости по отношению к переменной г. В результате замены мы получим систему уравнений вида '~Р,р 1 ро дд о 1 („оео ()д о ) р)о о 1 аΠ— ' =р„хд+ ... +р х +р'"+" (Р,<о+ррод<о+...)+Х<до (1.30) «8 в — д-р — <1~,,о,ес д> р( — < — 1)1<о — воде]».

а< +р [8'(р, 8)+р'+ 8,*(р, О,х,, ..., х„)) (<= ц ..., ~) Предполагая, как н в предыдущем случае, р ) О, построим функцию )г = р + )гд (х,, х„) Где 1гд — знакоопРеделеннаЯ квадРатичнаЯ фоРма, УдовлетвоРЯющаЯ УРавнению, (1. 28). Полная производная функции У по времени в силу уравнений (1.30) примет вид е г -ор"<1~-.,о всед< *р~ — < — о1<д — воде~.ь. о +й (х '+ ...

+х„о)+я где 8 = Р'"+' Чд+ ~ ~~~~ Ч",.~ хд хд д 1/=1 Ч', Ч"ы — голоморфные функции переменных р, х„..., х„, обращающиеся. в нуль при р = х, =- ... = х„=- О В силу условия адо — 4т< О выражение для всех вещественных значений 8 является величиной положительной. Поэтому производная НЮЖбудет знакоопределенной функцией переменных р, х„..., х„и знак ее при достаточно малых р, х, будет одинаков со знаком числа д. Функция $' при а ( О будет определенно-положительной, а производная ее определенно-отрицательной. Если д ) О, то функцию $' всегда можно сделать величиною любого знака, как бы нн был мал предел, которого не должны превосходить величины р и х,. Вследствие этого приходим к заключению, что при а с. О не- возмущенное движение асимптотнчески устойчиво, а при а ) Π— неустойчиво. В результате преобразования мы получили уравнения, в которых выражение 1 + ад3пОСз"'8 при условии а,' — 4т ~ О положительно.

Если бы знак этого выражения заменить на обратный, то случай хд ( О соответствовал бы неустойчивости, а случай а ) Π— асимптотической устойчивости. Рассмотрим теперь случай а = О. Произведем замену в гд <в1 где У(8) представляет периодическую функцию с периодом 2од. В результате преобразования получим систему уравнений вида о Р ро)оо 1 з)до д л8 — '=рд,х,+ ... +рд„х +ро"+о(Р и>-(-рРд <д>+...)+Х,до (1.31) 8 = ро- ' (1+ ад Вп 8 Сз 8) ехр ~ — (т — 1) ~ ~Р, аО + ... од (д=1, ..., дд) Нетрудно заметить, что задача об устойчивости по отношению к переменной р эквивалентна задаче об устойчивости по отношению к переменной г.

Но уравнения (1.31) по структуре ничем неотличаются от системыуравнений (1.26), а поэтому задача наша будет решаться тем же способом, который был указан выше. зз — =У, — =~р(х)+У~д(х)+.. где 1р(х) =арх" +..., ):д(х) =адх"~ + ..., Рдр=2т — 1, ар (О Производя замену х=-( — ар)-'/р ( -'>х„ У= ( — ар) — '(~( -Оуд можно принять равным — 1, — г Бп О, придем к уравнениям получим уравнения, в которых а, Полагая далее х = г Сз О, у = — =гря +г'я +... аО, Р 3 (А) аг — = Юд+ гЧ~р + .. 1(В) Уравнение (А) будет соответствовать случаю а,- (о,— 1)/2, а уравнение (В) — случаю а, = (а, — 1)!2, а,' — 4т(0. В случае (А) определяем ряд функций и„ и„ ...

переменного О так, чтобы выражение г= с+с'и,+с'и,+ .. при произвольно заданном с удовлетворяло уравнению (А). Пусть первая непериодическая функция ии имеет внд ирд = яО+ о(8) где о(8) = о(8 + 2рд). Если )р'( К, то при д-р О невозмущенное движение неустойчиво, а при хд ( Π— асимптотически устойчиво. В случае (В) г=сид+срир+срир+... — ряд, формально удовлетворяющий уравнению (В) прн произвольно заданном с.

Пусть первая непериодическая функция ии будет им = УО+ о (8) ,где о(8) = о(8 + 2рд). Если У (К, то при д)0 невозмущенное движение неустойчиво, а при рг ( 0 — асимптотически устойчиво. 64 Вышеизложенное приводит нас к следующей теореме, Теорема б. Пусть определяющее уравнение имеет два нулевых корня с одной группой решений при и остальных с отрицательными вещественными частями. Дифференциальные уравнения возмущенного движения приведутся тогда к виду (0.1).

Задавшись некоторым числом К, преобразуем систему уравнений (0.1) так, чтобы разложение функций Х;~Р~ в преобразованной системе началось с членов не ниже (2т + К)-го порядка. Проделав это преобразование и положив в первых двух уравнениях хд = ... = х„= О, получим Если ~Я, (0+0 о то числа М = 1, а знак числа у совпадает со знаком этого интеграла. В заключение отметим, что задача, разобранная в последнем параграфе, включает в себя как частный случай обе задачи, решенные Ляпуновым; 1) один нулевой корень, 2) пара чисто мнимых корней. Примечание.

Преобразования, указанные в условии теоремы 5, преследующие цель — повысить наинизшую степень разложения функций Х«»> до порядка 2т+ К, можно провести двумя способами. Первый способ указанный в з 1, требует повторных преобразований по формулам х; = у, + и<(х, у) где и<(х, у) — корни уравнений Раи,+ ... +Р,„и„+Х;(х, У, и„...,и„)=0 (< 1...,л) Второй способ, наиболее удобный в применении к теореме 5, сводит задачу к вычислению функций и;(х, у) из уравнений в частных производных вида ди> ди< — у + — )' (х, у, и„..., и„) = ри и, + ... + р<„и„+ дх ду +Х;(х, у, и„..., и„) (<=1, ..., л) Этим уравнениям можно удовлетворить рядами, расположенными по целым положительным степеням переменных х, у.

В большинстве случаев эти ряды будут расходящимися, поэтому при вычислении функций и>(х, у) ряды эти необходимо оборвать на членах не ниже (2т+ К)-го порядка. (Функции и; (х, у), так определенные, уже не будут интегралами предыдущего уравнения, тем не менее могут быть использованы для поставленной цели.) Из рассуждений э б следует, что если х принять за величину первого порядка, то у можно считать величиной т-го порядка, а выражение х» у»* — величиной (л, + тй»)-го порядка. Условие теоремы 5 предусматривает уничтожение членов (в разложении функций Х «»), для которых й, + тй, с.

2т + К. Изложенное в Я 1 — б решает полностью задачу Ляпунова о двух нулевых корнях с одной группой решений. й 7. Пусть предложенная система уравнений имеет вид — =Х(х, у)+2'„:х» у" 9<» ° »~> ш д — "='г'(х, у)+ч~х» у'Р<' ° »*> ш ~< = р<,х, + ... +Р<„х„+Х> (х, у)+~',х' улей<<л ° "*> (< = 1, ..., л) где суммы распространены на все целые числа й„й„п„л„удовлетворяющие условиям й<+й,)~0, и,+п,)0; Я<»»*>, Р<»»*>, >>с<<л "*> — голоморфные функции переменных х„..., х„, причем разложение <.<<» >, Р<"> начинается с членов не ниже второго порядка, Х (х, у), У (х, у), Х, (х, у) — голоморфные функции переменных х, у, не содержащие в своих разложениях членов первого порядка. з зак.

3<м 66 Представим функции Х (х, у), У(х, у), Х, (х, у) в виде Х (х, у) = Х«"' > (х, у) -1- Х«'"+ ' > (х, д) -1- ... 1' (х, у) = 1'«"'> (х, у) + К«'"+ ' > (х, у) + ... Х«(х, у) =Х,' «'(х, у)+Х;««+«>(х, у)+... Под Х««>, У««>, Х«и> будем разуметь формы переменных х, у, 1-й степени. Покажем, что преобразованием к новым переменным, не изменяющим задачи об устойчивости, систему уравнений (1.32) можно привести к системе того же вида, в которой наименьшее из чисел лд«удовлетворяет неравенству т«> лд + М, где М вЂ” произвольно заданное число. С этой целью рассмотрим следующую систему уравнений: рмх,+ ....